习题1随机事件及其概率.docx

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1、习题1 随机事件及其概率习题一随机事件及其概率一、填空题 1设随机试验E对应的样本空间S,与其任何事件不相容的事件为f，而与其任何事件相互独立的事件为fS；设有P=1, 则A、B两事件的关系为 A=B；设E为等可能型试验，且S包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2若A表示某甲得100分的事件，B表示某乙得100分的事件，则 A表示甲未得100分的事件； AB表示甲乙至少有一人得100分的事件； AB表示甲乙都得100的事件； AB表示甲得100分，但乙未得100分的事件； AB表示甲乙都没得100分的事件； AB表示甲乙不都得100分

2、的事件； 3若事件A,B,C相互独立，则P(ABC)= P(A)+P(B+)P(C-)P(A)P(-B)P(A)P-(C)P(B)+P(C) BPCP(A。)P 4若事件A,B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.25,则 P(AB)=0.625。 111 5设P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(AC)=P(BC)=,P(ABC)=,则 4816P(ABC)=716；P(ABC)=916；P(A,B,C至多发生一个)=31634；P(A,B,C恰好发生一个）=P(A|ABC)=4。 7 6袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取

3、1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7将 C，C，E，E，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE的概率为1。 1260 810 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概率为。 1 9在-1,1上任取一点，则该点到原点距离不超过的概率是0.33。 3 10在区间上随机地取出两个u,v，则关于x 的一元二次方程x2-2vx+u=0有实根的概率是0.33。 11若有n个人随机地站成一列，其中有甲、乙两个，则夹在甲和乙之间恰有r个人的概率为2(n-r-1)n(n-1)。 12对二事件A,B已知P(A)=0.6，P(B)

4、=0.7,那么P(AB)可能取到的最大值是 0.6 ；可能取到的最小值是 0.3 ；P(AB)可能取到的最大值是 1 ；可能取到的最小值是 0.7 。 13由装有 3 个白球 2 个黑球的箱中，随机地取出 2 个球，然后放到装有 4个白球和4个黑球的箱子中，试计算最后从第二个箱子中取出一球，此球为白球的概率为 0.52。二、选择题 1以下命题正确的是 A.(AB)(AB)=A； B.若AB，则AB=A； C.若AB，则BA； D.若AB，则AB=B. 2某学生做了三道题，以A表示“第i题做对了的事件”(i=1,2,3)，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 A. A1A2A2A3A1A3；

5、1A2A3A1A2A3A1A2A3； B. AC. A1A2A2A3A1A3 ； D. A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3. 3 若事件A与B相容，则有 A.P(AB)=P(A)+P(B)； B. P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)； C. P(AB)=1-P(A)-P(B)； D. P(AB)=1-P(A)P(B). 4 .事件A与B互相对立的充要条件是 A.P(AB)=P(A)P(B); B.P(AB)=0且P(AB)=1; C.AB=且AB=S; D.AB=. 5.已知P(B)0且A1A2=,则成立. A.P(A1|B)0； B.P(A1A2)|B)=P(A1|B)

7、不相容. 三、解答题 1 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间S与随机事件A：掷一颗骰子，观察向上一面的点数；事件A表示“出现奇数点”；对一个目标进行射击，一旦击中便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击不超过3次”；把单位长度的一根细棒折成三段，观察各段的长度；事件A表示“三段细棒能构成一个三角形”。解: (1) S1=1,2,3,4,5,6,A1=1,3,5; (2) S2=1,2,L, A2=1,2,3; (3) 设折得三段长度分别为x,y和1-x-y，S3=(x,y)0x+y1,0x,y1, . 111A3=(x,y)|0x,0y,x+y1 2222 化简下列各式 (

8、1)ABAB (2)(AB)(AB) (3)(AB)(A-B) 解：(1) ABAB=A=AS=A (2) (AB)(AB)=(AB)A)(AB)B)=WW=W (3) (AB)(A-B)=(AB)(AB)=ABAB=AABB=(AA)(BB)=f 3一工人生产了四件产品，以Ai表示他生产的第i件产品是正品(i=1,2,3,4)，试用Ai表示(i =1,2,3,4)下列事件：没有一件产品是次品；至少有一件产品是次品；恰有一件产品是次品；至少有两件产品不是次品。解：(1) A1A2A3A4; (2) A1A2A3A4(A1A2A3A4); (3) A1A2A3A4+A1A2A3A4+A

