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1、一次函数竞赛赏析图解例题剖析竞赛真题一. 教学内容： 一次函数的图像、性质和应用；二元一次方程组的图像解法 学习目标 1. 理解一次函数的图像是一条直线以及它的性质，会画一次函数的图像. 2. 会应用一次函数的性质解决实际问题，能够用图像法解二元一次方程组. 3. 通过学习，进一步体会“数形结合”的数学思想方法以及数学建模的思想. 二. 重点、难点： 能够熟练地用描点法、两点法画出一次函数的图像，用图像法解二元一次方程组，理解一次函数性质并会应用一次函数解决问题是重点；难点是对一次函数性质的理解以及应用一次函数解决问题. 三. 知识要点： 1. 一次函数与正比例函数的图像 一般地，一次函数殊的
2、，正比例函数直线得到的.或者说直线平移单位得到的. 是由直线是由直线的图像是过，的一条直线；特或向下向右平移单位的图像是过，的一条直线. 或向左2. 一次函数的性质 增减性：如果，那么y的值随x值的增大而增大； 如果值随x值的增大而减小 所通过的象限如下表 k，b的符号 k0，b0 k0，b0 k0 ，那么y的k0，b0，即k，b为同号；另外从一次函数ykx+b的图像可以看出k0，即k，b异号，所以出现矛盾情况.做此类题目的关键是对一次函数性质的理解和掌握. 解 A 例3 一次函数的图像过，且与坐标轴所围成的图形的面积为9，求一次函数的函数关系式. 分析 要求一次函数的函数关系式，必须知道函数
3、图像经过两点的坐标，由条件知一个点的坐标，必须求出另一个点的坐标.由“图像与坐标轴所围成的面积为9”可求得另一个点的坐标.最后用待定系数法去求关系式. 用心 爱心 专心 2 解 如图，设一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，则OA3，OB.又或. ，故B的坐标为设一次函数的函数关系式为，则 得 所以一次函数的解析式为y2x+6或y2x6 评析 解决面积问题结合图形考虑，不但对问题容易把握，而且可以使问题解决的更全面. 例4 如图所表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y随时间x变化的图像.根据图像回答下列问题： 求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇； 求这次比赛的全程是多少千米；
4、 求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇. 分析 认真读图，通过图像上的一些特殊点，如图像与坐标轴的交点，图像的起、终点，图像上已用虚线表示出横、纵坐标的点等寻找突破口，如本题以A，B两点为突破口. 解 当把和代入得 用心 爱心 专心 3 当y6时，有比赛开始24min两人第一次相遇. 设比赛的全程为12km. 当解得 解方程组 比赛开始38min两人第二次相遇. 评析 本题体现了从形到数的转化，是数形结合的具体运用，也是待定系数法的具体应用，此方法与方程、方程组的解法密不可分. 例5 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y与燃烧时间x的关系如图所示.请根据图象所提供的信息解
5、答下列问题： 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 ； 分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； 当x为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？ 分析 纵轴表示蜡烛的高度. 因为图像都是线段，所以它们的函数关系式都是一次函数.根据图像上提供的点的坐标用待定系数法分别求解. 求出两条线段的交点坐标，结合图像的位置求解. 解 30cm， 25cm； 2h， 2.5h 用心 爱心 专心 4 设甲蜡烛燃烧时y与x函数关系式为观察可知，它的图像经过点， 所以解得所以甲蜡烛燃烧时函数关系式为设乙蜡烛燃烧时y与x函数关系式为 观察可知，它的图像经过点， 所以解得甲
6、蜡烛比乙蜡烛乙蜡烛燃烧时函数关系式为：当甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等时，则所以x1时，甲蜡烛与乙蜡烛的高度相等. 观察图像可知，当低. 方法指导 第小问要抓住交点的意义，并结合图像求解. 例6 学校有一批复印任务，原来有甲复印社承接，按每100页40元计费.现在乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图 根据图像回答下列问题： 乙复印社的每月承包费是多少? 当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同? 如果每月复印页数在1200页左右，那么学校应选择哪个复印社比较合算? 分析 由图像可知，乙的图像与y轴的交点坐标为，说明乙每月的承包费为200
7、元；而“收费相同”在图像上的反映就是两条直线的交点位置；对于选择哪家复印社比较合算，那就要看当x1200时，哪条直线的位置“较低”了. 解 乙复印社的每月承包费为200元； 从图像上观察可知，当每月复印800页时，两复印社实际收费相同； 用心 爱心 专心 5 如果每月复印页数在1200页左右，也就是当x1200时，其在乙图像上的点低于甲图像上的点，故说明学校应选择乙复印社比较合算. 评析 根据条件，本题还可以依据图像写出收费y与复印页数x之间的函数关系式，甲为y0.4x，乙为y0.15x+200.这样就可以通过解方程以及计算来求出第，问了. 1. 若函数的图象经过点，则函数的表达式可能是 2.
