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1、infinite series,第11章 无 穷 级 数,2,为什么要研究无穷级数,是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、,出它的威力.,在自然科学和工程技术中,?,无穷级数是数和函数的一种表现形式.,因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现,如谐波分析等.,造函数值表).,级数来分析问题,也常用无穷,3,常数项级数的概念,收敛级数的基本性质,柯西审敛原理,小结 思考题 作业,第11章 无穷级数,constant term infinite series,11.1 常数项级数的概念和性质,4,引例,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,即,设a0表
2、示内接正三角形面积,ak表示,边数增加时增加的面积,则圆内接正,一、常数项级数的概念,用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,边形面积为,5,1.级数的定义,(常数项)无穷级数,一般项,如,以上均为(常)数项级数.,(1),6,这样,级数(1)对应一个部分和数列:,称无穷级数(1)的,2.级数的收敛与发散概念,按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的,无穷级数定义式(1)的含义是什么?,也算不完,永远,那么如何计算?,前n项和,部分和.,从无限到有限,再从有限(近似)到无限(精确),7,定义11.1,则称无穷级数,并写成,即,常数项级数收敛,(发散).,(不存在),存在,当n无限增大时,部分
3、和数列sn有极限s,如果sn没有极限,8,对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.,显然有,当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限,是等价的.,(1),称差,误差为,9,例,而,所以,的部分和,级数,级数发散.,10,解,(重要),例,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,级数收敛;,因为,所以,11,级数发散;,级数发散;,级数发散.,综上:,级数变为,因为,所以,所以,12,解,例 判定级数,的收敛性.,因为,所以,13,其余项为,即,所以,所以级数收敛,14,例,因为,后式减前式,得,证,证明级数,并求其和.,收敛,15,故,所以,此级数收敛,且其和为 2.,的部分和分别
4、为,则,于是,也不存在极限.,证,性质11.1,设常数,则,有相同的敛散性.,所以,有相同的敛散性.,二、收敛级数的基本性质,16,17,讨论级数,的敛散性.,解,例,因为,为公比的等比级数,是以,故,级数,收敛;,级数发散.,18,性质11.2,设有两个级数,发散.,收敛,发散,均发散,敛散性,不确定.,证,极限的性质,即证.,级数的部分和,19,例,都收敛.,20,都发散.,但,级数收敛.,例,若两级数都发散,不一定发散.,21,将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,级数敛散性相同.,当级数收敛时,其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况.,极限状况相同,故新旧两,所得新级数,性质11.
5、3,添加、去掉或改变有限项不影响,证,一个级数的敛散性.,推论11.2,在级数中添加、去掉或改变有限项,不影响一个级数的敛散性.,22,性质11.4,设级数,收敛,在此收敛级数内,可以任意加(有限个或无限个)括号,一个级数加括号后所得新级数发散,则原级数发散.,事实上,加括后的级数就应该收敛了.,设原来的级数收敛,则根据,性质11.4,收敛,发散,一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.,收敛于原级数的和,所得新级数仍,收敛级数一般不能去掉无穷多个,括号;,发散级数一般不能加无穷多个括号.,(这个性质也称无穷和的结合律).,23,性质11.4 收敛级数加括弧后所成的级数仍,收敛于原级数的和.
6、,设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和数列,为原级数部分,和数列,的一个子数列,因此必有,例如,证,24,证,此定理是级数收敛的必要条件.,设,则,所以,定理11.5,则,(1)此定理常用来判别级数发散;,(3)此定理是必要条件而不是充分条件.,(2)也可用此定理求或验证极限为“0”的极限;,即,如,调和级数,但级数是却是发散的.,(后面将给予证明),25,例,判别下列级数的敛散性,级数收敛的必要条件,常用判别级数发散.,解题思路,26,解,由于,发散,解,由于,发散,27,解,而级数,所以这个等比级数,发散.,由性质11.1知,发散.,因调和级数,发散,为公比的等比级数,是以,收
7、敛.,由性质11.2知,28,练习,为收敛级数,a为非零常数,试判别级数,的敛散性.,解,因为,收敛,故,从而,故级数,发散.,三、柯西审敛原理（柯西准则）,定理11.6(判别级数收敛性的柯西收敛原理),有,证,设所给级数部分和数列为sn,由判断数列收敛性的柯西准则知,对于任意正整数p,数列sn收敛的,充要条件是:,有,29,显然,可改写为当,有,有,30,利用柯西收敛原理证明调和级数,发散.,例,证,考虑此级数的一段,显然,这说明:,不论n多么大,调和级数的这一段的绝对值,都不可能任意小,由柯西收敛原理得知,调和级数,发散.,31,利用柯西收敛原理判定级数,例,解,的收敛性.,因对任意正整数
8、p,都有,32,有,对于任意正整数p,按柯西收敛原理,所以,取正整数,成立.,33,则下列结论正确的是,研究生考题(数学三)选择,4分,练习,(D)对,因为,即,所以,有极限,有极限,所以(D)成立.,(C)错,因为,所以,即,(A)错,则,则与(D)正确矛盾.,同理(B)错.,34,常数项级数的基本概念,基本审敛法:,(3)按基本性质;,则级数收敛;,由定义,(2),则级数发散;,一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质,四、小结,级数收敛的必要条件,记住等比级数(几何级数),的收敛性,(1),调和级数,发散,柯西审敛原理,(4)按柯西审敛原理.,35,思考题,是非题,非,非,是,36,作 业,习题11.1(478页),
