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1、教材：概率论与数理统计袁荫棠 编中国人民大学出版社,参考书：概率论与数理统计盛骤、谢式千、潘承毅等编高等教育出版社,序 言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象量的统计规律性的科学,在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象：确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象；,不确定性现象（随机现象）：在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结果。事先不能预言会出现哪种结果的现象。,第一章 随机事件及其概率,随机事件概率概率的加法法则条件概率与乘法法则独立实验概型,1.1随机事件一、随机试验(简称“试验”),对随机现象进行观测称为随
2、机试验随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；（必然性）2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可 以明确试验的所有可能结果;（可示性）3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。（偶然性）随机试验可表为E,二、随机事件,每次实验中，可能发生也可能不发生，而在大量实验中具有某种规律性的事件称为随机事件。简称为事件通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示基本事件：不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件复合事件：由基本事件复合而成的事件,必然事件、不可能事件,必然事件（）：每次试验中一定发生的事件不可能事件（）：每次试验中一定不发生的事件,三、样本空间：,1、由一个样本点组成的单点集称为一
3、个基本事件,也记为.2、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为；3、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为.,四、事件之间的关系,事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生,即属于A的每一个样本点都属于B,则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B,记作BA或AB,等价的说法是如果B不发生则A也不会发生.对于任何事件A有A,事件的相等,如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,称事件A与B相等.即A与B中的样本点完全相同.记作A=B,事件的并(和),两个事件A,B 中至少有一个发生,即A或B,是一个事件,称为事件A与B的并(和).它是属于A或B的所有样
4、本点构成的集合.记作A+B 或 AB,易知A+=A+=A,n个事件A1,A2,An中至少有一个发生,是一个事件,称为事件的和,记作 A1+A2+An 或 A1A2An 可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事 件发生,记作,事件的交(积),两个事件A与B同时发生,即A且B,是一个事件,称为事件A与B的交.它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合.记作AB或AB,易知A=AA=,对立事件,事件非A称为A的对立事件(或逆事件).它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合.记作,显然,事件的差,事件A发生而事件B不发生,是一个事件,称为事件A与B的差.它是由属于A但不属于B的那些样本点
5、构成的集合.记作AB,易知,互不相容事件,如果事件A与B不能同时发生,即AB=,称事件A与B互不相容(或称互斥).互不相容事件A与B没有公共的样本点.显然,基本事件间是互不相容的,对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立,完备事件组,若事件A1,A2,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.,最常用的完备事件组是某事件A与它的逆,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,例1 掷一颗骰子的
6、试验，观察出现的点数,事件A表示奇数点,事件B表示点数小于5,C表示小于5的偶数点.用集合的列举表示法表示下列事件:,解:,=1,2,3,4,5,6A=1,3,5B=1,2,3,4C=2,4A+B=1,2,3,4,5AB=5BA=2,4AB=1,3AC=C-A=2,4,写出其样本空间；三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。,A1A2A3A1+A2+A31A2A3+A12A3+A1A2323+13+12,例2、从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i1,2,3）。试用事件的运算符
7、号表示下列事件：,例3 一名射手连续向某个目标射击三次,事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3).试用文字叙述下列事件:,解:,例4 如果x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置是说明下列各事件的关系,A=x|x20B=x|x3C=x|x9D=x|x-5E=x|x9,包含关系互不相容对立相容,1.2 概率一、概率的统计定义,概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而只是大数定律的一个描述.在n次重复试验中,如果事件A发生了m次,则m/n称为事件A发生的频率.同样若事件B发生了k次,则事件B发生的频率为k/n.如果A是必然事件,有m=n,即必然事件的频率是1,当然不可能事件的频率为0
8、.如果A与B互不相容,则事件A+B的频率为(m+k)/n,它恰好等于两个事件的频率的和m/n+k/n,这称之为频率的可加性.,定义1.1,在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发生的频率稳定地某一常数p附近摆动,且一般说来,n越大,摆动幅度越小,则称常数p为事件A的概率,记作P(A).但这不是概率的数学上的定义,而只是描述了一个大数定律.,历史上的掷硬币试验,概率的稳定性是概率的经验基础,但并不是说概率决定于经验.一个事件发生的概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件,是先于试验而客观存在的.概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的,但并不能用这个定义计算P(A).实际上,人们是采取一
