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1、微分几何梅向明黄敬之编第二章课后题答案微分几何主要习题解答 第二章 曲面论 1曲面的概念 1.求正螺面r= ucosv ,u sinv, bv 的坐标曲线. 解 u-曲线为r=ucosv0 ,u sinv0,bv0 =0,0，bv0u cosv0,sinv0,0，为曲线的直母线；v-曲线为r=u0cosv,u0sinv,bv 为圆柱螺线 证明双曲抛物面ra, b,2uv的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r= a, b,2uv0= av0, bv0,0+ ua,b,2v0表示过点 av0, bv0,0以a,b,2v0为方向向量的直线; v-曲线为r=a, b,2u0v=au0, bu0,
2、0+va,-b,2u0表示过点(au0, bu0,0)以a,-b,2u0为方向向量的直线。 3求球面r=acosJsinj,acosJsinj,asinJ上任意点的切平面和法线方程。 解 rJ=-asinJcosj,-asinJsinj,acosJ ，rj=-acosJsinj,acosJcosj,0 x-acosJcosjy-acosJsinj-asinJsinjacosJcosjz-asinJacosJ0=0 rrrrrrrrr任意点的切平面方程为-asinJcosj-acosJsinj即 xcosJcosj + ycosJsinj + zsinJ - a = 0 ； 法线方程为 x-ac
3、osJcosjcosJcosjxa22=y-acosJsinjcosJsinj=z-asinJsinJ 。 4求椭圆柱面+yb22=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 13 微分几何主要习题解答 解 椭圆柱面xa22+yb22=1的参数方程为x = cosJ, y = asinJ, z = t , rrrq=-asinJ,bcosJ,0 , rt=0,0,1 。所以切平面方程为： x-acosJ-asinJ0y-bsinJbcosJ0z-t01=0，即x bcosJ + y asinJ a b = 0 此方程与t无关，对于J的每一确定的值，确定唯一一个切平面
4、，而J的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 ra5证明曲面r=u,v,的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常uv3数。 证 yxuvrraa+z=3 ru=1,0,-2，rv=0,1,-。切平面方程为：23uvuvuva3auv233。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,163a3)。于是，四面体的体积为： V=3|u|3|v|uv|=92a是常数。 3 曲面的第一基本形式 1. 求双曲抛物面ra, b,2uv的第一基本形式. 解 ru=a,b,2v,rv=a,-b,2u,E=ru2=a2+b2+4v2, F=rurv
5、=a2-b2+4uv,G=rv2=a2+b2+4u2, I = (a2+b2+4v2)du2+2(a2-b2+4uv)dudv+(a2+b2+4u2)dv2。 求正螺面r= ucosv ,u sinv, bv 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解 ru=cosv,sinv,0,rv=-usinv,ucosv,b，E=ru2=1，F=rurv=0，rrrrrrrrrrrrr 14 微分几何主要习题解答 r222G=rv=u+b， I =du2+(u2+b2)dv2，坐标曲线互相垂直。 在第一基本形式为I =du2+sinh2udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。 解 由条件d
6、s2=du2+sinh2udv2,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入ds2得ds2=du2+sinh2udv2=cosh2vdv2，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从v1到v2的弧长为|coshvdv|=|sinhv2-sinhv1|。 v1v24设曲面的第一基本形式为I = du2+(u2+a2)dv2，求它上面两条曲线u + v = 0 ,uv = 0的交角。 分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。 解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E=1，Fv=0，G=u2+a2，曲线u +
7、 v = 0与u v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E=1，Fv=0，G=a2。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u v = 0的方向为u=v , 设两曲线的夹角为j，则有 Edudu+GdvduEdu2cosj=+Gdv2Edu2+Gdv2=1-a1+a22 。 5求曲面z = axy上坐标曲线x = x0 ,y =y0的交角. 解 曲面的向量表示为r=x,y,axy, 坐标曲线x = x0的向量表示为rrr= x0,y,ax0y ，其切向量ry=0，1，ax0；坐标曲线y =y0的向量表示为r=x , ，其切向量rx=1，0，ay0，设两曲
8、线x = x0与y =y0的夹角为j，则ax0y01+ax2202rry0,axy0r有rrrxrycosj = rr=|rx|ry|1+ay2206. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程. 15 微分几何主要习题解答 解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为u:v ,则有 Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eu + Fv = 0 . 同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fu + Gv = 0 . 7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2，确定两个切
