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1、一元二次方程根与系数的关系习题一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1关于x的方程ax2-2x+1=0中，如果a0 原方程有两个不相等的实数根。 =4-4a 4-4a0 Qa0 2设x2221,x2是方程2x-6x+3=0的两根，则x1+x2的值是 15 12 6 3 解：Q方程两根为x2221，x2 x1+x2=(x1+x2)-2x1x2 x1+x2=3，x31x2=2 =32-232=6 3下列方程中，有两个相等的实数根的是 2y2+5=6yx2+5=25 x3 x22 x+2=03x226 x+1=0 (本题为找出“D=0”的方程即可) 4以方程x22x30的两个根的和与积为
2、两根的一元二次方程是 y2+5y6=0 y2+5y6=0 y25y6=0 y25y6=0 解：设方程两根为x1，x2，则： y2-(-2)+(-3)y+(-2)(-3)=0 x1+x2=-2，x1x2=-3 即：y2+5y+6=0 以-2和-3为根的一元二次方程为： 5如果x221，x2是两个不相等实数，且满足x1-2x1=1，x2-2x2=1，那么x1x2等于2 2 1 1 解：Qx221-2x1=1，x2-2x2=1 的两根 x21，x2可看作是方程x-2x=1 x1x2=-1 二、填空题： 1、如果一元二次方程x2+4x+k2=0有两个相等的实数根，那么k2。 解：Q方程x2+4x+k2
3、=0 D=16-4k2=0 有两个相等的实数根 k=2 1 D ） 2、如果关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是k-9。 8解：Q方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0 8k+90 9有两个不相等的实数根 k- 8D=-(4k+1)2-8(2k2-1)0 3、已知x1，x2是方程2x-7x+4=0的两根，则x1+x227，x1x22，(x1-x2)2 2717(x1+x2)2-4x1x2=2-42= 244、若关于x的方程(m2-2)x2-(m-2)x+1=0的两个根互为倒数，则m-3。 m=3 解：设方程两根为x1，x2，则：x1+x
4、2=m-21，xx= 当m=3时，D=-(m-2)2-4(m2-2)0 x1x2=1=1 m=-3 2m-2m2-2=1 5、当m4时，方程x+mx+4=0有两个相等的实数根； 2解：Q方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根 D=m2-16=0 m=4 当m0且m0 m4且m0时，原方程有两个不相等的实数根。 6、已知关于x的方程10x-(m+3)x+m-7=0，若有一个根为0，则m=7，这时方程的另一个根是1；若283两根之和为 ，则m=-9，这时方程的 两个根为x1=-，x2=1. 552 a、b，则：解：(1)设方程10x2-(m+3)x+m-7=0 (2)设原方程两根为m+3m-7，
5、ab= 1010m+330+x1= Q原方程两根之和为- 105m-7m+330x1=- a+b=10105由，得：m=7 m=-9 a+b=另一根为x1，则：将m=7代入，得： 原方程可化为：5x2+3x-8=0 x1=1 (5x+8)(x-1)=0 8m=7，x1=1时，方程一根为0 x=-或x=1 57、如果x-2(m+1)x+m+5是一个完全平方式，则m=2； 22解：令x2-2(m+1)x+m2+5=0 4(m2+2m+1)-4m2-20=0 Qx2-2(m+1)x+m2+5是完全平方式 8m-16=0 方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等实根 m=2 D=-2(m+1)
6、2-4(m2+5)=0 8、方程2x(mx-4)=x-6没有实数根，则最小的整数m=2; 2解：将方程2x(mx-4)=x2-6 -48m+8811 6Q原方程没有实数根 最小整数m为2 D=64-24(2m-1)0 x1+x2=7m-2，x1x2=3m m=2 23 Q方程两根的和与两根的积相等 10、设关于x的方程x-6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为-16; 2解：Qm、n是方程的两根 将m=8代入，得： m+n=6 n=-2 mn=k 将m=8，n=-2代入，得： 3m+2n=20 k=8(-2)=-16 2-，得： Q当k=-16时，D=36-4k0 -m=-8
