中考数学综合专题训练几何综合题精品解析.docx

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1、中考数学综合专题训练几何综合题精品解析数学专题之精品解析 中考数学综合专题训练精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方

2、法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而

3、薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： A1、与相似及圆有关的基本图形 ACBBC AA ABABOBC CBCCBCBCB OO BCCBC AAA A EDED CFOBC DO BBCBECB1 OD数学专题之精品解析 DC A C FGE ABEB DF2、正方形中的基本图形 3、基本辅助线 角平分线过角平分线上的点向角的两边作垂线、翻折；

4、 与中点相关倍长中线，中位线，直角三角形斜边中线； 共端点的等线段旋转基本图形，构造圆；垂直平分线，角平分线翻折； 转移线段平移基本图形线段间有特殊关系时，翻折； 特殊图形的辅助线及其迁移梯形的辅助线等 作双高上底、下底、高、腰三推一；面积；锐角三角函数 平移腰上下底之差；两底角有特殊关系；梯形三角形 平移对角线上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。 注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。 三.题目举例 (一)基本图形与辅助线的添加 例1、已知： AC平分MAN 在图1中，若MAN=120，ABC=ADC=90，AB+AD_AC。 在图2中，若MAN=1

5、20，ABC+ADC=180，则中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 在图3中： 若MAN=60，ABC+ADC=180，判断AB+AD与AC的数量关系，并说明理由； ABC+ADC=180，若MAN=a(0a180)，则AB+AD=_AC 2 数学专题之精品解析 解：(1) ABAD = AC-1分 (2) 仍然成立 证明：如图2过C作CEAM于E，CFAN于F， 则CEA=CFA=90 AC平分MAN，MAN=120， MAC=NAC=60 又 AC=AC， AECAFC， AE=AF，CE=CF 在RtCEA中，EAC=60， ECA=30， AC=2AE AE

6、+AF=2AE=AC ED+DA+AF=AC ABCADC180，CDE+ADC=180， CDE=CBF 又 CE=CF，CED=CFB， CEDCFB ED=FB， FB+DA+AF=AC AB+AD=AC- 4分 (3)AB+AD=3AC 证明：如图3，方法同(2)可证AGCAHC AG=AH MAN=60， GAC=HAC=30 AG=AH=3ACAG+AH=3AC 2GD+DA+AH=3AC 方法同(2)可证GDCHBC GD=HB， HB+DA+AH=3AC AD+AB=3AC-6分 ABAD2cosaAC-7分 2MEDACNFBMGCDAHBN例2、已知：AOB中，AB=OB=

7、2，COD中，CD=OC=3, ABO=DCO. 连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点. BAMOBAMOPPNDNCD3 C数学专题之精品解析 图1 图2 (1) 如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=60，则PMN的形状是_，此时AD=_； BC(2) 如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=2a，证明PMNBAO，并计算AD的值； BC(3) 在图2中，固定AOB，将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值. 例3、在RtABC中，ACB=90，tanBAC=BD，F为BD中点. 若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设CF=kEF，则

8、k = ； 若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF； 若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值 AAA D EE D FF 解：k=1； 1. 点D在边AC上，连结2C图1BC图2BC备图B.2分 如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q. 由题意，tanBAC=1BCDE1， =. 2ACAE2A D、E、B三点共线， AEDB. BQC=AQD，ACB=90, QBC=EAQ. ECA+ACG=90，BCG+ACG=90， ECA=BCG.

9、 DEQBCGACE. C4 FGBCGB1=. GB=DE. ACAE2B图2数学专题之精品解析 F是BD中点， F是EG中点. 在RtECG中，CF=情况1：如图，当AD=1EG, BE-DE=EG=2CF. 25分 1AC时，取AB的中点M，连结MF和CM， 31DACB=90， tanBAC=，且BC= 6, 2AC=12，AB=65. M为AB中点，CM=35, AD=A1AC， 3MFAD=4. M为AB中点，F为BD中点， FM=1AD= 2. 2CB当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2+35.6分 2情况2：如图，当AD=AC时，取AB

10、的中点M， 3连结MF和CM， 类似于情况1，可知CF的最大值为4+35. 7分 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+35.8分 ADMFCB直角三角形斜边中线+四点共圆 例4、已知：在ABC中，ABC=90, 点E在直线AB上, ED与直线AC垂直, 垂足为D，且点M为EC中点, 连接BM, DM. 如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及BMD与BCD所满足 的数量关系, 并直接写出你得到的结论； 如图2，若点E在BA延长线上，你在中得到的结论是否发生变化？写出 你的猜想并加以证明; 若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形