9、次大量试验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对一个妇产医院6年出生婴儿的调查中,可以看到生男孩的频率是稳定的,约为0.515,新生儿性别统计表,若某试验E满足1.每次试验只有有限种可能的试验结果 样本空间 e1,e 2,e n;2.每次试验中,各基本事件出现的可能性完全相同 P(e1)=P(e2)=P(en).则称试验E为古典概型试验。,1.2.2.概率的古典定义,定义 1.2,若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,En组成,并且这些事件的出现具有相同的可能性,而事件A由其中某m个基本事件E1,E2,Em组成,则事件A的概率可以用下式计算:,例1 袋内装有5个白球,3个
10、黑球,从中任,两个球,计算取出的两个球都是白球的概率.,例2 一批产品共200个,废品有6个,求(1)这批产品的废品率;(2)任取3个恰有一个是废品的概率;(3)任取3个全非废品的概率,解 设P(A),P(A1),P(A0)分别表示(1),(2),(3)中所求的概率,则,例3 两封信随机地向标号为1,2,3,4的4个邮筒投寄,求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率及前两个邮筒中各有一封信的概率.,解 设事件A=第二个邮筒恰有一封信事件B=前两个邮筒中各有一封信两封信投入4个邮筒共有44种投法,而组成事件A的投法有23种,组成事件B的投法则只有2种,因此,1.3 概率的加法法则,例1 100个产品中
11、有60个一等品,30个二等品,10个废品.规定一,二等品都为合格品,考虑这批产品的合格率与一,二等品之间的关系,解 设事件A,B分别表示产品为一,二等品.则A与B不相容,AB=,A+B为合格品,则,例2 200个产品中有6个废品,任取3个,求最多只有一个废品的概率P(B),解 设事件A0,A1分别表示3个废品中有0个和1个废品,则B=A0+A1,且A0与A1与互不相容.则有利于B的基本事件数等于有利于A0与A1的基本事件数m1与m2之和,因此,加法法则：若AB，则 P(A+B)P(A)P(B)(1.2),推论1（有限可加性）：设A1，A2，An,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),
12、i,j1,2,n,有：P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+.+P(An)(1.3)可列可加性：,推论2：若A1，A2，An构成一个完备事件组，则：P(A1)P(A2)+.+P(An)1（1.5）,推论3：若事件AB，则P(AB)=P(A)P(B)（1.7）且 P(A)P(B),特别地：P(A)+P()=1 P(A)1P(）（1.6）,推论4：对任意两个事件A、B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)（1.8）,证明：P(A+B)PA+(B-AB)P(A)+P(BAB）P(A)+P(B)P(AB),由广义加法法则可以推导出多个事件的和的概率公式,例如,考虑任意三个事件之和A+B
13、+C的概率P(A+B+C),先将B+C看作一个事件,得P(A+B+C)=P(A)+P(B+C)-PA(B+C)=P(A)+P(B+C)-P(AB+AC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(BC)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)最后得P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC),A,B,C,例3 产品有一,二等品及废品3种,若一,二等品率分别为0.63及0.35,求产品的合格率与废品率.,解 令事件A表示产品为合格品,A1,A2分别表示一,二等品.显然A1与A2互不相容,并且A=A1+A2,则P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A
14、2)=0.63+0.35=0.98 P(A)=1-P(A)=1-0.98=0.02注意此题并非古典概型题.,例4 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,则:P(A)=P(B)=P(C)=0.3P(AB)=0.1 P(AC)=P(BC)=0,例5 在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概
15、率。,解:设A=“取到的数能被2整除”;B“取到的数能被3整除”,故,概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义：,定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)0；（非负性）(2)P()1；（规范性）(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。,1.4 条件概率,引例：100个产品中
16、有60个一等品，30个二等品，10个废品。规定一、二等品都是合格品考虑这批产品的合格率与一二等品率之间的关系。设A1、A2分别为一、二等品，B为合格品则：P(A1)=60/100 P(A2)=30/100 P(B)=90/100,若从合格品中任取一件，取到一等品的概率为60/90，怎样区分这两个一等品率？,定义1.3 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率。简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)。相应的把P(A)称为无条件概率.这里,只研究作为条件的事件B具有正概率即P(B)0的情况.,条件概率意味着样本空间的压缩,或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验
17、.以事件B为条件的条件概率,意味着在试验中将B提升为必然事件.,B,B,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示 产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(B/A)95%P(B/)=80%,例1、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%。,例2：全年级100名学生中，有男生（A）80人，女生20人；来自北京的（B）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（C）40人中有32名男生，8名女生。,试写出下列事件的概率：P(A)=P(B)=P(B/A)=P(A/B)=P(AB)=P(C)=P(C/A)=
18、P(AC)=,二、乘法法则(p16),设A、B，P(A)0,则 P(AB)P(A)P(B|A).(1.10)若P(B)0,则 P(AB)P(B)P(A|B).式(1.10)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.10)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.11),例3、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。,根据乘法法则：P(AB)=P(A)P(B