9、1A2A3A4+A1A2A3A4; (4) (A1A2)(A1A3)(A1A4)(A2A3)(A2A4)(A3A4) 4掷两颗骰子，试求出现的点数之和大于9的概率。解：用x,y表示两颗骰子掷出的点数，则1x,y6,每一点对(x,y)表示每次掷两颗骰子的结果即为一基本事件，则样本空间S=(x,y)x,y=1,2,L,6，A表示掷两颗骰子出现的点数之和大于9的事件。则A=(4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)，而样本空间中包含的样本点总数为36，由古典概型计算公式，P(A)=61=。 3665. 已知N件产品中有M 件是不合格品，今从中随机地抽取n件，试求: (1) n 件

10、中恰有k件不合格品的概率； (2) n 件中至少有一件不合格品的概率。 n解：从N件产品中抽取n件产品的每一取法构成一基本事件,共有CN种不同取法. (1)设A表示抽取n件产品中恰有k件不合格品的事件，则A中包含样本点数为CCkMn-kN-Mkn-kCMCN-M,由古典概型计算公式，P(A)=。 nCN(2) 设B表示抽取n件产品中至少有一件不合格品的事件，则B表示n件产品全为合格品的事件，包含CnN-MnCNM个样本点。则P(B)=1-P(B)=1-。 nCN6. 一个口袋里装有10只球，分别编上号码1,10,随机地从口袋里取3只球。试求： (1) 最小号码是5的概率； (2) 最大号码是5

11、的概率。 3解:从10只球中任取3只的每一种取法构成一基本事件，则样本点总数为C10。 2C53C102C43C10(1)设A表示“3只球中最小号码是5的取法”，共有2C5种取法，因此P(A)=1 121 20(2)设B表示“3只球中最大号码是5的取法”，共有2C4种取法，因此P(A)=7. 一份试卷上有6道题。某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误。试求， (1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率； (2) 这4处错误发生在不同题上的概率； (3) 至少有3道题全对的概率。解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296。 (1) 设A表示“4

12、处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此P(A)=1； 1296(2) 设B表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，共有P64种方式，因此有6543=360种可能，故P(B)=3605=. 129618(3) 设C表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，13而C表示“4处错误发生在不同题上”，C=B，P(C)=1-P(B)=. 188. 在单位圆内随机地取一点Q，试求以Q为中点的弦长超过1的概率。解：在单位内任取一点Q，坐标为(x,y)，样本空间S=(x,y)x2+y22 =,(x,y)x+yt2,y-xt1，由几何概型公式得 11(T-

13、t2)2+(T-t1)2t121t2212P(A)=2=(1-)+(1-)。 2T2TT210. 从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率。解：为从5双(10只)不同的鞋中任取4只，我们一只一只地取出,共有10987种取法，此即为样本点总数。设以A表示事件“4只中至少有2只配对成双”，则A的对立事件A为“4只鞋子中没有2只成双”。现在来求A中的样本点数：4只鞋是一只一只取出的，第一只可以任意取，有10中取法，第二只只能取剩下的且除去和已取出的第一只配对的另一只后的8只鞋子中任取一只，它有8种取法。同理第三只、第四只鞋子只有6、4种取法，所以A中样本点总数为10864

14、，得 P(A)=1-P(A)=1-1086413= 109872111. 设A,B是两个事件,已知P(A)=0.5,P(B)=0.7,试求P(A-B)P(AB=)0.8与P(B-A)。 )+P(B)-P(AB)可知P(AB)=0.4解：由加法公式P(AB)=P(A，。由于A-B=A-AB,B-A=B-AB,且ABA,ABB,则由概率性质可知P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.1,同理P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3。 12设A,B,C是三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.3,P(AB)=0.2， P(BC)=P(AC)=0。试求A,B,C中至少有一个发

15、生的概率和A,B,C全不发生的概率。解：由ABCBC,0P(ABC)P(BC)=0,故P(ABC)=0。ABC表示A,B,C中至少有一个发生的事件，由已知事件概率及概率加法公式有P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.33-0.2=0.7.而A,B,C全不发生这一事件可用ABC表示，由逆事件概率关系有 PABC=1-P(ABC)=0.3. 11113.已知P(A)=,P(B|A)=,P(A|B)=，求P(AB)。 346()解：由乘法公式P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)=P(AB)1,又由条件概率公式P(AB)=知 12P(B

