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1、106高等数学同济大学第六本10-6 1. 利用高斯公式计算曲面积分: (1)x2dydz+y2dzdx+z2dxdy, 其中S为平面x=0, y=0, z=0, x=a, Sy=a, z=a所围成的立体的表面的外侧; 解 由高斯公式 QR 原式=(P+)dv=2(x+y+z)dv xyzWW =6xdv=6xdxdydz=3a4(这里用了对称性). W000aaa (2)x3dydz+y3dzdx+z3dxdy, 其中S为球面x2+y2+z2=a2的外侧; S 解 由高斯公式 QR 原式=(P+)dv=3(x2+y2+z2)dv xyzWW =3dqsinjdjr4dr=12pa5. 000
2、5 (3)xz2dydz+(x2y-z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy, 其中S为上半球体 aS2ppx2+y2a2, 0za2-x2-y2的表面外侧; 解 由高斯公式 QR 原式=(P+)d=(z2+x2+y2)dv xyzWWjdr=2pa5. =dq2djr2r2sin0005a2pp (4)xdydz+ydzdx+zdxdy其中S界于z=0和z=3之间的圆柱体 Sx2+y29的整个表面的外侧; 解 由高斯公式 QR 原式=(P+)dv=3dv=81p. xyzWW (5)4xzdydz-y2dzdx+yzdxdy,其中S为平面x=0, y=0, z=0, x=1, Sy=1,
3、z=1所围成的立体的全表面的外侧. 解 由高斯公式 QR 原式=(P+)dv=(4z-2y+y)dv xyzWW =dxdy(4z-y)dz=3. 0002 2. 求下列向量A穿过曲面S流向指定侧的通量: 111 (1)A=yzi+xzj+xyk, S为圆柱x+y2a2(0zh )的全表面, 流向外侧; 解 P=yz, Q=xz, R=xy, F=yzdydz+xzdzdx+xydxdy S =(W(yz)(xz)(xy)+)dv=0dv=0. xyzW (2)A=(2x-z)i+x2yj- xz2k, S为立方体0xa, 0ya, 0za, 的全表面, 流向外侧; 解 P=2x-z, Q=x
4、2y, R=-xz2, F=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy SQr =(P+)dv=(2+x2-2xz)dv xyzWaW2a =dxdy(2+x-2xz)dz=a(2-). 0006aa23 (3)A=(2x+3z)i-(xz+y)j+(y2+2z)k, S是以点(3, -1, 2)为球心, 半径R =3的球面, 流向外侧. 解 P=2x+3z, Q =-(xz+y), R=y2+2z, F=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy SQR8. =(P+)dv=(2-1+2)dv=3dv=10pxyzWWW 3. 求下列向量A的散度: (1)A=(x2+yz)i+(y2+xz)j+(z2+xy
5、)k; 解 P=x2+yz, Q=y2+xz, R =-z2+xy, QRA=P+=2x+2y+2z=2(x+y+z). divxyz (2)A=exyi+cos(xy)j+cos(xz2)k; 解 P=exy, Q=cos(xy), R=cos(xz2), QRA=P+=yexy-xsinxy-2xzsinxz(2). divxyz (3)A=y2zi+xyj+xzk; 解 P=y2, Q=xy, R=xz, QRA=P+=0+x+x=2x. divxyz 4. 设u (x, y, z)、v (x, y, z)是两个定义在闭区域W上的具有二阶连续 偏导数的函数, u, v依次表示u (x,
6、y, z)、v (x, y, z)沿S的外法线方向 nn的方向导数. 证明 v-vu)dS, uDv-vDu)dxdydz=(unnWS其中S是空间闭区间W的整个边界曲面, 这个公式叫作林第二公式. 证明 由第一格林公式(见书中例3)知 222vv u(2+2+v)dxdy dz2xyzW =uvdS-(uv+uv+uv)dxdy,d znxxyyzzSW222uu v(2+2+u)dxdy dz2xyzW =vudS-(uv+uv+uv)dxdy.d znxxyyzzSW将上面两个式子相减, 即得 222222vvvuu u(2+2+2)-v(2+2+u )dxdy d2xyzxyzW =(
7、uv-vu)dS. nnS 5. 利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中所受液体的压力 的合力(即浮力)的方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体的重力. 证明 取液面为xOy面, z轴沿铅直向下, 设液体的密度为r, 在物 体表面S上取元素dS上一点, 并设S在点(x, y, z)处的外法线的方向余 弦为cosa, cosb, cosg, 则dS所受液体的压力在坐标轴x, y, z上的分量 分别为 -rzcosadS, -rzcosb dS, -rzcosg dS, S所受的压力利用高斯公式进行计算得 sdS=0dv=0, Fx=-rzcoaSWbdS=0dv=0, Fy=-rzcosSWsdS=-rdv=-rdv=-r|W|, Fz=-rzcogSWW其中|W|为物体的体积. 因此在液体中的物体所受液体的压力的合力, 其方向铅直向上, 大小等于这物体所排开的液体所受的重力, 即阿基 米德原理得证.
