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1、31高等数学同济大学第六本习题3-1 1. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间p, 5p上的正确性. 66 解 因为y=ln sin x 在区间p, 5p上连续, 在(p, 5p)内可导, 且6666y(p)=y(5p), 所以由罗尔定理知, 至少存在一点x(p, 5p), 使得y(x)=cot 6666x=0. 由y(x)=cot x=0得p(p, 5p). 266 因此确有x=p(p, 5p), 使y(x)=cot x=0. 266 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上的正确性. 解 因为y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上连续, 在
2、(0, 1)内可导, 由拉格朗日中y(1)-y(0)=0. 值定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使y(x)=1-0 由y(x)=12x2-10x+1=0得x=513(0, 1). 12y(1)-y(0) 因此确有x=513(0, 1), 使y(x)=. 1-012 3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x+cos x在区间0, p上验证柯西中值定理的正2确性. 解 因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间0, p上连续, 在(0, p)可导, 且22F(x)=1-sin x在(0, p)内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点x(0, p), 22使得 f(p
3、)-f(0)f(x)2 . =pF(x)F-F(0)2p)-f(0)f(f(x) 令, 即cosx=2. =2F(x)F(p)-F(0)1-sinxp-22化简得sinx=888-10-11sinx=-1在. 易证, 所以222(p-2)+4(p-2)+4(p-2)+4(0, p)内有解, 即确实存在x(0, p), 使得 22f(p)-f(0)f(x)2 . =pF-F(0)F(x)2 4. 试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点x总是位于区间的正中间. 证明 因为函数y=px2+qx+r在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理,
4、至少存在一点x(a, b), 使得y(b)-y(a)=y(x)(b-a), 即 (pb2+qb+r)-(pa2+qa+r)=(2px+q)(b-a). 化间上式得 p(b-a)(b+a)=2px (b-a), 故x=a+b. 2 5. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f (x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间. 解 由于f(x)在1, 2上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1(1, 2), 使f (x1)=0. 同理存在x2(2, 3), 使f (x2)=0; 存在x3(3, 4), 使f
5、 (x3)=0. 显然x1、x2、x 3都是方程f (x)=0的根. 注意到方程f (x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f (x)=0的全部根. 6. 证明恒等式: arcsinx+arccosx=p(-1x1). 2 证明 设f(x)= arcsin x+arccos x. 因为 f(x)=1-10, 1-x21-x2所以f (x)C, 其中C是一常数. 因此f(x)=f(0)=arcsinx+arccosx=p, 即arcsinx+arccosx=p. 22 7. 若方程a0xn+a1xn-1+ + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程
6、 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于x0的正根. 证明 设F(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于F(x)在0, x0上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(0, x0), 使F (x)=0, 即方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于x0的正根. 8. 若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中ax1x2x3b0, n1, 证明: nbn-1(a-b)an-bnnan-1(a-b) . 证明
7、 设f(x)=xn, 则f(x)在b, a上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a), 使 f(a)-f(b)=f (x)(a-b), 即an-bn=nx n-1(a-b). 因为 nbn-1(a-b)nx n-1(a-b) nan-1(a-b), 所以 nbn-1(a-b)an-bnb0, 证明: a-blnaa-b. abb 证明 设f(x)=ln x, 则f(x)在区间b, a上连续, 在区间(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a), 使 1 f(a)-f(b)=f (x)(a-b), 即lna-lnb=(a-b). x因为bxa,
8、所以 1(a-b)lna-lnb1(a-b), 即a-blna1时, exex . 证明 (1)设f(x)=arctan x, 则f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(a, b), 使 f(b)-f(a)=f (x)(b-a), 即arctanb-arctana=12(b-a), 1+x所以|arctanb-arctana|=12|b-a|b-a|, 即|arctan a-arctan b|a-b|. 1+x (2)设f(x)=ex, 则f(x)在区间1, x上连续, 在区间(1, x)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(1, x), 使 f(x
9、)-f(1)=f (x)(x-1), 即 ex -e=ex (x-1). 因为x 1, 所以 ex -e=ex (x-1)e(x-1), 即exex. 12. 证明方程x5+x-1=0只有一个正根. 证明 设f(x)=x5+x-1, 则f(x)是0, +)内的连续函数. 因为f(0)=-1, f(1)=1, f(0)f(1)0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x5+x-1=0至少有一个正根. 假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f (x)存在零点, 但f (x)=5x4+10, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根. 13. 设f(x)、g(x)在a, b上连续, 在(a, b
10、)内可导, 证明在(a, b)内有一点x, 使 f(a)f(b)f(a)f(x)=(b-a). g(a)g(b)g(a)g(x)f(a)f(x), 则j(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗g(a)g(x) 解 设j(x)=日中值定理, 存在x(a, b), 使 j(b)-j(a)=j(x)(b-a), 即 f(a)f(x)f(a)f(x)f(a)f(b)f(a)f(a). -=(b-a)+g(a)g(b)g(a)g(a)g(a)g(x)g(a)g(x)f(a)f(b)f(a)f(x)=(b-a). g(a)g(b)g(a)g(x)因此 14. 证明: 若函数.f(x)在(
11、-, +)内满足关系式f (x)=f(x), 且f(0)=1则f(x)=ex . f(x) 证明 令j(x)=x, 则在(-, +)内有 ef(x)ex-f(x)e2f(x)ex-f(x)e2=0, j(x)=e2xe2x所以在(-, +)内j(x)为常数. 因此j(x)=j(0)=1, 从而f(x)=ex . 15. 设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且f(0)=f (0)= =f (n-1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明: f(x)f(n)(qx) n= (0q1). n!x 证明 根据柯西中值定理 f(x)f(x)-f(0)f(x1)=n-1(x1介于0与x之间)
12、, x-0xnnx1f(x1)f(x1)-f(0)f(x2)=(x2介于0与x1之间), n-1n-1n-1n-2nx1nx1-n0n(n-1)x2f(x3)f(x2)f(x2)-f(0)=(x3介于0与x2n-2n-2n-3n(n-1)x2n(n-1)x2-n(n-1)0n-2n(n-1)(n-2)x3 之间), 依次下去可得 f(n-1)(xn-1)f(n-1)(xn-1)-f(n-1)(0)f(n)(xn) (xn介于0与xn-1=n(n-1) 2xn-1n(n-1) 2xn-1-n(n-1) 20n!之间), f(x)f(n)(xn)所以n=. n!xf(x)f(n)(qx) 由于xn可以表示为xn =q x (0q1), 所以n= (0q1). n!x
