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1、高数同济第五答案第2章习题2-1 (1)y=x4; (2)y=3x2; (3)y=x1.6; (4)y=1; x (5)y=12; x (6)y=x35x; (7)y=x2x2x53; 2321 解 (1)y=(x 4)=4x4-1=4x3 . (2)y=(3x2-122-)=(x)=x3=x333. 3 (3)y=(x 1.6)=1.6x 1.6-1=1.6x 0.6. (4)y=(1x)=(x-12)=1-11-x2=-x2221. (5)y=(12)=(x-2)=-2x-3. x (6)y=5(x3x)=16(x516)=x516)=16-1516=x55115. (7)y=(x2x2x
2、53)=(x16-11-6x=x661. 8. 已知物体的运动规律为s=t 3(m), 求这物体在t=2秒(s)时的速度. 解v=(s)=3t2, v|t=2=12(米/秒). 9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明 当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以 f(0)=limf(x)-f(0)x-0x0=limf(-x)-f(0)x-0x0=-limf(-x)-f(0)-x-0-x0=-f(0), 从而有2f (0)=0, 即f (0)=0. 10. 求曲线y=sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率: x=2p, x=p. 3 解 因为y=c
3、os x, 所以斜率分别为 k1=cos2p=-1, k2=cosp3232=-1. p1 11. 求曲线y=cos x上点(, )处的切线方程和法线方程式. 解y=-sin x, yx=p3=-sinp3=-32, p1故在点(, )处, 切线方程为y-1=-3(x-p), 32223法线方程为y-1=-2(x-p). 233 12. 求曲线y=ex在点(0,1)处的切线方程. 解y=ex, y|x=0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y-1=1(x-0), 即y=x+1. 13. 在抛物线y=x2上取横坐标为x1=1及x2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行
4、于这条割线？ 解 y=2x, 割线斜率为k=y(3)-y(1)3-1=9-1=42. 令2x=4, 得x=2. 因此抛物线y=x2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性: (1)y=|sin x|; (2)1x2sin x0y=x0 x=0 . 解 (1)因为 y(0)=0, limy=lim|sinx|=lim(-sinx)=0, limy=lim|sinx|=limsinx=0, x-0x-0x-0x+0x+0x+0所以函数在x=0处连续. 又因为 (0)=lim y-y(x)-y(0)x-0y(x)-y(0)x-0x-0=lim=lim|
5、sinx|-|sin0|x-0|sinx|-|sin0|x-0x-0=lim=lim-sinx=-1, x-0x(0)=lim y+x+0x+0sinx=1, x+0x而y-(0)y+(0), 所以函数在x=0处不可导. 解 因为lim 又因为 x0y(x)=limx2sinx01=0, 又y(0)=0, 所以函数在在x=0处连续. x1x2sin-0y(x)-y(0)1x=lim=limxsin=0, limx0x0x0x-0xx所以函数在点x=0处可导, 且y(0)=0. 15. 设函数f(x)= 解 因为 limf(x)=limx2=1, limf(x)=lim(ax+b)=a+b, f
6、(1)=a+b, x1-0x1-0x1+0x1+0 x2 x1为了使函数f(x)在ax+b x1x=1处连续且可导, a, b应取什么值？ 所以要使函数在x=1处连续, 必须a+b=1 . 又因为当a+b=1时 a(x-1)+a+b-1a(x-1)x2-1ax+b-1=2, f+(1)=lim=lim=lim=a, f-(1)=limx1-0x-1x1+0x-1x1+0x-1x1+0x-1所以要使函数在x=1处可导, 必须a=2, 此时b=-1. 16. 已知 解 因为 x2 x0f(x)=求-x x0f(x)-f(0)xf+(0)及f-(0), 又f (0)是否存在？ f-(0)=limx-
