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1、,人教版八年级数学上册,学而不思则惘，思而不学则殆。,第十三章 轴对称,13.4 最短路径问题,最短，因为两点之间，线段最短,PC最短，因为垂线段最短,3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？,三角形三边关系：两边之和大于第三边；,斜边大于直角边.,4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？,l,“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.,牧马人饮马问题,如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直
2、的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.,【问题1】现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？,l,根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.,连接AB,与直线l相交于一点C.,【问题2】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？,想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？,l,利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B.,作法：（1）作点B 关于直线l
3、的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求,【问题3】你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC,证明：,在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC 最短,造桥选址问题,如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？,1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么
4、怎样确定什么情况下最短呢？,2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,【思维分析】：,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,【思维火花】,【各抒己见】,1.把A平移到岸边.,2.把B平移到岸边.,3.把桥平移到和A相连.,4.把桥平移到和B相连.,1.把A平移到岸边.,AM+MN+BN长度改变了,2.把B平移到岸边.,AM+MN+BN长度改变了,把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?,【问题解决】,A1,M,N,如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,理由:另任
5、作桥M1N，连接AM，BN，AN.,由平移性质可知，AMAN，AAMNMN，AMAN.,AM+MN+BN转化为，而转化为.,在ANB中，由线段公理知A1N1+BN1A1B.,因此 AM+MN+BN.,证明：由平移的性质，得 BNEM 且BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以A.B两地的距离:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC、DB、CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在ACE中，AC+CEAE,AC+CE+MNAE+MN,即AC+CD+DB AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路
6、程最短。,N,解决最短路径问题的方法,1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.,2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答.,1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）,D,2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.,
7、1000,3.如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD,EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD E EB的路程最短？,解：作AFCD,且AF=河宽，作BG CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E,D.作DD,EE即为桥.,理由：由作图法可知，AF/DD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD,同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小.,原理,线段公理和垂线段最短,牧马人饮马问题,解题方法,造桥选址问题,关键是将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题,最短路径问题,轴
8、对称知识+线段公理,解题方法,1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。,作法：,E,M,桥,E,作法：,1.作点B关于直线 a 的对称点点C,2.连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。,证明：,在直线 a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD,点B.C关于直线 a 对称,点D.E在直线 a上，,DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC,在ACE中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB,所以抽水站应建在河边的点D处，,1.作点C关于直线OA的对称点点D,2.作点C关于直线 OB的对称点点E,3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，则CM+MN+CN最短,M,N,作法：,证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接 点D,点C关于直线OA对称，点G.H在OA上，DG=CG,DM=CM,同理NC=NE，HC=HE,CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE,CG+GH+HC=DG+GH+HE,DG+GH+HEDE（两点之间，线段最短），即CG+GH+HCCM+CN+MN 即CM+CN+MN最短,Thank you!,谢谢同学们的努力！,