16、)13，再由加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=。 2414.设A,B是两个事件,已知P(A)=0.3,P(B)=0.6，试在下列两种情况中分别求出P(A|B),P(A|B)。 (1) 事件A,B互不相容； (2) 事件A,B有包含关系。解：(1)由AB=f,则P(AB)=0，P(AB)=P(A)+P(B)=0.9。由条件概率公式及逆事件概率关系得P(AB)=P(AB)P(AB)P(AB)=0，P(AB)=0.25 P(B)P(B)P(B)(2)由于P(A)P(B)，故AB。因此P(AB)=AB=A,AB=B。故类似可得P(AB)P(AB)P(B)P(AB)P(A)=0.5=

17、1 ，P(AB)=P(B)P(B)P(B)P(B)P(B)15一个盒子中装有10只晶体管，其中有3只是不合格品。现在作不放回抽样：连续取2次，每次随机地取1只。试求下列事件的概率。 (1) 2只都是合格品种 (2) 1只是合格品，1只是不合格品； (3) 至少有1只是合格品。解：设Ai表示第i次取的是合格品，i=1，2 767*=1091573377 (2)P(A1A2+A1A2)=*+*=109109153214(3)P(A1A2)=1-P(A1A2)=1-*=10915(1)P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)= 16某商店出售晶体管，每盒装100只，且已知每盒混有4支不合格品。

18、商店采用“缺一赔十”的销售方式：顾客买一盒晶体管，如果随即地取1只发现是不合格品，商店要立刻把10只合格品的晶体管放在盒子中，不合格的那只晶体管不再放回。顾客在一个盒子中随机地先后取3只进行测试，试求他发现全是不合格品的概率。解：设Ai表示第i次取的是不合格品，i=1，2，3 则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=4323*=100109118160775 17已知A,B,C互相独立，证明A,B,C也互相独立. 解：有A，B，C相互独立可得：P(AB)=1-P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A

19、)P(B)P(C)则三事件相互独立。 18一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为此射手每次射击的命中率. 解：设Ai表示第i次其中目标，i=1，2，3，4 80，求81 则P(A1A2A3A4)=P(Ai)4=1-2-PA(i=) P(Ai)=13801= 818119设情报员能破译一份密码的概率为0.6试问，至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于95?假定各情报员能否破译这份密码是相互独立的。解：设至少需要n名情报员，A：情报被破译P(A)=1-P(A)=1-0.4n0.95ln0.05nln0.420有2n个元件，每个元件的可靠度都是p。试求下列两个系统的

20、可靠度。假定每个元件是否正常工作是相互独立的。 (1) 每n个元件串联成一个子系统，再把这两个子系统并联； (2) 每两个元件并联成一个子系统，再把这n个子系统串联。解：设Ai表示第i个子系统可靠，i=1，2，则P(A1A2)=pn+pn-pn*pn=2pn*p2n 设Ai表示第i个子系统可靠，i=1，2,n 则P(A1A2An)=p+p-p*pn=pn*(2-p)n 21设每个元件的可靠度为 0.96试问，至少要并联多少个元件才能使系统的可靠度大于0.9999？假定每个元件是否正常工作是相互独立的。解：设至少要并联n个元件，A：系统正常P(A)=1-P(A)=1-0.04n0.999

21、9ln0.0001nln0.04225名篮球运动员独立地投篮，每个运动员投篮的命中率都是80。他们各投一次，试求： (1) 恰有4次命中的概率； (2) 至少有4次命中的概率； (3) 至多有4次命中的概率。解：设Ai表示第i个运动员命中，i=1，2，3，4，5 P(A)=5*P(A1A2A3A4A5)=5*0.2*0.84=0.4096 (2) P(B)=P(A)+P(A1A2A3A4A5)=0.4096+0.85=0.7373 (3) P(C)=1-P(A1A2A3A4A5)=1-0.85=0.6723 23某地区患肝炎的人占1。试问该地区某所学校中一个65人的班级里至少有两人患肝炎的概