9、方向和，证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0. 证明 因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P(2Qdudvdudv)2+ + R=0 ,设其二根dudv,dudv, 则dudvdududvdv=RP，dudv+dudv=-2QP又根据二方向垂直的条件知Edududvdv + F(+dudv)+ G = 0 将代入则得 ER - 2FQ + GP = 0 . 8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2. *证 用分别用、d表示沿u曲线，v曲线及其二等分角线的微分符号，d、即沿u曲线u，v，沿v曲线d*u，d*v沿二等分角轨线方向
10、为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得 (Edudv+Fdvdu)Eduds222=(Fdudv+Gdvdv)Gdvds*22*2，即(Edu+Fdv)E2=(Fdu+Gdv)G2。 展开并化简得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F20，消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2. 9设曲面的第一基本形式为I = du2+(u2+a)dv22，求曲面上三条曲线u = av, o u u=av V=1 v v =1相交所成的三角形的面积。 解 三曲线在平面上的图形所示。曲线围城的三角形的面积是 u=-av 16 微分几何主要习题解答 01a1S=
11、-au2+adu2dv+-u0au2+adudv ua2a221a =2u+adudv=2(1-0uua)u2+adu 20a=-23a3(u2+a)2+uu22+a2+aln(u+2u2+a)|02a=a22-32+ln(1+2) 。 10求球面r=acosJsinj,acosJsinj,asinJ的面积。 解 rJ=-asinJcosj,-asinJsinj,acosJ ，rj=-acosJsinj,acosJcosj,0 E =rJ2=a2,F=rJrj= 0 , G = rj2 =a2cos2J .球面的面积为： p2prrrrrrppS = 2pdJ-20acosJdj=2pa422
12、2-p2cosJdJ=2pasinJ|2p=4pa. -222 11.证明螺面r=ucosv,usinv,u+v和旋转曲面r=tcosJ,tsinJ,t2-1 (t1, 0J2p)之间可建立等距映射 J=arctgu + v , t=u2+1 . 分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射J = arctgu + v , t=u2+1,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式. 证明 螺面的第一基本形式为I=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2, 旋转曲面的第一基本形式为I=(1+tt22rr
13、-1)dt2+tdJ2 ,在旋转曲面上作一参数变换J =arctgu + v , 17 微分几何主要习题解答 t =u2+1 , 则其第一基本形式为: u2(1+12u2)uu22+1du2+(u2+1)(11+u2du+dv) 2=(u+12u+1)du2+11+u2du2+2dudv+(u2+1)dv2=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2= I . 所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 J =arctgu + v , t =u2+1 . 3曲面的第二基本形式 1. 计算悬链面r=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式. 解 ru=sinhucosv,
14、sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0 rruurrr=coshucosv,coshusinv,0,ruv=-sinhusinv,sinhucosv,0, u,F=rurv=0,G=rv2=cosh2u. rrrrrr2rvv=-coshucosv,-coshusinv,0,E=ru= cosh2所以I = cosh2udu+ cosh2udv2 . rn=rrrurvEG-F2=1cosh2u-coshucosv,-coshusinv,sinhusinv, L=-coshusinh2=-1, M=0, N=coshusinh2=1 . +1+1所以II =
15、 -du2+dv2 。 2. 计算抛物面在原点的2x3=5x12+4x1x2+2x22第一基本形式,第二基本形式. 解 曲面的向量表示为r=x1,x2,r52x1+2x1x2+x2, 22vvvrx1=1,0,5x1+2x2(0,0)=1,0,0,rx2=0,1,2x1+2x2(0,0)=0,1,0,rx1x1=0,0,5, 18 微分几何主要习题解答 vvrx1x2=0,0,2 ,rx2x2=0,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I=dx12+dx22, II=5dx12+4dx1dx2+2dx22. 3. 证明对于正螺面r=u
16、cosv,usinv,bv,-u,v处处有EN-2FM+GL=0。 解 rurruvrrrr=cosv,sinv,0,rv=-usinv,ucosv,b，ruu=0,0,0, r=-uucosv,cosv,0,rvv=-ucosv,-usinv,0,E=ru2=1，F=rurv=0，-bu2rrrr222G=rv=u+b， L= 0, M =+b22 , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面z=r12(ax2+by)v在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. vr解 rx=1,0,ax(0,0)=1,0,0,ry=0,1,by(0,0)=0,1,0,r