7、0=limf(x)-f(0)-x-0x2-0=-1, f+(0)=lim=lim=0, x-0x+0x+0xxx而f-(0)f+(0), 所以f (0)不存在. 17. 已知f(x)=sinx x0, 求 x x0f (x) . 解 当x0时, f(x)=x, f (x)=1; 因为 f-(0)=limf(x)-f(0)xf(x)-f(0)x-0 f+(0)=lim=lim=1, 所以f (0)=1, 从而 x+0x+0xxcosx x0 f (x)=. 1 x0x-0=limsinx-0=1, x-0x 18. 证明: 双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2
8、 . 解 由xy=a2得y=2a2x, k=y=-a2x2. 设(x0, y0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为 y-y0=-a2(x-x0). x0 令y=0, 并注意x0 y0=a, 解得x=22y0x0a22+x0=2x0, 为切线在x轴上的距. 令x=0, 并注意x0 y0=a2, 解得y=a+y0=2y0, 为切线在y轴上的距. x0 此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 S=1|2x0|2y0|=2|x0y0|=2a2. 2习题 2-2 1. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)=-csc2x ; (csc x)= -csc xcot x . cosxcosxs
9、in2x+cos2x 解 (cotx)=(cosx)=-sinxsinx-=-=-22sinxsinxsinx1=-csc2x. 2sinx (cscx)=(1)=-cos2x=-cscxcotx. sinxsinx 2. 求下列函数的导数: (1)y=45+74-2+12; (2) y=5x-2+3ex ; (3) y=2tan x +sec x-1; (4) y=sin xcos x ; (5) y=x2ln x ; (6) y=3excos x ; x3xxx (7)y=lnx; xx (8)y=e2+ln3; (9) y=xln x cos x ; (10)s=1+sint; 1+co
10、stx2x 解 (1)y=(45+74-2+12)=(4x-5+7x-4-2x-1+12) xx282 =-20x-6-28x-5+2x-2=-20. -+652xxx (2) y=(5x-2+3e)=15x-2ln2+3e. (3) y=(2tan x +sec x-1)=2sec2x+sec xtan x =sec x(2sec x+tan x). (4) y=(sin xcos x)=(sin x)cos x+sin x(cos x)=cos xcos x+sin x(-sin x)= cos 2x . (5) y=(x2ln x)=2xln x+x21=x(2ln x+1) . (6)
11、 y=(3ecos x)=3ecos x+3ex(-sin x)=3ex(cos x-sin x). (7) (8)1x-lnxlnx1-lnxxy=xx2x2xx3xx2x xx. . y=(exexx2-ex2xex(x-2)+ln3)=x2x4x3 (9) y=(x2ln x cos x)=2xln x cos x+x21cos x+x2 ln x(-sin x) 2x ln x cos x+x cos x-x ln x sin x . (10)s=(cost(1+cost)-(1+sint)(-sint)1+sint+cost1+sint)=1+cost(1+cost)2(1+cost
12、)22x. 3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y=sin x-cos x , 求yx=p和yx=p. 64 (2)r=qsinq+1cosq,求2drdqq=p4. 2 (3)f(x)=3+x, 求f (0)和f (2) . 5-x5 解 (1)y=cos x+sin x, y y (2)drdqx=p6=cos=cosp6+sin+sinp6=31+=223+12, x=p4p4p422+=222. , =sinq+qcosq-11sinq=sinq+qcosq22drdqq=p4=1ppp12p22psin+cos=+=(1+)2444224242. (3)f(x)=32+x(5
13、-x)25, f(0)=3, f(2)=17. 25152 4. 以初速v0竖直上抛的物体, 其上升高度s与时间t的关系是s=v0t-1gt2. 求: (1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解 (1)v(t)=s(t)=v0-gt. (2)令v(t)=0, 即v0-gt=0, 得t=v0g, 这就是物体达到最高点的时刻. 5. 求曲线y=2sin x+x2上横坐标为x=0的点处的切线方程和法线方程. 解 因为y=2cos x+2x, y|x=0=2, 又当x=0时, y=0, 所以所求的切线方程为 y=2x, 所求的法线方程为 1 y=-x, 即x+2y=0. 2 6.
