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1、九年级数学上册 第二十四章 圆的精品教案 人教新课第二十四章 圆 单元要点分析 教学内容 1本单元数学的主要内容 圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角 与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系 正多边形和圆 弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积 2本单元在教材中的地位与作用 学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线圆的有关性质通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨
2、论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程 教学目标 1知识与技能 了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理 探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线 进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算 熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算 2过程与方法 积极引导学生从事观察、测量、
3、平移、旋转、推理证明等活动了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式 在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流 在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想 通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力 探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义 3情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的
4、情景，激发学生求知、探索的欲望 教学重点 1平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用 2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用 3在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用 1 4半圆所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其运用 5不在同一直线上的三个点确定一个圆 6直线L和O相交dr及其运用 7圆的切线垂直于过切点的半径及其运用 8经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题 9从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用 10两
5、圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离dr1+r2；外切d=r1+r2；相交r2-r1dr1+r2；内切d=r1-r2；内含dAD ACE=DE BBCACOCBEDAOOMBAPDB (1) (2) (3) 2如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是 A4 B6 C7 D8 3如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是 DPO=PD AABCD BAOB=4ACD CAD=BD二、填空题 中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_ 1如图4，AB为O直径，E是BCBOFDEAODCEBAC (4) (5)
6、2P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_ 3如图5，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_ 6 答案: 一、1D 2D 3D 二、18 28 10 3AB=CD 24.1 圆(第2课时) 教学内容 1圆心角的概念 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 3定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有
7、一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题 重难点、关键 1重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用 2难点与关键：探索定理和推导及其应用 教学过程 一、复习引入 请同学们完成下题 7 已知OAB，如图所示，作出绕O点旋转30、45、60的图形 ABO 老师点评：绕O点旋转，O点就是固定点，旋转30，就是旋转角BO
8、B=30 二、探索新知 如图所示，AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 BAO 请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB将圆心角AOB绕圆心O旋转到AOB的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ BAOAB AB=AB，AB=AB 理由：半径OA与OA重合，且AOB=AOB 半径OB与OB重合 点A与点A重合，点B与点B重合 AB与AB重合，弦AB与弦AB重合 AB=AB，AB=AB 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作 老师点评：如
9、图1，在O和O中，分别作相等的圆心角AOB和AOB得到如图2，滚动一个圆，使O与O重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与OA重合 8 BAOOOO(O)BAOBBO(O)AA (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB=AB，AB=AB / 现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那
10、么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等 请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书，老师点评 例1如图，在O中，AB、CD是两条弦，OEAB，OFCD，垂足分别为EF 如果AOB=COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？ 的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？如果OE=OF，那么AB与CD为什么？AOB与COD呢？ AEOBCFD 分析：要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可 OE=OF，在RtAOE和RtCOF中， 又有AO=CO是半径，RtAOERtCOF， AB=CDAE=CF，A
11、B=CD，又可运用上面的定理得到 解：如果AOB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=11AB，CF=CD 22 AE=CF 9 又OA=OC RtOAERtOCF OE=OF ，AOB=COD 如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE=11AB，CF=CD 22 AB=2AE，CD=2CF AB=CD ，AOB=COD AB=CD 三、巩固练习 教材P89 练习1 教材P90 练习2 四、应用拓展 例2如图3和图4，MN是O的直径，弦AB、CD相
12、交于MN上的一点P，APM=CPM 由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由 若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 AFMPECAEBBODNNDMPFC (3) (4) 分析：要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解：AB=CD 理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F APM=CPM 1=2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD 10 RtOFDRtOEB DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD 作OEAB，OFCD，
13、垂足为E、F APM=CPN且OP=OP，PEO=PFO=90 RtOPERtOPF OE=OF 连接OA、OB、OC、OD 易证RtOBERtODF，RtOAERtOCF 1+2=3+4 AB=CD 五、归纳总结 本节课应掌握： 1圆心角概念 2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用 六、布置作业 1教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8 2选用课时作业设计 第二课时作业设计 一、选择题 1如果两个圆心角相等，那么 A这两个圆心角所对的弦相等;B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D以
14、上说法都不对 2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则两条弧AB与CD关系是 B C D不能确定 AAB=2CDABCDAB2CD 3如图5，O中，如果 AB=2AC，那么AAB=AC BAB=AC CAB2AC CACOBEADOB (5) (6) 二、填空题 1交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_ 2一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_ 3如图6，AB和DE是O的直径，弦ACDE，若弦BE=3，则弦CE=_ 三、解答题 11 1如图，在O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上 ； 求证：AM=BN=NB成立吗？ 若C、D分别为OA