7、 k=-16 m=8 11、若方程x2-(2m-1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是m-3; 4解：Q原方程有实数根 -4m3 3D=-(2m-1)2-4(m2+1)0 m- 434m2-4m+1-4m2-40 当m-时，原方程有两个实数根。 412、一元二次方程x+px+q=0两个根分别是2+3和2-3，则p=-4,q=1; 2解：Q方程两根为2+3和2-3 p=-4 (2+3)+(2-3)=-p q=1 (2+3)(2-3)=q p=-4，q=1 解之，得： 213、已知方程3x-19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是x=16，m=16; 3 解：设方程的另一根为x1，则
8、：1+x1=x1=19 m=16 3m时，D=192-12a0 Q当a=1631616，m=16。由，得：x1= 方程另一根为x= 3316将x1=代入，得： 34 14、若方程x+mx-1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是0; m=0 解：设方程两根为x1，x2，则：2x1+x2=-m Q当m=0时，D=m2+40 Q方程两根互为相反数反数。 m=0时，原方程两根互为相 x1+x2=-m=0 15、m、n是关于x 的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式m=1。 n解：Qm、n是方程的两根 将代入，得： m+n=2m-1 m(m-1)=m2+1 mn=m2+1 m
9、=-1 化简，得： 把m=-1代入，得： n=m-1 n=-2 mn=m2+1 mn=(-1)-2=1 16、已知方程x-3x+1=0的两个根为,，则+=3, =1; 17、如果关于x的方程x-4x+m=0与x-x-2m=0有一个根相同，则m的值为0或3; 222解：Q方程有一个相同的根 将x=m代入x2-4x+m=0，得： x2-4x+m=x2-x-2m m2-4m+m=0 (-4+1)x=-2m-m m(m-3)=0 这个相同的根为：x=m m=0或m=3 1218、已知方程2x-3x+k=0的两根之差为2 ，则k=-2; 2925 -2k= 解：设方程两根为x1，x2，则：443kx1+
10、x2=，x1x2= k=-2 221Qx1-x2=2 Qk=-2时，D=9-8k0 2252(x1-x2)2= 关于x的方程2x-3x+k=0两根 45 (x1+x2)2-4x1x2=251 差为2时，k=-2。 4219、若方程x2+(a2-2)x-3=0的两根是1和3，则a=2; 解：Q方程两根1和-3 a2=4 1+(-3)=-(a2-2) a=2 20、若关于x的方程x2+2(m-1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为-1; 21 m= 解：设方程两根为x1，x2，则：21x1+x2=-2(m-1)，x1x2=4m2 Q当m=时，D=2(m-1)2-16m20
11、 21x1x2=4m2=1 m=- 2、已知关于x的一元二次方程(a-1)x-(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a=2。 a=2 解：设方程两根为x1，x2，则：22x1+x2=a+1122，xx= Q当a=2时，D=(a+1)-4(a-1)0 1222a-1a-1Q方程两根互为倒数 当a=-2时，D=(a+1)2-4(a2-1)0 由，得：x1=-1 方程另一根为x=-1，a=将x1=-1代入，得： 6 2-1。22、如果关于x的方程x+6x+k=0的两根差为2，那么k=8。 36-4k=4 解：设方程两根为x1，x2，则：2x1+x2=-6，x1x2=k k=8 Qx1-x2=2 Qk=
12、8时，D=36-4k0 (x1-x2)2=4 关于x的方程x2+6x+k=0的两根 (x1+x2)2-4x1x2=4 差为2时，k=8。23、已知方程2x+mx-4=0两根的绝对值相等，则m=0。 当x1=-x2时，x1+x2=0 解：设方程两根为x1，x2，则：2x1+x2=-mm，x1x2=-2 x1+x2=-=0 22Qx1=x2 m=0 x1=x2或x1=-x2 Q当m=0时，D=m2+320 当x1=x2时，D=m2+32=0 2x2+mx-4=0两根绝对值相等 Qm2+320 时，m=0。 x1x2 24、一元二次方程px2+qx+r=0(p0)的两根为0和1，则qp=1:1。 0
13、和-1 Q方程两根为解：设方程两根为x1，x2，则：q=1 px1+x2=-qq -=0+(-1)=-1 pp225、已知方程3x+x-1=0，要使方程两根的平方和为13，那么常数项应改为-2。 9122m13= 解：设方程两根为x1，x2， (-)-339并设方程的常数项为m，则： 1-6m=13 1mx1+x2=-，x1x2= m=-2 331322Qx1+x2= Qm=-2时，D=1-12m0 97 (x1+x2)2-2x1x2=213 常数项应改为-2。 926、已知方程x+4x-2m=0的一个根比另一个根小4，则=-4；=0；m=0。 解：据题意，得： 将a=-4代入，得：b=0 a