8、 一次函数ykx+b满足kb0且y随x的增大而减小，则此函数图象不经过 A、第1象限 B、第2象限 C、第3象限 D、第4象限 3. 两个一次函数y1mx+n，y2nx+m，它们在同一坐标系中的图象可能是下图中的 4. 在函数y2x+3中，当自变量x满足 时，图象在第一象限. 5. 已知一次函数ykx+b的图象经过点且不经过第四象限，则满足以上条件的一个一次函数的解析式为 6. 某污水处理厂的一个净化池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个，每个进水口进水速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出
9、了以下三个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水也不出水.其中正确的是 A、 B、 C、 D、 7. 如图，过点A的一次函数的图象与正比例函数y2x的图象相交于点B，能表示这个一次函数的解析式为 A. 2xy+30 B. xy30 C. 2yx+30 D. x+y30 用心 爱心 专心 6 8. 如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km的过程中，行驶的路程与经过的时间的函数关系，请根据图象填空： 出发早，早了 小时， 先到达，先到 小时，电动自行车的速度为 km/h，汽车的速度为 km/h. 9. 已知正比例函数yk1x的图象与一次函数y k2x9的图
10、象相交于点P. 求k1、k2的值； 如果一次函数y k1x9的图象与x轴交于点A，求A的坐标. 10. 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下： 印数x 成本y 5000 28500 8000 36000 10000 41000 15000 53500 经过对上表数据的探究，发现这种读物的投入成本y是印数x的一次函数，求这个一次函数的解析式； 如果出版社投入48000元，那么能印读物多少册？ 11. 某公司推销一种产品，设x是推销产品的数量，y是推销费，下图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：
11、 求y1、y2的解析式； 解释图中表示的两种方案是如何付推销费的； 如果你是推销员，应如何选择付费方案？ 用心 爱心 专心 7 12. 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧.经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次， 公司要求电视台每周共播放7集. 设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式； 已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙
12、连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值. 1. y 2x 2. A 3. B 4. 5. yx+1 6. C 7. D 8. 电动车， 2 ， 汽车， 2 ， 18 km/h， 60 km/h. 9. k12，k21； 10. 12800 11. 第一种情况是按照推销的件数提成；第二种情况是先付给推销员300元，然后再按推销的件数提成. 当推销产品的件数等于30件时，两种方案一样， 然后再分大于30件和小于30件来考虑 12. y5x+105 略 一次函数最优化问题的解法 用心 爱心 专心 8 一次函数解法全析 取值范围 1、方法要领 求自变量的取值范围，主要考虑三点：分母不为0，即1中
13、x0；x二次根号内的数大于或等于0，即x中，x0；实际问题中的自变量，要使其有实际意义. 2、实战分析 例1、(XX年，荆门)如果代数式-m+1mn有意义，那么平面直角坐标系中的点P的位置在. A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解：要考虑两点：第一，分母不为0，即mn0；第二，二次根号内的数-m0大于或等于0，故要.所以m0,n0.故点P在第三象限. mn0例2、求y=x-22-x中自变量x的取值范围. 解：由分子中的x-20，及分母2-x0.综合可得x2. 3、融会贯通 (XX年，兰州)函数3x-1+1 中自变量的取值范围是 2x-4A且 B C且 D 全体实数 x+3中自变量
