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1、92高等数学同济大学第六本 习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)(x2+y2)ds, 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1; D 解 积分区域可表示为D: -1x1, -1y1. 于是 22222(x+y)ds=dx(x+y)dy=xy+D111-1-1-1131y-1dx 3 =(2x2+1)dx=2x3+2x-11=-1183333. (2)(3x+2y)ds, 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: D 解 积分区域可表示为D: 0x2, 0y2-x. 于是 (3x+2y)ds=dxD22-x00xdx (3x+2y)dy=3xy+y22-0022202= =
2、(4+2x-2x2)dx=4x+x2-2x30. 033 (3)(x3+3x2y+y2)ds, 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; D 解 323323(x+3xy+y)ds=dy(x+3xy+y)dx=D111000x4+x3y+y3x1dy04yy2y4111113 =(+y+y)dy=+0=+=1. 044244241 (4)xcos(x+y)ds, 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区D域. 解 积分区域可表示为D: 0xp, 0yx. 于是, xcos(x+y)ds=0Dpxxdxcos(x+y)dy=xsin(x+y)0dx 00xp
3、1 =x(sin2x-cosx) 2x-sinx)dx=-xd(cos00pp2+ =-x(1cos2x-cosx)|p020p31(cos2x-cosx)dx=-p. 22 . 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)xyds, 其中D是由两条抛物线y=x, y=x2所围成的闭区域; D 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0x1, x2yx. 于是 xDDyds=dx01xx2122623xydy=xy2x2xdx=(x4-x4)dx=. 030355317 (2)xy2ds, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=(x, y
4、)| -2y2, 0x4-y2. 于是 xyD-22dsdy-224-y201224-y2xydx=xy0dy-2222264 =(2y2-1y4)dy=2y3-1y52. -2=231015 (3)ex+yds, 其中D=(x, y)| |x|+|y|1; D 解 积分区域图如, 并且 D=(x, y)| -1x0, -x-1yx+1(x, y)| 0x1, x-1y-x+1. 于是 eDx+yds=edx-10xx+1-x-1edy+edx0y1x-x+1x-1eydy x+1xy-x+12x+1 =exey-e-1)dx+(e-e2x-1)dx x-1dx+eex-1dy=(e-10-1
5、0010112x-11-1e0=e-e. =1e2x+1-e-1x0-1+ex-22 (4)(x2+y2-x)ds, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域. D 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0y2, 1yxy. 于是 22y2112y222232(x+y-x)ds=dy(x+y-x)dx=x+yx-xydy 0y03222D2 =(19y3-3y2)dy=13. 02486 3. 如果二重积分f(x,y)dxdy的被积函数f(x, y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积, D即f(x, y)= f1(x)f2(y), 积分区域D=(x, y)| axb,
6、 c yd, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 Df1(x)f2(y)dxdy=f1(x)dxabdbdcf2(y)dy 证明 Df1(x)f2(y)dxdy=dxf1(x)f2(y)dy=f1(x)f2(y)dydx, acacbd而 故 dcdf1(x)f2(y)dy=f1(x)f2(y)dy, cdDf1(x)f2(y)dxdy=f1(x)f2(y)dydx. acbd由于f2(y)dy的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得 cDf1(x)f2(y)dxdy=f1(x)dxabdcf2(y)dy 4. 化二重积分I=f(x,y)ds为二次积分(分别列出对两个变量先后次
7、序不同D的两个二次积分), 其中积分区域D是: (1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|0x4, xy2x, 或D=(x, y)| 0y4, 1y2xy, 4所以 I=dx042xxf(x,y)dy或I=dyyf(x,y)dx. 24y04 (2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y0)所围成的闭区域; 解积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|-rxr, 0yr2-x2, 或D=(x, y)| 0yr, -r2-y2xr2-y2, 所以 I=dx-rrr2-x20f(x,y)dy, 或I=0dy-rr2-y2r2-y2f(x,y)
8、dx. (3)由直线y=x, x=2及双曲线y=1(x0)所围成的闭区域; x 解积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|1x2, 1yx, x 或D=(x, y)| 1y1, -1x2(x, y)|1y2, yx2, 2y所以 I=dxf(x,y)dy, 或I=dyf(x,y)dx+dyf(x,y)dx. 11x121y2x12221y (4)环形闭区域(x, y)| 1x2+y24. 解 如图所示, 用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D4. 于是 I=f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(x,y)ds D1D2D3D4
9、 =dx-2-14-x2-4-x2f(x,y)dy+dx-1214-x21-x2f(x,y)dy +dx-11-1-x2-4-x2f(x,y)dy+dx14-x2-4-x2f(x,y)dy 用直线y=1, 和y=-1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4, 如图所示. 于是 I=f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(x,y)ds D1D2D3D4 =dy124-y2-4-y2f(x,y)dx+dy-11-1-y2-4-y2f(x,y)dx +dy-114-y21-y2f(x,y)dx+dy-2-14-y2-4-y2f(x,y)dx 5. 设f(x