22、率有多大？假定他们是否患肝炎是相互独立的。解：设A:至少有两人患肝炎，B：没有人患肝炎，C：恰有一人患肝炎1P(A)=1-P(B)-P(C)=1-0.9965-C65*0.1*0.996424甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、 0.3、0.5 ；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大。解：设A:题被答对，Bi：第i个人抢到答题权，P(B1)P(A|B1)0.2*0.9=0.360.2*0.9+0.3*0.4+0.5*0.40.3*0.4=0.24 0.2*0.9+0.3*0.4+0.5

24、1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)=0.5*0.2+0.5*0.6=0.4 设C:后选出的是女生，则 0.5*0.2*917+0.5*0.6*4929=690 0.41421P(C|B)=P(BC)=P(B)26甲、乙、丙三门高炮同时独立地各向敌机发射一枚炮弹，它们命中敌机的概率都是0.2。飞机被击中1弹而坠毁的概率为0.1，被击中2弹而坠毁的概率为0.5，被击中3弹必定坠毁。 (1) 试求飞机坠毁的概率； (2) 已知飞机坠毁，试求它在坠毁前只有命中1弹的概率。解：设B:飞机坠毁，Ai:击中i弹，i=1，2，3P(B)=0.1*3*0.2*0.8*0.8+0.5*3*0.8

25、*0.2*0.2+0.2*0.2*0.2=0.0944 P(BAi)0.1*3*0.2*0.8*0.8P(Ai|B)=0.4068P(B)0.094427已知甲袋中装有a只红球，b只白球；乙袋中装有c只红球，d只白球。试求下列事件的概率： (1) 合并两只口袋，从中随机地取一只球，该球是红球； (2) 随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球； (3) 从甲袋中随机地取出一只球放人乙袋，再从乙袋中随机地取出一只球，该球是红球。解：(1)P(A)=a+ca+b+c+d1a1c (2)P(B)=*+* 2a+b2c+dac+1bc(3)P(C)=*+*a+bc+d+1a+bc+d+1

26、28无线电通讯中，由于随机干扰，当发送信号“.”时，收到信号为“.”、“不清”与“”的概率分别是0.7，0.2与0.1；当发送信号“”时，收到信号为“”、“不清”与“”的概率分别是0.9，0.1与0。如果整个发报过程中，“.”与“”分别占60与40，那么，当收到信号“不清”时，原发信号为“”与“”的概率分别有多大? 解：设B1：发出，B2：发出，A1:收到,A2：收到，A3：收到不清P(B1|A3)=P(B1)P(A3|B1)P(B)P(A|B)i3ii=12=0.6*0.23=0.6*0.2+0.4*0.140.4*0.11=0.6*0.2+0.4*0.14P(B2|A3)=P(B2)P(

27、A3|B2)P(B)P(A|B)i3ii=12=29口袋里装有a + b 枚硬币，其中b枚硬币是废品(两面都是国徽)。从口袋中随机地取出1枚硬币，并把它独立地抛 n 次，结果发现向上的一面全是国徽。试求这枚硬币是废品的概率。解：设B1：取出的硬币是废品，B2：取出的是正品，A:n次向上的一面全是国徽b*1P(B1)P(A|B1)a+bP(B1|A)=2=ba1n*1+*P(Bi)P(A|Bi)a+ba+b2i=130一个盒子装有6只乒乓球，其中4只是新球。第一次比赛时随机地从盒子中取出2只乒乓球，使用后放回盒子第二次比赛时又随机地从盒子中取出2只乒乓球。 (1) 试求第二次取出的球全是新

28、球的概率； (2) 已知第二次取出的球全是新球，试求第一次比赛时取的球恰含一个新球的概率。解：设B1：第一次取出的都是新球，B2：都是旧球，B3：一新一旧222211C32C4C2C2C4C4*C24 P=P(Bi)P(A|Bi)=2*2+2*2+*=22C6C6C6C6C6C625i=1311C32C4*C2*2C62C62P(B3)P(A|B3)(2)P(B3|A)=4P(A)32531甲、乙、丙三个炮兵阵地向目标发射的炮弹数之比为172，而各地每发炮弹命目标的概率分别为0.05、0.1、0.2。现在目标已被击毁，试求目标是被甲阵地击毁的概率。解：设Bi：炮弹是由第i个阵地发射的，A：目标被击毁0.1*0.05 P(B1|A)=P(B1)P(A|B1)=0.04 30.1*0.05+0.7*0.1+0.2*0.2P(Bi)P(A|Bi)i=1

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