14、 求下列函数的导数: (1) y=(2x+5)4 (2) y=cos(4-3x); (3)y=e-3x; 2 (4) y=ln(1+x2); (5) y=sin2x ; (6)y=a2-x2; (7) y=tan(x2); (8) y=arctan(ex); (9) y=(arcsin x)2; (10) y=lncos x . 解 (1) y=4(2x+5)4-1(2x+5)=4(2x+5)32=8(2x+5)3. (2) y=-sin(4-3x)(4-3x)=-sin(4-3x)(-3)=3sin(4-3x). (3)y=e-3x(-3x2)=e-3x(-6x)=-6xe-3x. 222
15、(4)y=12(1+x2)=122x=2x2. 1+x1+x1+x (5) y=2sin x (sin x)=2sin xcos x=sin 2x . (6)y=(a2-12x)2-1-11=(a2-x2)2(a2-x2)=(a2-x2)2(-2x)=-2211xa2-x2. (7) y= sec2(x2)(x2)=2x sec2(x2). (8)y=1ex(ex)=1+(ex)21+e2x. (9) y=2arcsinx(arcsinx)=2arcsinx. 1-x2 (10)y=1(cosx)=1(-sinx)=-tanx. cosxcosx 7. 求下列函数的导数: (1) y=arcs
16、in(1-2x); (2)y= (3)y=e11-x2-x2; ; cos3x1x (4)y=arccos; (5)y=1-lnx; 1+lnx (6)y=sin2xx; x (7)y=arcsin; (8)y=ln(x+a2+x2); (9) y=ln(sec x+tan x); (10) y=ln(csc x-cot x). 解 (1) y=11-(1-2x)2-12(1-2x)=-21-(1-2x)2=-1x-x2. (2)y=(1-x2x2)-1-311x=-(1-x2)2(1-x2)=-(1-x2)2(-2x)=22(1-x2)1-x21. (3)y=(e )cos3x+ex-x2(
17、cos3x)=ex-x2-x(-)cos3x+e2(-sin3x)(3x) 2xx-1-1-=-e2cos3x-3e2sin3x=-e2(cos3x+6sin3x). 22 (4)y=-111-2x1=-x111-2x(-|x|1)=x2x2x2-1. - (5)y=11(1+lnx)-(1-lnx)2xx=-(1+lnx)2x(1+lnx)2. (6)y=cos2x2x2-sin2x1=2xcos2x2-sin2x. xxx)2 (7)y= (8)y= =11-(x)2(x)=11-(12x=12x-x2. 12a2+x2(a2+x2)1x+a21x+a2+x2+x2(x+a2+x2)=12
18、a2+x21x+a2+x21+1+(2x)=1a2+x2. (9) y=1secxtanx+sec2x(secx+tanx)=secx. secx+tanxsecx+tanx (10) y=1-cscxcotx+csc2x(cscx-cotx)=cscx. cscx-cotxcscx-cotx 8. 求下列函数的导数: x2); (1)y=(arcsin2 (2)y=lntanx; 2 (3)y=1+ln2x; (4)y=earctanx; (5)y=sinnxcos nx ; (6)y=arctanx+1; x-1 (7)y=arcsinxarccosx; (8) y=lnln(ln x)
19、; (9)y1+x-1-x; 1+x+1-x (10)y=arcsin1-x1+x. 1x1-22x 2 解 (1)y=2(arcsinx)(arcsinx)=2(arcsinx)222 =2(arcsinx)21x1-221=22arcsin4-x2x2. (2)y=1xtan2(tanx)=21xtan2sec2xx=221xtan2sec2x1=cscx22. (3)y=1+ln2x= =121+ln2xx121+lnx2lnx2(1+ln2x)=121+lnx22lnx(lnx) 1lnx=xx1+ln2xx)=earctanx. 1(x) (4)y=earctan =earctan(
20、arctan1+(xx)2x11+(x)212x=earctan2x(1+x). (5) y=n sinn-1x(sin x)cos nx+sinnx(-sin nx)(nx) =n sinn-1xcos x cos nx+sinnx(-sin nx)n =n sinn-1x(cos xcos nx-sin xsin nx)= n sinn-1xcos(n+1)x . (6)y=(x-1)-(x+1)1x+111=-x+12x-1x+12(x-1)21+x21+1+x-1x-1. 1 (7)y= = (8)y=1-x2arccosx+11-x2(arccosx)2arcsinx=11-x2ar
21、ccosx+arcsinx(arccosx)2 p21-x2(arccosx)2. . 1111111ln(lnx)=(lnx)=ln(lnx)ln(lnx)lnxln(lnx)lnxxxlnxln(lnx) (9)y=21+x = (10)y=1-(1+121-x)(1+x+1-x)-(1+x-1-x)(1+x+1-x)2121+x-121-x) 11-x2+1-x211-x1+x(. 11-1-x1+x-(1+x)-(1-x)(1+x)2=-1(1+x)2x(1-x)1-x)=1+x. 9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g2(x)0, 试求函数y=f2(x)+g2(x)
22、的导数. 解 y= =12f2(x)+g2(x)f2(x)+g2(x)=12f2(x)+g2(x)2f(x)f(x)+2g(x)g(x) f(x)f(x)+g(x)g(x)f2(x)+g2(x). 10. 设f(x)可导, 求下列函数y的导数dydx: (1) y=f(x2); (2) y=f(sin2x)+f(cos2 x). 解 (1) y=f (x2)(x2)= f (x2)2x=2xf (x2). (2) y=f (sin2x)(sin2x)+f (cos2x)(cos2x) = f (sin2x)2sin xcos x+f (cos2x)2cosx(-sin x) =sin 2xf
23、(sin2x)- f (cos2x). 11. 求下列函数的导数: (1) y=ch(sh x ); (2) y=sh xech x; (3) y=th(ln x); (4) y=sh3x +ch2x ; (5) y=th(1-x2); (6) y=arch(x2+1); (7) y=arch(e2x); (8) y=arctan(th x); (9)y=lnchx+ (10)y=ch2(1; 2ch2xx-1) x+1 解 (1) y=sh(sh x)(sh x)=sh(sh x)ch x . (2) y=ch xech x+sh xech xsh x=ech x(ch x+sh2x) .