10、, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(ba)围成的闭区域, 证明:dxf(x,y)dy=dyf(x,y)dx. aaaybxbb 证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D=(x, y)|axb, ayx, 或D=(x, y)|ayb, yxb. 于是 Df(x,y)ds=dxf(x,y)dy, 或f(x,y)ds=dyf(x,y)dx. aaDbxbbay因此 abdxf(x,y)dy=dyf(x,y)dx. aayxbb 6. 改换下列二次积分的积分次序: (1)dyf(x,y)dx; 001y 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|0y1, 0xy,
11、 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0x1, xy1, 所以 0201dyf(x,y)dx=dxf(x,y)dy. 00x2y2y11 (2)dyf(x,y)dx; y 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|0y2, y2x2y, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0x4, xyx, 所以 2012dy2yy2f(x,y)dx=dxx04xf(x,y)dy. 2 (3)dy01-y2-1-y2f(x,y)dx; 解 由根据积分限可得积分区域D=(x,y)|0y1, -1-y2x1-y2, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x,y)|-1x1, 0y1
12、-x2, 所以 0dy-2111-y21-y22f(x,y)dx=dx-111-x20f(x,y)dy (4)dx2x-x2-xf(x,y)dy; 解 由根据积分限可得积分区域D=(x,y)|1x2, 2-xy2x-x2, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x,y)|0y1, 2-yx1+1-y2, 所以 1dx2-xelnx1022x-x2f(x,y)dy=dy011+1-y22-yf(x,y)dx. (5)dxf(x,y)dy; 解 由根据积分限可得积分区域D=(x, y)|1xe, 0yln x, 如图. 因为积分区域还可以表示为D=(x, y)|0y1, eyx e, 所以 1p0
13、edxlnx0f(x,y)dy=dy0x21eeyf(x,y)dx (6)dxsinx-sinf(x,y)dy(其中a0) 解 由根据积分限可得积分区域D=(x,y)|0xp, -sinxysinx, 如图. 2 因为积分区域还可以表示为 D=(x,y)|-1y0, -2arcsiynxp (x,y)|0y1, arcsiynxp-arcsiyn, 所以 0pdxsinxx2-sinf(x,y)dy=dy-10p-2arcsinyf(x,y)dx+dy01p-arcsinyarcsinyf(x,y)dx. 7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围成, 它的面密度为m(
14、x, y)=x2+y2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为 M=m(x,y)ds=(x+y)ds=dy2212-yy0(x2+y2)dx DD =1(2-y)3+2y2-7y3dy=4. 01333 8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积. 解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为 V=(6-2x-3y)dxdy=dx(6-2x-3y)dy D11001917 =6y-2xy-3y21. dx=(-2x)dx=002022 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平面z=0及抛物面x2
15、+y2=6-z截得的立体的体积. 解 立体在xOy面上的投影区域为D=(x, y)|0x1, 0y1-x, 所求立体的体积为以曲面z=6-x2-y2为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即 V=(6-x2-y2)ds=dxD11-x00(6-x2-y2)dy=176. 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积. z=x2+2y2222222 解 由消去z, 得x+2y=6-2x-y, 即x+y=2, 故立体在xOy面22z=6-2x-y上的投影区域为x2+y22, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数, 所以 V=(6-2x2-
16、y2)-(x2+2y2)ds=(6-3x2-3y2)ds DD =1220dx2-x20(2-x2-y2)dy=8D20(2-x2)3dx=6p. 11. 画出积分区域, 把积分f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是: (1)(x, y)| x2+y2a2(a0); 解积分区域D如图. 因为D=(r, q)|0q2p, 0ra, 所以 f(x,y)dxdy=f(rcosq,rsinq)rdrdq DD =dqf(rcoqs,rsinq)rdr. 002pa (2)(x, y)|x2+y22x; 解 积分区域D如图. 因为D=(r,q)|-pqp, 0r2cosq,
17、所以 22 f(x,y)dxdy=f(rcosq,rsinq)rdrdq DDp =2pdq-22cosq0f(rcosq,rsinq)rdr. (3)(x, y)| a2x2+y2b2, 其中0a0)所围成的闭区域; D 解 因为积分区域可表示为D=(x, y)|ay3a, y-axy, 所以 22(x+y)ds=dyD3aa3a1(x2+y2)dx=(2ay2-a2y+a3)dy=14a4. y-aa3y (4)x2+y2ds, 其中D是圆环形闭区域(x, y)| a2x2+y2b2. D 解 在极坐标下D=(r, q)|0q2p, arb, 所以 Dx+yds=222p0dqr2dr=a
18、b2p(b3-a3). 3 16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线r=2q上一段弧(0qp)与直线q=p22所围成, 它的面密度为m(x, y)=x2+y2. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下D=(r,q)|0qp, 0r2q, 所以所求质量 2 M=m(x,y)ds=dqrrdr=4q4dq=p. 2p2qp225D00040 17. 求由平面y=0, y=kx(k0), z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积. 解 此立体在xOy面上的投影区域D=(x, y)|0qarctank, 0rR. V=R2-x2-y2dxdy=Darctkan0dqR0R2-r2rdr=13Rarctakn. 3 18. 计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积. 解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为D=(x, y)|x2+y2ax. 在极坐标下D=(r,q)|-pqp, 0racosq, 所以 22p V=222(x+y)dxdy=2pdq2acoqsx+yax-20a4r2rdr=4p-p2cos4qdq=234ap. 32