14、x的取值范围. x2-1求y= 用心 爱心 专心 9 函数概念 1、方法要领 若两个变量x，y的关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k0)的形式，则称y=kx+b为一次函数 (x为自变量，y为因变量)特别地，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数 2、实战分析 例3、已知关于x的函数y=(m2)xm-5m+5+m3，问：当m为何值时，它是一次函数？ 解：根据一次函数的定义，有 m2-5m+5=1m=1或m=4 解得 m2m-202故m=1或m=4 例4、如果关于x的函数y=mxm2-3是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(x，y)，总有xy0，求m的值 分析：根据正比例函数y
15、=kx(k0)中对k的要求及对x的指数的要求，可求得m的值 解：根据题意，y=mxm2-3是正比例函数，故有m23=1，且m0，得m=2. y=20.xy0，与题设矛盾. x但当m=2时，y=2x，由xy0,b=0 k0,b0 yyy xxx13 用心 爱心 专心 k0,b0 k0 k0 利用图象的性质可轻松解决很多问题.另外，两个一次函数的图象平行时，它们的自变量系数k是相等的. 2、实战分析 例9、已知关于x的函数y=x+n的图象经过第一、二、四象限，求m、n的取值范围 解：由函数y=x+n的图象经过第一、二、四象限，可知 m20， m0 例10、已知关于x的一次函数y=(3-m)x-2m
16、2+18 m为何值时，函数的图象经过原点? m为何值时，函数的图象经过点? m为何值时，函数的图象和直线y=x平行? m为何值时，y随x的增大而减小？ -2m2+18=0m=3 解：由题意，m需满足， ，m33-m0 故m=3时，函数的图象经过原点； 由题意得：m需满足-2m2+18=-2， 故m=10时，函数的图象经过点； -2m2+180m3， 由题意，m需满足， m=43-m=-1 故m=4时，函数的图象平行于直线y=x； 当3m3时，y随x的增大而减小 3、融会贯通 2已知某一次函数的图象与正比例函数y=-x平行，且通过点M(0，34) 若点(8，m)和(n，5)在一次函数图象上，求m
17、、n的值； x在什么范围内取值时，这个一次函数的值是正数？ 用心 爱心 专心 14 图象面积 1、方法要领 一次函数的图象与两坐标轴相交能组成三角形，如何求其面积呢？解这类题目一般通过解析式求出三角形顶点的坐标，找出三角形的底和高，直接求其面积.不易找出底和高的，可把三角形进行分割，再分别求其面积.解题时一定要准确画出图形，注意数形结合思想的运用. 2、实战分析 例11、已知直线y1=k1x+b1经过原点和点(2，4)，直线y2=k2x+b2经过点(1，5)和点(8，2) (1)求这两条直线的解析式，并作出其图象 (2)若直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交于点M，直线y2=k2x+b
18、2与x轴交于点N，试求MON的面积 分析：本题可利用待定系数法求解析式然后把两条直线的解析式均看作二元一次方程，二元一次方程组的解就是它们交点的坐标 解：(1)对直线y1=k1x+b1，由题意可得： b1=0 -2k1+b1=-4 解得k1=2， y1=2x 对直线y2=k2x+b2，由题意可得： k2+b2=5, 8k+b=-2.22 解得：k2=-1，b2=6 y2=-x+6 图6 它们的图象如图6所示其交点为M. (2)由于直线y2=k2x+b2与x轴交于点N，令y2=0，得x=6 点N的坐标为(6，0)，于是MON 中，ON=6 又ON边上的高为点M的纵坐标4 1 SDMON=64=1
19、2 2用心 爱心 专心 15 例12、直线y=kx+b过点A(1，5)且平行于直线y=x若点B(m，-5)在这条直线上，O为坐标原点，求m的值及AOB的面积 分析：直线解析式易求.求三角形面积时，因三角形的边不在坐标轴上，可用坐标轴把三角形分成几个边在坐标轴上的小三角形来处理 解：易得直线解析式为y=x+4 B(m，5)在直线上， 5=m+4，m=9 如图7，设直线与y轴的交点为C，则C的坐标为(0，4)由图知 SDAOB=SDAOC+SDBOC 图7 11OC|xA|+OC|xB|2211=41+49 22=20.=3、融会贯通 如图8，直线y= -x+2与x轴、y轴分别交于B点A和点B，另
20、一直线y=kx+b经过点C，且y=kx+bxAC把AOB分成两部分，若AOB被分成的两部分面积O12y=-x+2比为1：5，求k和b的值. 图8 y中考函数 1、方法要领 中考中的一次函数问题，一般和实际问题结合较多.解题中一定要读懂题目的意思，结合一次函数的图象和性质来解题. 2、实战分析 例13、如图9，直线l1、l2相交于点A，l1与x轴的交点坐标为，l2与y轴的交点坐标为，结合图象解答下列问题： -1y3l2l1A用心 爱心 专心 O-1-22x16 求出直线l2表示的一次函数的表达式； 当x为何值时，l1、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？ 解：设l2的解析式为y=kx+b,由