17、xx=0,0,a,rxy=0,0,0 rryy=0,0,b,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率kn=adxdx22+bdy+dy22. 5. 已知平面p到单位球面(S)的中心距离为d(0d1),求p与(S)交线的曲率与法曲率. 解 设平面p与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为1-d2,即(C)的曲率为 k=11-d2,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于21-d2,所以(C)的法曲率为kn=k1-d=1 . III6. 利用法曲率公式kn=本量成比例。 ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的
18、法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv kn=III=LduEdu22+2Mdudv+Ndv+2Fdudv+Gdv22=1R或-1R，所以LE=MF=NG(=1R)，即第一、第二 19 微分几何主要习题解答 类基本量成比例。 7求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 证明对于正螺面r=ucosv,usinv,bv， rrru=cosv,sinv,0,rv=-usinv,ucosv,b，ruurr=0,0,0，rvv=-ucosv,-usinv,0， r L=rrr(ru,rv,ruu)EG-F2=0, N=r
19、rr(ru,rv,rvv)EG-F2=0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。 8. 求曲面z=xy2的渐近线. 解 曲面的向量表示为r=x,y,xy2,rx+1,0,y2,ry=0,1,2xy,rxx=0,0,0, rrr2rrr24222rxy=0,0,2y,ryy=0,0,2x,E=rx+1+4y,F=rxry=2xy,G=ry=1+4xy. 2y1+4xy22rrrrL=0,M=+y4,N=2x1+4xy22+y4. 渐近线的微分方程为Ldx2+2Mdxdy+Ndy2,即4ydxdy+2xdy222=0,一族为dy=0, 即y=c1,c1为常数. 另
20、一族为2ydx=-xdy, 即lnxy=c2,或xy=c,c为常数. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线. rrrrrr方法二：任取曲线G:r=r(s)，它的主法线曲面为S:r=r(s,t)=r(s)+tb(s)， rs=a(s)+tb(s)=a+t(-ka+tg)=(1-tk)a+ttg，rt=b，rsrt=-tka+(1-tk)g rrrrrr&rrrrrrrrrrr在曲线G上，t = 0 , rs
21、rt=g,曲面的单位法向量所以曲线G在它的主法线曲面上是渐近线. rn=rsrtEG-F2rrr=g，即n=g，rr10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网. 20 微分几何主要习题解答 证 曲面的向量表示为 r=x,y, f(x)+g(y),x=常数,y=常数是两族坐标曲线。 rrrrrrx=1,0,f,ry0,1,g.rxx=0,0,f,rxy=0,0,0,ryy=0,0,g, r因为M=rxyrrrxryEG-F2r=0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网。 11.确定螺旋面r=ucosv,usinv,bv上的曲率线. 解
22、rrvvrrru=cosv,sinv,0,rv=-usinv,ucosv,br，rrruu=0,0,0rr，=-ucosv,-usinv,0，ruv=-sinv,cosv,0,E=ru2=1，F=rurv=0，-bu2rr222G=rv=u+b， L=0, M=+b2 , N=0,曲率线的微分方程为: dv102-dudv0-bu2duu2222+b0=0,即dv=1u2+b2du,积分得两族曲率线方程: +bv=ln(u+u2+b)+c1和v=ln(2u2+b2-u)+c2. 12.求双曲面z=axy上的曲率线. 解 E=1+a2y2,F=a2x2y2,G=1+a2x2,L=0,M=a1+a
23、x22+ay22,N=0 . dy2-dxdyaxya1+ax2dx2222 由1+a2x20221+ax022=0得(1+a2y2)dx2=(1+a2x2)dy2,积分2+ay得两族曲率线为ln(ax+1+a2x2)=ln(ay+1+a2y2)+c. 13.求曲面r=(u-v),2rab2(u+v),uv2上的曲率线的方程. 21 微分几何主要习题解答 解 E=aba2+b2+v24,F=-a2+b42+uv,G=a2+b2+u24,L=0, M=22,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: EG-F(a2+b2+u)dv22=(a2+b2+v)du,积分得22: ln(u+a+
24、b+u)=ln(v+222a222+b+v)+c . 14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线. 证法一：因 L是曲率线,所以沿L有dn=-kndr,又沿L 有gn=常数,求微商 &=0,而n&/dn/dr与g正交,所以g&n=0,即-tbn=0,则有t=0,或得g&n+gnrrrrrrrrrrrrrrrrbn=0 . r若t=0, 则L是平面曲线；若bn=0 ，L又是曲面的渐近线，则沿L ，kn=0 ，这时rrdn=0rr，n为常向量，而当L是渐近线时，g=n，所以g为常向量，L是一rrrr平面曲线. r证法二：若gnrrr ，则因n
25、drrar ，所以nb ，所以rndrrdnb，由伏雷 r&内公式知rrrnd而L是曲率线，所以沿L有ra，所以有t=0,从而曲线为平面曲线； rrrrrrr&=0,因为L是曲率线，若g不垂直于n， 则有gn=常数,求微商得g&n+gn所 rrr有dndrgrrrrrr&，所以gn=0，所以gn=0，即-tb以沿Ln=0 ，若t=0，则rrrr问题得证；否则bnrr=0 ，则因na=0r，有nrg，dnrdga ，r矛盾。 15如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。 22 微分几何主要习题解答 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，