24、(3)y=11(lnx)=ch2(lnx)xch2(lnx). (4) y=3sh2xch x+2ch xsh x =sh xch x(3sh x+2) . (5)y= (6)y= (7)y= (8)y= =1-2x(1-x2)=ch2(1-x2)ch2(1-x2)11+(x2+1)(x2+1)=2xx4+2x2+2. . 1(e2x)2-1(e2x)=2e2xe4x-1. 12(1+sh2xchx1ch2x111(th x)=221+(thx)1+thxch2x)1ch2x+sh2xch x=1. 1+2sh2x1sh x1(ch2x)=-2ch xshx 2ch4xch x2ch4xchx
25、chxchx (9)y=1(ch x)-ch xchx2sh x(ch2x-1)sh3x=th3x. =sh x-sh3x=sh xch3x-shx=33 (10)y=2ch(x-1)ch(x-1x+1x+1)=2ch(x-1)sh(x-1)(x-1)x+1x+1x+1 =sh(2x-1)x+1(x+1)-(x-1)(x+1)2=2x-1sh(2(x+1)2x+1). 12. 求下列函数的导数: (1) y=e-x(x2-2x+3); (2) y=sin2xsin(x2); 2 (3)y=(arctanx); 2 (4)y=lnnx; xt (5)y=et-e-t; e+e-t (6)y=ln
26、cos1; x (7)y=e-sin21x; (8)y=x+x; (9) y=xarcsinx+4-x2; 2 (10)y=arcsin2t. 1+t2 解 (1) y=-e-x(x2-2x+3)+e-x(2x-2)=e-x(-x2+4x-5). (2) y=2sin xcos xsin(x2)+sin2xcos(x2)2x=sin2xsin(x2)+2xsin2xcos(x2). (3)y=2arctanx114x=arctan2x2x2+4221+4. (4)1nx-lnxnxn-11-nlnxxy=x2nxn+1(et+e-t)2. =4e2t(e2t+1)2 (5)y=(et+e-t)
27、(et+e-t)-(et-e-t)(et-e-t). x (6)y=sec1(cos1)=sec1(-sin1)(-12)=12tan1. xxxxxx (7)y=e-sin21x(-sin2-sin2111112-sin2xx(-2sin)=e)cos(-)=sinexxxx2x2x11. (8)y=12x+x(x+x)=12x+x(1+12x)=2x+14xx+x. (9)y=arcsinx+x212t21-1+t21x21-4(11x+(-2x)=arcsin224-x2212t21-1+t2. (10)y=2t)=1+t22(1+t2)-2t(2t)(1+t2)2 =习题 2-3 1+
28、t2(1-t2)22(1-t2)(1+t2)2=2(1-t2)|1-t2|(1+t2). 1. 求函数的二阶导数: (1) y=2x2+ln x ; (2) y=e2x-1 ; (3) y=x cos x ; (4) y=e-t sin t ; (5)y=a2-x2; (6) y=ln(1-x2) (7) y=tan x ; (8)y=31 (9) y=(1+x2)arctan x ; x (10)y=e; x+1; x (11)y=xex; (12)y=ln(x+1+x2). 解 (1)y=4x+1x1x22, y=4-. (2) y=e2x-1 2=2e2x-1, y=2e2x-1 2=4
29、e2x-1. (3) y=x cos x ; y=cos x-x sin x, y=-sin x-sin x-x cos x=-2sin x-x cos x . (4) y=-e-tsin t+e-tcos t=e-t(cos x-sin x) y=-e-t(cos x-sin x)+e-t(-sin x-cos x)=-2e-tcos t . (5)y=12a2-x2(a2-x2)=-xa2-x2=-a2(a2-x2)a2-x2xa2-x2, a2-x2-x y=-a2-x2. (6) y=12(1-x2)=-2x2, 1-x1-x y=-2(1-x2)-2x(-2x)(1-x2)2=-2(