14、+b=-4 将a=-4，b=0代入，得： ab=2m m=0 a-b=-4 Q当m=0时，D=16+8m0 +，得：a=-4 a=-4，b=0，m=0 27、已知关于x的方程x2-3mx+2(m-1)=0的两根为x1，x2，且1113+=-，则m= 。 3x1x24 解：Q方程两根为x1，x2，则：x1+x213=- m= 3x1x2413m3=- Qm=时，D=(-3m)2-8(m-1)0 32(m-1)4x1+x2=3m，x1x2=2(m-1) Q1113+=- 12m=-6(m-1) m= 3x1x249时，方程有两个正数根；当m0时，方程有一个正根，一8228、关于x的方程2x-3x+
15、m=0，当0m个负根；当m=0时，方程有一个根为0。 解：设方程2x2-3x+m=0 x1，x2= m0 两根为x1，x2，则：m0 x1，x2=m90 m0 m0 又Q方程有两个正数根 当m0时，方程有一正一负两个根 D=9-8m0 (3)、Q方程有一根为0 8 m9 m=0 8900 没有实数根 9m- D=8m+9-时，原方程有两个 m- 889不相等的实数根。 当m0 =4m-4(m+5m+4) -4(m+2)0 =-4m-16m-16 即：D0 x2-3x+2-k2=0 方程(x-1)(x-2)-k2=0 D=9-4(2-k2) 有两个不相等的实数根 =4k2+1 不论k为何实数，关
16、于x的式子 Q4k20 (x-1)(x-2)-k2都可以分解成两个 4k2+10 一次因式的积。 5、当k取什么实数时，二次三项式2x2-(4k+1)x+2k2-1可因式分解. 解：令2x2-(4k+1)x+2k2-1=0 8k+90 Q当2x2-(4k+1)x+2k2-1=0有两 k-98 个实根时，原二次项式可因式分解 当k-98时，二次三项式 D=(4k+1)2-8(2k2-1)0 2x2-(4k+1)x+2k2-1可因式分解。 6、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，x2+2ax+1-12(a2x2-a2-1)=0有无实根？ 解：Qx2+2ax+1-12(a2x
17、2-a2-1)=0 D=4a2-40 2x2+4ax+2-a2x2+a2+1=0 a21 (2-a2)x2+4ax+a2+3=0 4a44，20a220 D=16a2-4(2-a2)(a2+3) 4a4+20a2-240 =16a2-4(2-a2)(a2+3) 即：D0 =4a4+20a2-24 方程x2+2ax+1-1(a2x2-a22-1)=0 Q方程x2+2ax+1=0有两个不等实根 有两个不相等的实数根。 10 试判别方程7、已知关于x的方程mx-nx+2=0两根相等，方程x-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。求证：方程x2-(k+n)x+(k-m)=0一定有实数根。 22证明
18、：Q方程mx2-nx+2=0 m=2 两根相等 n=4 m0 将m=2，n=4代入方程 D=n2-8m=0 x2-(k+n)x+(k-m)=0得： Q方程x2-4mx+3n=0 x2-(k+4)x+(k-2)=0得：一根是另一根的3倍 QD=(k+4)2-4(k-2) 2 =k+8k+16-4k+8 设方程一根为x1，另一根为3x1，则：x1+3x1=4m =k2+4k+24 x13x1=3n =(k+2)+20 2n=m2 Q(k+2)20 将代入，得： (k+2)+200 2m4-8m=0 D0 m(m3-8)=0 方程x2-(k+n)x+(k-m)=0 m=0或m=2 一定有实数根。 Q
19、m0 8、已知方程2x-5mx+3n=0的两根之比为23，方程x-2nx+8m=0的两根相等(mn0)。求证：对任意实数k，方程mx+(n+k-1)x+k+1=0恒有实数根。 222证明：Q方程2x2-5mx+3n=0 将m=2，n=4代入方程 的两根比为2:3 mx2+(n+k-1)x+k+1=0得： 2设此方程两根为2a和3a，则： 2x+(4+k-1)x+k+1=0 5m QD=(3+k)2-8(k+1) 232a3a=n =9+6k+k2-8k-8 22a+3a=11 n=m2 =k2-2k+1 Q方程x2-2nx+8m=0两根相等 =(k-1)2 D=4n2-32m=0 又Q(k-1