21、图象可知，l2过点和点，则有 2k+b=35，解得：b= -2，k= 图9 2b=-25x-2 2从图象可知，当x-1时，l1表示的一次函数的函数值大于0 .对于l2，444当y=0时，x=，所以 l2与x轴的交点为.再结合图象可知，当x5554时，l2表示的一次函数的函数值大于0 .综合可知，当x时，l1、l2表示的两5个一次函数的函数值都大于0. 例14、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧过程中，其高度y与燃烧时间x之间的关系如图10所示(蜡烛点燃到燃尽过程中不熄灭)，请根据图象所提供的信息解答下列问题： 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ，从点燃到燃尽所用的时间分别是 . 分别求甲
22、、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式. 燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ 所以l2的解析式为y= 图10 解：30cm和25cm；2h和2.5h. 设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y=kx+b .由图10可知，函数的图象过点，则有 2k+b=0k=-15，解得 b=30b=30所以y=-15x+30. 同理可得乙蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为 y=-10x+25. y=-15x+30由，解得两图象交点为，所以当燃烧1h的时y=-10x+25用心 爱心 专心 17 候，甲、乙两根蜡烛的高度相等. 观察图象
23、可知，当0x1时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当1x2.5时，甲蜡烛比乙蜡烛低. 3、融会贯通 温度与我们的生活息息相关，你仔细观察过温度计吗?如图11是一个温度计实物示意图，左边的刻度是摄氏温度()，右边的刻度是华氏温度(F)，设摄氏温度为x()，华氏温度为y(F)，则y是x的一次函数. 仔细观察图中数据，试求出y与x之间的函数表达式； 当摄氏温度为零下15时，求华氏温度为多少? 图11 创新题型 1、方法要领 创新题型主要包括开放型问题、探索型问题、应用型问题.这类题型解法比较灵活，技巧性较强，难以找到解题的突破口.解题关键是要结合一次函数性质，大胆猜测，敢于动手. 2、实战分析 例15、设直线nx
24、+(n+1)y=2(n为非零自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn(n=1,2,2005)，则S1+ S2+ S2005的值是多少？ 分析：通过直线解析式求出直线与两坐标轴交点的坐标，再用n表示出Sn，这时你就会发现表示Sn的代数式是一个非常熟悉的式子，求和将会很简单. 解：当x=0时，y=22，直线与y轴交点B n+1n+1当y=0时，x=22，直线与x轴交点A nn用心 爱心 专心 18 故OA=22，OB= nn+1Sn=SDOAB=1221 =2nn+1n(n+1)111+L+ 1(1+1)2(2+1)2005(2005+1)S1+ S2+ S2005=(1-1111112005)+
25、(-)+ =1-= -22320052006200620063、融会贯通 如图12，在直角梯形ABCD中，AB=22，CD=10，CDEAD=16. P在斜腰BC上任取一点P，过P点作底边的垂线，与下底分别交于E、F.设PE长为x，PF长为y，求y与x的函A数表达式； F如果SPCD=SPAB，P点应取在什么地方？ 图12 运费与利润 一、一次函数的最值 一次函数y=kx+b在nxm时可取得最值。何时取得最大值，何时取得最小值，与比例系数k的符号有关，可分下面几种情况。 上Bx=m时，取得最大值1当k0时， x=n时，取得最小值如：y=2x-6 当x=5时取得最大值4，当x=2时取得最小值-2
26、. x=n时，取得最大值2当k0时， x=m时，取得最小值如：y=-2x-6 当x=2时取得最大值-10，当x=5时取得最小值-16. 二、最优化问题的解法 在商品经济领域，人们要考虑降低生产成本和追求最大利润，有时需要考虑合理调配人力和物力来达到这一目的，下面就如何减少运费和分配劳动力来达到最优化的两个问题来领会一次函数的作用。 例1、A市和B市分别库存机器12台和6台，现在决定支援给C市10台，B市8台。已知从A市调走一台机器到C市、D市的运费分别为400元和800元，从B市调走一台机器到C市、D市的运费分别为300元和500元。指出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 用心 爱心 专心