30、1+x2)(1-x2)2. (7) y=sec2 x, y=2sec x(sec x)=2sec xsec xtan x=2sec2xtan x . (8)y=-(x3+1)(x3+1)2=-3x2(x3+1)2(x3+1)4, =6x(2x3-1)(x3+1)3 y=-6x(x3+1)2-3x22(x3+1)3x. (9)y=2xarctanx+(1+x2)12=2xarctanx+1, 1+x y=2arctanx+2x2. 1+x (10)y=exx-ex1ex(x-1)=x2x2, y=ex(x-1)+exx2-ex(x-1)2xx422222=ex(x2-2x+2)x32. (11)
31、y=ex+xex(2x)=ex(1+2x2), y=ex2x(1+2x2)+ex4x=2xex(3+2x2). (12)y=1x+1+x2(x+1+x2)=1x+1+x2(1+2x21+x2)=11+x2, y=-112xx(1+x2)=-=-1+x21+x221+x2)(1+x)21+x. 2. 设f(x)=(x+10)6, f (2)=? 解f (x)=6(x+10)5, f (x)=30(x+10)4, f (x)=120(x+10)3, f (2)=120(2+10)3=207360. 3. 若f (x)存在, 求下列函数y的二阶导数d2ydx2: (1) y=f(x2) ; (2)
32、y=lnf(x) . 解 (1)y= f (x2)(x2)=2xf (x2), y=2f (x2)+2x2xf (x2)=2f (x2)+4x2f (x2). (2)y=1 y=f(x)f(x), =f(x)f(x)-f(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)-f(x)2f(x)2. 4. 试从dx=1导出: dyy (1) (2)yd2x=-dy2(y)3; . ddyd3x3(y)2-yy=dy3(y)5d2xd=dy2dy 解 (1)(dxdy)=(1)=dydx(dy1)dx=-y21=-y3ydy(y)y(y). y(y)3yyy(y)3-y3(y)2y13(y)2-yydddx()
33、()=-=-=-= (2)dx. 33365dydy(y)dx(y)(y) 5. 已知物体的运动规律为s=Asinwt(A、w是常数), 求物体运动的加速度, 并验证: dtd2s+w2s=02dt. 解 ds=Awcoswt, 2s d2=-Aw2sinwt. dtd2sdt2就是物体运动的加速度. dt2s d2+w2s=-Aw2sinwt+w2Asinwt=0. 6. 验证函数y=C1elx+C2e-lx(l,C1，C2是常数)满足关系式: y-l2y=0 . 解 y=C1lelx-C2le-lx, y=C1l2elx+C2l2e-lx. y-l2y=(C1l2elx+C2l2e-lx)
34、-l2(C1elx+C2e-lx) =(C1l2elx+C2l2e-lx)-(C1l2elx+C2l2e-lx)=0 . 7. 验证函数y=e xsin x满足关系式: y-2y+2y=0 . 解 y=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x), y=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=2excos x . y-2y+2y=2excos x-2ex(sin x+cos x)+2e xsin x =2excos x-2exsin x-2excos x+2exsin x=0 . 8. 求下列函数的n阶导数的一般表达式: (1) y=xn+a1xn-1
35、+a2xn-2+ +an-1x+an (a1, a2, , an都是常数); (2) y=sin2 x ; (3) y=x ln x ; (4) y=x ex . 解 (1) y=nxn-1+(n-1)a1xn-2+(n-2)a2xn-3+ +an-1 , y=n(n-1)xn-2+(n-1) (n-2)a1xn-3+(n-2)(n-3)a2xn-4+ +an-2 , , y(n)=n(n-1)(n-2) 21x 0=n! . (2) y=2sin x cos x=sin2x , y=2cos2x=2sin(2x+p), 2 y=22cos(2x+p)=22sin(2x+2p), 22 y(4)=23cos(2x+2p)=23sin(2x+3p), 22 , p y(n)=2n-1sin2x+(n-1). 2 (3) y=lnx+1,