20、)20 n2-8m=0 D0 k，方程 m4-8m=0 对于任意实数m(m3-8)=0 mx2+(n+k-1)x+k+1=0 m=0或m=2 恒有实数根。 Qmn0 m=2 n=4 9、设x1，x2是方程2x+4x-3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： 2xx112(1)、(x1+1)(x2+1) (2)、+ (3)、2+1 (4)、x1+x1x2+2x1 x1x2x1x2xx解：Qx1，x2是一元二次方程 (3)、2+1x1x2x+x22x+4x-3=0的两根 =1x1x2222(x1+x2)2-2x1x23x1+x2=-2，x1x2=- =2x1x23(-2)2-2(-)2 (1
21、)、(x1+1)(x2+1) =3-24+32=x1x2+x1+x2+1 =7(-) 33-2314=-2-+1 =- 235=- (4)、x12+x1x2+2x1 211(2)、+ =x1(x1+x2+2) x1x2=x1+x2 =x1(-2+2) x1x212 =-2 =x10 3-24= =0 3210、设方程4x-7x+3=0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值: (1) x1+x2 (2) x1-x2 x1+22x2 x1-x2 解：Qx1，x2是一元二次方程 x1+x2 4x2-7x+3=0的两根 =(x1+x2)2 73x1+x2=，x1x2= =x1+x2+2x1x2
22、44(1) x1+x2 =2273 +2447+3 4=(x1+x2)2-2x1x2 =733=2-2 =1+3 444=2532 =(1+) 162(2) x1-x2 =1+3 2=(x1-x2)2 x1-x2 =(x1+x2)2-4x1x2 =(x1-x2)2 73=2-4 =(x1+x2)2-4x1x2 44=1723 =-4 1644111 = 41642=11、已知x1，x2是方程2x+3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) (2x1-3)(2x2-3)； (2)x1x2+x1x2 13 33解：Qx1，x2是一元二次方程 =-2-(-9)+9=16 2x
23、2+3x-1=0的两根 =16 31x1+x2=-，x1x2=- (2)x13x2+x1x23 22(1) (2x1-3)(2x2-3) =x1x2(x1+x2) 22=4x1x2-6x1-6x2+9 =x1x2(x1+x2)2-2x1x2 131=4x1x2-6(x1+x2)+9 =-(-)2-2(-) 2221313=4(-)-6(-)+9 =- 22812、实数、分别满足方程19s+99s+1=0和且19+99t+t=0求代数式22st+4s+1的值。 tst+4s+1 t4s1+ 19+99t+t2=0 =s+tt11ss、可看作是方程 =(s+)+4 ttt99419x2+99x+1
24、=0的两根 =-+ 19191991s195s+=-，s=-5 =-t19tt1919解：Q19s2+99s+1=0 13、设：3a-6a-11=0，3b-6b-11=0且ab，求a+b的值。 2244解：Q3a2-6a-11=0 a4+b4 3b2-6b-11=0 =(a2+b2)2-2a2b2 a、b可看作是方程 =(a+b)2-2ab2-2a2b2 11211)-2(-)2 33111156242914a+b=2，ab=- =-= 39993x2-6x-11=0的两根 =22-2(-14、已知a=1-a，b=1-b，且ab，求(a1)(b1)的值。 22解：Qa2=1-a a+b=-1，
25、ab=-1 b2=1-b (a-1)(b-1) a、b可看作是方程 =ab-a-b+1 14 x2=1-x的两根 =ab-(a+b)+1 Q原方程可化为：x2+x-1=0 =-1-(-1)+1=1 15、已知m+m-4=0，21111+-4=0mm+，m，n为实数，且，求代数式的值 n2nnn解：Qm2+m-4=0 x2+x-4=0的两根 11m11+-4=0m+=-1,m=-4 2nnnnn11m、可看作是方程 代数式m+的值为-1。 nn16、已知2s+4s-7=0，7t-4t-2=0，s，t为实数，且st1。求下列各式的值： 22st+13st-2s+3； (2)。 ttst+11=s+
26、=-2 解：Q2s2+4s-7=0 (1)、tt3st-2s+32s3=3s-+ 7t2-4t-2=0 (2)ttt111s、可看作是方程 =3(s+)-2s ttt72x2+4x-7=0的两根 =3(-2)-2(-) 2117s+=-2，s=- =-6-(-7)=1 tt2(1)17、已知关于x的方程x(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值; 2解：设方程两根为x1、x2,则 k=3 x1+x2=k+1，x1x2=k+2 QD=(k+1)2-4(k+2) Qx1+x2=6 当k=3时，D0，符合题意 (k+1)2-2(k+2)=6 k的值为-3。k2=9 18、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2