26、由上题结论知正确。 16求正螺面的主曲率。 解 设正螺面的向量表示为r=ucosv,usinv,bv. rr解ru=cosv,sinv,0,rv=-usinv,ucosv,b，ruurr=0,0,0， rrrvv=-ucosv,-usinv,0，ruv=-sinv,cosv,0,E=ru2=1，F=rurv=0，-bu2rrrr222G=rv=u+b， L= 0, M =+b2 , N = 0,代入主曲率公式 k-kN+ LN-M= 0 得k=22N22Na(u2222+a)。 所以主曲率为 k1=au2+a2,k2=-au2+a2 。 17确定抛物面z=a(x2+y2)在点的主曲率. 22r
27、x=1,0,2axry=0,1,2ay，解 曲面方程即ryy=0,0,2a，r=x,y,a(x+y)，rrrrrrrrxx=0,0,2a，rxy=0,0,0,ryy=0,0,2a 。在点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , 2N=2a .所以kN-4akN+4a2=0 ，两主曲率分别为 k1 = 2 a , k2= 2 a . 18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为k1 、k2，任给一方向J及与其正交的方向J+p2，则这两方向的法曲率分别为kn(J)=k1cos2J+k2sin2J， kn(J+p22)=k1co
28、s(J+p22)+k2sin(J+p2)=k1sin2J+k2cosJ ，即 2 23 微分几何主要习题解答 kn(J)+kn(J+p2)=k1+k2为常数。 19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由kn=k1cos2J+k2sin2J 得 tg2J=-k1k2 ,即渐进方向为 J1=arctgk1k2-k1k2,J2=-arctg-k1k2.又-J2+J1=2J1 为常数,所以为J1为常数,即为常数. 20. 求证 正螺面的平均曲率为零. 证 由第3题或第16题可知. 21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证 在点x=y=0 ,E=1, F=
29、0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=LG-2FM+NE2(EG-F)2=0, K =LN-MEG-F22=-a2. 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证法一： 由H=k1+k22=0有k1=k2=0或k1=-k20 . 若k1=k2=0,则沿任意方向J,kn(J)=k1cos2J+k2sin2J=0 ,即对于任意的du:dv , kn=III=LduEdu22+2Mdudv+Ndv+2Fdudv+Gdv22=0,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. 若k1=-k20,则K=k1k20 ,即LN-M2 0 ,G 0 ,所以LN 0 。若LN-M2=0，则L = M = N
30、 24 微分几何主要习题解答 = 0 ，曲面上的点是平点，若LN-M2 a 0 , b+acosj 0,所以LN -M2 的符号3p与cosj的符号一致,当0jp2和 j0 ,曲面上的点为椭2r 25 微分几何主要习题解答 3p2圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-p面内侧的点为双曲点；当j=p下两纬圆上的点为抛物点。 22j，曲面上的点为双曲点, 即圆环或 3p2时，LN -M2=0，为抛物点，即圆环面上、25若曲面的第一基本形式表示为I=l2(u,v)(du2+dv2)的形式，则称这个曲面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面r=g(t)cosJ,g(t)sinJ,f(t)上存在等温网。 证
31、旋转曲面r=g(t)cosJ,g(t)sinJ,f(t)的第一基本形式为 g2rrI=g(t)(2+fg22dt2+dJ) ，做参数变换u=2g2+fg2dt，v=J,则在新参数下，I=g2t(u)(du2+dv2),为等温网。 26两个曲面S1、S2交于一条曲线，而且是S1的一条曲率线，则也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着相交成固定角。 证 两个曲面S1、S2交于曲线，n1、n2分别为S1、S2的法向量，则沿交线，n1与n2成固定角的充要条件为n1n2=常数，这等价于d(n1n2)=0,即 dn1n2+n1dn2=0 ,而是S1的一条曲率线，因此dn1与的切向量dr共线，则与n2
32、 正交，即dn1n2=0，于是n1dn2=0，又dn2n2，所以n1 dn2= dn1n2=0的充要条件为dn2/ dr，即是S2的曲率线。 27证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P的挠率是-K,另一条在点P的挠率是-K，其中K是(S)在P点的高斯曲率。 证 曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P，沿渐近线有n=g，且II=0，rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr 26 微分几何主要习题解答 于是有dn=dg .则dn2=dg(rdgds)2rrrr2=III=2HII-KI=-KI，即dgr2=-Kds2,或 =-K，所以有(-tb)2=t2=-K,t=-K。 r28证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。 证 设给出的曲面(S): r=r(u,v)上的点r(u,v)与(u,v)D内的点一一对应，其球面像上的点为n=n(u,v),由于nunv=k(rurv),所以|nunv|=k|rurv|= |LN-MEG-F22rrrrrrrrrrrrr| ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M20,则nunvrrrr0。 说明球面像上的点n(u,v)与区域D内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。 27