19、/A)=0.70.95=0.665P(B)=P()P(B/)=0.30.8=0.24,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(B/A)95%P(B/)=80%,例4：10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回）甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签，以及甲乙丙都抽到难签的概率,解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,三、全概率公式与贝叶斯公式,例5、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是
20、甲厂生产的合格灯泡的概率。求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。试判断该合格灯泡是甲厂生产的概率,P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B/A)+P()P(B/)=0.665+0.24=0.905P(A/B)=P(AB)/P(B)=0.665/0.9050.7348,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(AB)=0.665 P(B/A)95%P(B/)=80%P(B)=0.24,定义:事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1.1(p17)设A1，,An是 的
21、一个划分，构成一个完备事件组,且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,式(1.12)就称为全概率公式。,例6：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。,解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、三 次比赛时取到i个新球（i0、1、2、3）则 且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组,根据全概率公式：,有,定理2(p18)设A1，,An是 的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B，有,式(1.13)就称为贝叶斯公式。,例7 假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%,35%,20%.如果各车间
22、的次品率依次为4%,2%,5%.现在从待出厂产品中检查出1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率,解 设事件B表示产品为次品,A1,A2,A3分别表示产品为甲,乙,丙车间生产的,显然,A1,A2,A3构成一完备事件组.依题意,有P(A1)=45%P(A2)=35%P(A3)=20%P(B|A1)=4%P(B|A2)=2%P(B|A3)=5%,则由贝叶斯公式得,定义1.4(P20)如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A/B)=P(A),则称事件A对于事件B独立。若A对于B独立，则B对于A也一定独立，称事件A与事件B相互独立。,1.5 独立试验概型,(一)事件的独立性,定义1.5
23、如果n(n2)个事件A1,A2,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,A2,An相互独立,关于独立性的几个结论如下：,2.以下四个命题等价：,1.事件A与B相互独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B),3.若事件A1,A2,An相互独立，则有,注意:互斥与独立的区别,4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,独立通常用于概率的乘法运算。,1.互斥的概念是事件本身的属性；独立的概念是事件的概率属性。,2.两事件互斥,即A与B不能同时发生；AB 独立是指A与B的概率互不影响.P(A/B)=P(A),3.若0P(A)1,0P(B)1,互斥一定不
24、独立；独立一定不互斥。,例1 甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。,解:设A=“机床甲不需要工人照管”;B=“机床乙不需要工人照管”;C=“机床丙不需要工人照管”;根据题意,A、B、C相互独立，并且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85,求机床因无人照管而停工的概率。,即求至少有两台机床同时需要照管的概率,例2 若例1中的3部机床性能相同，设P(A)P(B)P(C)0.8，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率
25、；,解：设Di“恰有i部机床需要照管”则P(D1)=P(D2),例3 如图所示,开关电路中开关a,b,c,d开或关的概率都是0.5,且各开关是否关闭相互独立.求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关a与b同时关闭的概率,解 令事件A,B,C,D分别表示开关a,b,c,d关闭,E表示灯亮,则E=AB+C+D,P(E)=P(AB+C+D)=P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD)-P(CD)+P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)=0.52+0.5+0.5-0.53-0.
26、53-0.52+0.54=0.8125P(AB|E)=P(ABE)/P(E)而ABE,故ABE=AB,因此,(二)独立试验序列概型,在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，称这n次试验是相互独立的。,例4 一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，3次中恰有两次取到废品的概率,解：设B2“3次中恰有两次取到废品”Ai“第i次取到废品”(i=1,2,3)则A1A2A3，1A2A3,A12A3,A1A23,A123,1A23,12A3,123 P
27、(B2)=P(1A2A3+A12A3+A1A23)=P(1A2A3)+P(A12A3)+P(A1A23)=0.90.10.1+0.10.90.1+0.10.10.9,例5 例4中废品率若为p(0p1),重复抽取n次，求恰有k次取到废品的概率,解：设Bk“n次中恰有k次取到废品”则,上面例子的共同特点是,在每次试验中某事件A或者发生或者不发生,假设每次试验的结果与其它各次试验结果无关,即在每次试验中A出现的概率都是p(0p1),这样的一系列重复试验(比如n次),称为n重贝努里试验.因此,n重贝努里试验共有两个关键参数,一个是每次试验A发生的概率,一个是试验次数n.注意A并非n重试验的样本空间的事件,它只是一次试验中的事件,而在n重试验中,它转化为A1,A2,An,定理1.31(贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1),则n重贝努里试验中,事件A恰好发生k次的概率用pn(k)表示,则,例6 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现检查了10件，求至少有两件一级品的概率。,分析：此题没有说明抽取方式，但自动生产线上产品是 大批量的，因此有放回的抽取与无放回的抽取方式可以认为是一样的，按有放回的抽取方式来处理。解：设所求事件的概率为P(B),每一件产品可能是一级品也可能不是一级品，各个产品是否为一级品是相互独立的。,