11、，并直接写出线段BM 与DM及BMD与BCD所满足的数量关系. AEMDDDBBBAACC倍长过中点的线段 例5、请阅读下列材料： 图1 C E M M图2 E问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点AP是线段DF，B，E在同一条直线上，5 数学专题之精品解析 的中点，连结PG，PC若ABC=BEF=60，探究PG与PC的位置关系及值 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 D P G A 图1 B C F E A D P B 图2 E C G F PG的PC请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： PG的值； PC将图1中的菱形BEFG绕点

12、B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形你在中得到ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 若图1中ABC=BEF=2a(0a90)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任PG的值 PCPG解：线段PG与PC的位置关系是 ；= PC意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 共端点的等线段，旋转 例6、如图1，在ABCD中，AEBC于E，E恰为BC的中点，tanB=2. 求证：AD=AE； 如图2，点P在BE上，作EFDP于点F，连结AF. 求证：DF-EF=2AF； 请你在图3中画图探究

13、：当P为射线EC上任意一点时，作EFDP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论. 6 数学专题之精品解析 A A D A D D F B P C C B E C E E B 图1 图2 图3 证明：在RtABE中，AEB=90， tanB=AE=2 BEA H 1 D AE=2BE 1分 E为BC的中点， BC=2BE F 2 AE=BC. ABCD是平行四边形， C B P E AD=BC. 图8 AE=AD. 2分 在DP上截取DH=EF 四边形ABCD是平行四边形，AEBC， EAD=90 EFPD，12， ADH=AEF AD=AE， ADHAEF

14、 4分 HAD=FAE，AH=AF FAH =90 在RtFAH中， AH=AF，FH=2AF FH=FD-HD=FD-EF=2AF 即DF-EF=H A D B E 2AF P F 图9 5分 C 按题目要求所画图形见图9， 线段DF、EF、AF之间的数量关系为：DF+EF=2AF 利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线 例7、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题： 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； 探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并

15、证明你的结论。 利用平移变换转移线段+作图8、在RtABC中，C=90，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. 若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出APE的度数； 若AC=3BD，CD=3AE，求APE的度数. 7 数学专题之精品解析 解：如图9，APE= 45 . 2分 解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF3分 则四边形AEFD是平行四边形 ADEF，AD=EF AC=3BD，CD=3AE， ACCDCD=3，=3 BDAEDF图9 ACCD4分 =BDDF C=90， BDF=180-C=90 C=BDF ACDBDF5分 AD

16、AC=3，1=2 BFBDEFAD =3 BFBF 1+3=90， 2+3=90 BFAD 图10 BFEF6分 在RtBEF中，tanBEF=BF3 =EF3 APE=BEF =307分 解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF3分 则四边形ACDF是平行四边形 C=90， 四边形ACDF是矩形，AFD=CAF= 90，1+2=90 在RtAEF中，tan3=在RtBDF中，tan1= 3=1=30 3+2=1+2=90，即EFB =90 AFD=EFB 4分 又 图11 AEAE3， =AFCD3BDBD3， =DFAC3DFAF3， =BFEF28 数学专题之精品解析 A

17、DFEBF 5分 4=56分 APE+4=3+5， APE=3=307分 翻折全等+等腰 例9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； 如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设A D O E B C 1若A=60，DCB=EBC=A请你写出图中一个与ACD，BE相交于点O，2相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； 在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且DCB=EBC=你的结论 1A探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边

18、形，并证明2解：回答正确的给1分。 答：与A相等的角是BOD，四边形DBCE是等对边四边形； 答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。 证法一：如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点。 因为DCB=EBC=A F D G O DE 1A，BC为公共边， 2B C 所以BCFCBG， 所以BF=CG， 因为BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A， 所以BDF=BEC， 可证BDFCEG， 所以BD=CE 所以四边形DBCE是等边四边形。 证法二：如图2，以C为顶点作FCB=DBC，CF交BE于F点。 A D DE O F 9 B C 数学专题之精品解析 因为DCB

19、=EBC=1A，BC为公共边， 2 所以BDCCFB， 所以BD=CF，BDC=CFB， 所以ADC=CFE， 因为ADC=DCB+EBC+ABE，FEC=A+ABE， 所以ADC=FEC， 所以FEC=CFE， 所以CF=CE， 所以BD=CE， 所以四边形DBCE是等边四边形。 说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有此证法，只给1分。 二、从题目中获得方法的启发，类比解决问题 由角平分线启发翻折，垂线 例1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD

20、、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； 如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 解：图略FE与FD之间的数量关系为FEFD。 答：中的结论FEFD仍然成立。 证法一：如下图，在AC上截取AGAE，连结FG 因为12，AF为公共边 可证AEFAGF所以 AFEAFG，FEFG 由B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 10 数学专题之精品解析 可得2360 所以AFECFDAFG60所以CFG60 由34及FC为公共边，可得C