27、 19 分析与解：不妨设从A市调走x台机器到C市 1调运机器台数 表 运地A市 运地B市 总计 2运费 表收地C市 x 10-x 10台 收地C市 400x元 300元 收地D市 12-x 总计 12台 6台 18台 收地D市 6-(10-x)或8-(12-x) 8台 运地A市 运地B市 800元 500元 由上表可以看出：总运费y=400x+800+300+500 化简得：y=-200x+9700 要想运输方案能够实施，调运机器台数必须为非负数 x012-x0所以： 解得：4x10. 10-x0x-40所以,当x=10时，总运费y取得最小值，最低运费为7700元。 答：总运费最低的调运方案是
28、：从A市调运10台机器到C市，从A市调运2台机器到D市，从B市调运0台机器到C市，从B市调运6台机器到D市，最低运费是7700元。 例2、某水产品养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50千克，或将当日所捕捞的水产品40千克进行精加工。已知每千克水产品直接出售可获利润6元，精加工后再出售，可获利润18元。设每天安排x名工人进行水产品精加工，如果每天精加工的水产品和未来得及加工的水产品全部出售，那么如何安排生产可使一天所获利润最大？最大利润是多少？ 分析与解：设每天安排x名工人进行水产品精加工，列表分析如下： 捕 捞 精加工 人数 200-x x 工人的日工作量 50 40 x 每
29、千克水产品的利润 6 18 由上表可以看出：未来得及加工的水产品为50-40 x y=650(200-x)-40x+18(40x) 化简得：y=180x+60000. 因为未来得及精加工而直接出售的水产品数量为非负整数， 所以，50-40 x0 ，解得：x11000=111 99当x=111时，总利润y取得最大值，最大利润为79980元。 解决这类问题可分三步： 1、 用表格分析数量关系，列出一次函数解析式。 2、 根据实际数据都是非负数列不等式组求出自变量的取值范围。 3、 写出最大值或最小值。 4、 课程导报 北九版 用心 爱心 专心 20 5、 例谈反比例函数与一次函数综合题的解法 6、
30、 山东省曲阜市时庄中学 丰丙莉 刘国华 7、 函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.八年级上册时大家学过一次函数，前一段时间又学习了反比例函数，相信同学们已经逐步形成了对函数概念的整体性认识，从函数图像中获取信息的能力也得以逐步提高.下面给出几例与反比例函数、一次函数有关的综合性试题，供同学们探究，解析附后仅供参考. 8、 例1、函数yx和y=标系中的图象大致是. y x O O y x O y x O y x 2在同一直角坐x9、 10、 A B C D 如图是一次函数y1=kx+by和反比例函数y2=m的图象，观察图象写
31、出y1y2时，xx-2o3x的取值范围 11、 12、 13、 解析：该例综合考查反比例函数与一次函数的图像和性质以及分类讨论、数形结合等数学思想.根据k的正负性分类讨论可知：k0时，双曲线y=k/x分别在一、三象限；直线y=kx过一、三象限.k0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4 x23、 求k的值； O x kB 24、 若双曲线y=(k0)上一点C的纵坐标为8，x求AOC的面积； k25、 过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k0)于P，Q两点，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标 26、 参考答案：1、 B；2、(1) k = 8 .(2)SAOC= 15 .点P的坐标是P或P. 27、 28、 乐山 29、 24本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可如果两题都做，只以甲题计分 30、 题甲：如图，反比例函数y=k的图象与一次函数y=mx+b的图象交xy A O x ，3)，B(n，-1)两点 于A(131、 求反比例函数与一次函数的解析式； B 用心 爱心 专心 图 22 32、 根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次 33、 函数的值 34、 24甲题： 35、 解：A(13)，在y=k的图象上， x36、