15、、OB中点，则AM=MN2如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若的度数和EF的度数 D=50，求BE 3如图，AOB=90，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD 答案: 一、1D 2A 3C 二、1圆的旋转不变形 215或 33 33 三、1连结OM、ON，在RtOCM和RtODN中OM=ON，OA=OB， AC=DB，OC=OD，RtOCMRtODN， AOM=BON，AM=NB=NBwww.1230.org 初中数学资源网 AM=MN 2BE的度数为80，EF的度数为50 AB三等分点， 3连结AC、BD，C、D
16、是AC=CD=DB，且AOC=190=30， 3OA=OC，OAC=OCA=75， 又AEC=OAE+AOE=45+30=75， 12 AE=AC， 同理可证BF=BD，AE=BF=CD 24.1 圆(第3课时) 教学内容 1圆周角的概念 2圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半 推论：半圆所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用 教学目标 1了解圆周角的概念 2理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 3理解圆周角定理的推论：半圆所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直
17、径 4熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题 重难点、关键 1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理 3关键：探究圆周角的定理的存在 教学过程 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题 1什么叫圆心角？ 2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：我们把顶点在圆心的角叫圆心角 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别
18、相等 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题 二、探索新知 所问题：如图所示的O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在EF在的O其它位置射门，如图所示的A、B、C点通过观察，我们可以发现像EAF、EBF、ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 13 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ 提问二、三位同学代
19、表发言 老师点评：www.1230.org 初中数学资源网 1一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的 3通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半” 设圆周角ABC的一边BC是O的直径，如图所示 AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO AC OA=OB ABO=BAO O AOC=ABO ABC=1AOC 2B如图，圆周角ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么ABC=1AOC2吗？请同学们独立完成这道题
20、的说明过程 老师点评：连结BO交O于D同理AOD是ABO的外角，COD是BOC的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC ADOB如图，圆周角ABC的两边AB、一条直径OD的同侧，那么ABC=CAC在1AOC吗？请同学们独立完成证明 2 老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交O于D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=111AOD-COD=AOC 222 现在，我如果在画一个任意的圆周角ABC，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的 从、，我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角
21、相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 14 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目 例1如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是BAC的平分线即可 解：BD=CD 理由是：如图24-30，连接AD AB是O的直径 ADB=90即ADBC 又AC=AB BD=CD 三、巩固练习 1教材P92 思考题 2教材P93 练习 四、应用拓展 例2如图
22、，已知ABC内接于O，A、B、C的对边分别设为a，b，c，O半abc=2R sinAsinBsinCabcabc 分析：要证明=2R，只要证明=2R，=2R，=2R，sinAsinBsinCsinAsinBsinCabc即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行 2R2R2R径为R，求证： 证明：连接CO并延长交O于D，连接DB CD是直径 DBC=90 又A=D BCa，即2R= DCsinAbc 同理可证：=2R，=2R sinBsinC 在RtDBC中，sinD= 15 abc=2R sinAsinBsinC 五、归纳小结 本节课应掌握： 1圆周角的概念；
23、2圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半； 3半圆所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 4应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题 六、布置作业 1教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13 2选用课时作业设计 第三课时作业设计 一、选择题 1如图1，A、B、C三点在O上，AOC=100，则ABC等于 A140 B110 C120 D130 A4213BCDO (1) (2) (3) 2如图2，1、2、3、4的大小关系是 A4123 B41=32 C4132 D413=2 3如图3，AD是O的直径，AC是弦，OBAD，若O
24、B=5，且CAD=30，则BC等于 A3 B3+3 C5- 二、填空题 1半径为2a的O中，弦AB的长为23a，则弦AB所对的圆周角的度数是_ 2如图4，A、B是O的直径，C、D、E都是圆上的点，则1+2=_ 123 D5 16 EA1OCB2D (4) (5) 3如图5，已知ABC为O内接三角形，BC=1，A=60，则O半径为_ 三、综合提高题 1如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知O半径为1，求弦长AB OA2如图，已知AB=AC，APC=60 求证：ABC是等边三角形 若BC=4cm，求O的面积 BAPOBC 3如图，C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为，M
25、是圆上一点，BMO=120 求证：AB为C直径 求C的半径及圆心C的坐标 yACB答案: 一、1D 2B 3D 二、1120或60 290 3MOx3 317 三、13 2证明：ABC=APC=60， 又AB=AC，ACB=ABC=60，ABC为等边三角形 解：连结OC，过点O作ODBC，垂足为D， 在RtODC中，DC=2，OCD=30， 设OD=x，则OC=2x，4x-x=4，OC= 3略 4， www.1230.org 初中数学资源网 点和圆的位置关系 教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形
26、的外心等概念 (二)能力训练要求 1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力 2通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略 (三)情感与价值观要求 1形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神 2学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果 教学重点 1经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论 2掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法 3了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念 教学难点 22433 18 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条
27、直线上的三个点作圆 教学方法 教师指导学生自主探索交流法 教学过程 创设问题情境，引入新课 师我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？本节课我们将进行有关探索 新课讲解 1回忆及思考 投影片(34A) 1线段垂直平分线的性质及作法 2作圆的关键是什么？ 生1线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于1AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两2交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等 师我们知道圆的定义是：平面上到定点的
28、距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆定点即为圆心，定长即为半径根据定义大家觉得作圆的关键是什么？ 生由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小确定了圆心和半径，圆就随之确定 2做一做(投影片34B) (1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ 19 (2)作圆，使它经过已知点A、B你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ (3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ 师根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答 生(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半