21、FGCFD所以FGFD所以FEFD 证法二：如下图，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H 因为B60，且AD、CE分别是BAC、BCA的平分线， 所以可得2360，F是ABC的内心 所以 GEF601，FGFH 又因为 HDFB1 所以 GEFHDF 因此可证EGFDHF 所以 FEFD 启发利用重心分中线，中点相关内容 例2、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为21请你用此性质解决下面的问题. 已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，CAB=90o，直线m过点O,过A、B、C三点

22、分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F. (1)当直线m与BC平行时，请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明； (2) 当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间 又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明 AEO(D)BCFmAFEBODCEAFmmBODC图1 图2 图3 解猜想：BE+CF=AD 1分 证明：如图，延长AO交BC于M点， 点O为等腰直角三角形AO=2OM且AMBC 又EFBC AM EF BEEF,CFEF EBOMCF EB=OM=CF 11 A

23、ABC的重心 EO(D)BMCFm图1 数学专题之精品解析 EB+CF=2OM=AD 3分 图2结论：BE+CF=AD 证明：联结AO并延长交BC于点G, 过G做GHEF于H 由重心性质可得AO=2OG ADO=OHG=90, AOD=HOG AODGOH AD=2HG 5分 O为重心 G为BC中点 GHEF,BEEF,CFEF EBHGCF H为EF中点 AHDOG图2 FEBmCAFmBEODC图3 1HG=(EB+CF) 2EB+CF=AD 7分 (3)CFBE= AD 8分 由特殊形解题启发构造哪些相等的角 例3、如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中

24、，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点 图，已知RtABC中，ACB=90，ABCA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似点 在ABC中，ABC 如图，利用尺规作出ABC的自相似点P； 若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数 A A A D P E B C B C B C (三) 一题多解与题目的变式及类题 DC1、点M为正方形ABCD的边AB任一点，DMN=90，射线MN与ABC的外角平分线交于点N，求证：DM=MN. AMB A、方法类比，改变图形 ANEE 12 BDC数学专题之精品解析 等边三角形ABC

25、中，在BC边上任取一点D， 作 ADE=60， DE交C的外角平分线于E，判断ADE的形状，并证明。若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立? (2008西城一模，25)如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，FMH=120,MH与六边形ABC外角的平分线BQ交于H点. 当点M不与点A、B重合时，求证：AFM=BMH; 当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不与点B重合)时,猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明. FEDCQHAMBNy如图，边长为5的正方形OABC的顶点CB、改变背景 BGO在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点，EFC

26、E，且与正方形外角平分线AC交于点P. 当点E坐标为(3，0)时，试证明CE=EP； POFEA如果将上述条件“点E坐标为”改为“点E坐标为”，结论 CE=EP是否仍然成立，请说明理由； 在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由. AD2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45，求证：EFBEFD 方法类比，特殊到一般 削弱题目条件如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EFBEBAFD是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并

27、证明. 改变图形在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF仍然是BAD的一半，则结论EFBEFD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，B并证明. FCEDFEC3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小已知：等边三角形ABC 如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想； 如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD A AB13 PBPCCD数学专题之精品解析 1、已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下

28、列问题: 如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD= ； 如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ； 如图3，当ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的CACB的度数. DC AB ABC DBAD 图1 图2 图3 解：33；1 36-32； 2 以点D为中心，将DBC逆时针旋转60，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE， CD=ED，CDE=60，AE=CB= a， CDE为等边三角形， CE=CD. 4 CC B EABA ED D当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE

29、AD+AE ABC2、问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC与ABC度数的比值。 15 BCA数学专题之精品解析 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为 ； 当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ； 可得到DBC与ABC度数的比值为 ； (2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。 3、在ABC中，点P为BC的中点 如图1，求

30、证：AP1； 2延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE 如图2，连结BE，若BAC=60，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系写出你的结论，并加以证明； 请在图3中证明：BC 4、在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 在图1中证明CE=CF； 若ABC=90，G是EF的中点，直接写出BDG的度数； 若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连结DB、DG，求BDG的度数。 DDAA D ACCECE BEBB GFFG F (五)动点问题与分类讨论 不确定性引发分类讨论 (1)等腰三角形顶角顶点； (2)相似三角形对应点； (3)

31、已知两点+限制条件定平行四边形； 注意：分类不重不漏；动点问题定界点。 由位置的不确定引发的分类讨论 1DE 2 16 数学专题之精品解析 1、在RtABC中，ACB=90，BC=30，AB=50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，与边AC或BC相交于E点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sinEMP=如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； 如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域； 若AMEENB，求AP的长 12 13图1 图2 备用图 由图形的不确定引发的分类讨论，相似2、如图，在梯形ABCD中，A

32、DBC，AD=3， DC=5，BC=10，梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t 当MNAB时，求t的值； 试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形 与面积有关的动点问题 3、等边ABC边长为6，P为BC边上一点，MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. 如图1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状； 如图2，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 如图3，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长. 图1 图2 图3 17 数学专题之精品解析 4、在ABCD中，过点C作CECD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF. 在图1中画图探究： 当P1为射线