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1、概率论与数理统计,开课系：公共教学部教师:白强 e-mail:电话：18699431146,教材：概率论与数理统计 袁荫棠编中国人民大学出版社,参考书：1.概率论及数理统计中山大学 数学力学系 编人民教育出版社2.概率论与数理统计教程魏宗舒编 高等教育出版社3.概率论及数理统计浙江大学 编 高等教育出版社,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象量的统计规律性的科学,序 言,在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象：确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象；,不确定性现象（随机现象）：在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结
2、果。事先不能预言会出现哪种结果的现象。,第一章 随机事件及其概率,随机事件概率概率的加法法则条件概率与乘法法则独立实验概型,1.1随机事件一、随机试验(简称“试验”),对随机现象进行观测称为随机试验随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；（必然性）2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可 以明确试验的所有可能结果;（可示性）3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。（偶然性）随机试验可表为E,E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E
3、5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。概率论中研究的随机现象不是日常人们所谈的偶然现象，它有特定的含义和特点。,随机实验的例,随机事件,二、随机事件,每次实验中，可能发生也可能不发生，而在大量实验中具有某种规律性的事件称为随机事件。简称为事件通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示基本事件：不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件复合事件：由基本事件复合而成的事件,必然事件、不可能事件,必然事件（）：每次试验中一定发生的事件不可能事件（）：每次试验中一定不发生的事件,三、样本空间：,1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集
4、合称为样本空间，记为=；2、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为.3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为.,EX 给出E1-E7的样本空间,随机事件,1.定义：试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素 2.两个特殊事件:必然事件、不可能事件.例如 对于试验E2，以下A、B、C即为三个随机事件:A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT
5、，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 xT(小时）。,可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。,准备知识,集合的关系与运算：加法原理、乘法原理、排列与组合：,集合的关系与运算：,集合：是具有某种特定性质的元素所组成的集体。集合的元素可以是任意种类的
6、对象：点、数、函数、事件、人等等,（一）集合的关系,1、子集：属于集合A的任意元素都属于B，称集合A是集合B的子集。读作A含于B，或B包含A；记作 或当 且 时，,1.包含关系“A发生必导致B发生”记为AB 相等关系 若A B 且 BA.AB,四、事件之间的关系,2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB 或 A+B,2n个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作,3.积事件:A与B同时发生，记作 ABAB,3n个事件A1,A2,An同时发生，记作 A1A2An 或,4.差事件：AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生,思考：何时A-B=?何时A-B=A？A-AB=?当A B
7、时，AB=；当AB=时,AB=A；AB=AAB=,5.互斥的事件（互不相容事件）：AB,6.互逆的事件（对立事件）AB,且AB,7.完备事件组,若A1，A2，An为两两互不相容的事件，AiAj（ij）且A1A2An称A1，A2，An构成一个完备事件组,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(De Morgan)律：,例1：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,写出其样本空间；三次都取
8、到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。,A1A2A3A1+A2+A31A2A3+A12A3+A1A2323+13+12,例2、从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i1,2,3）。试用事件的运算符号表示下列事件：,解：样本空间为A1A2A3，1A2A3,A12A3,A1A23,A123,1A23,12A3,123三次都取到了合格品；A1A2A3三次中至少有一次取到合格品；A1+A2+A3 A1A2A3+1A2A3+A12A3+A1A23+A123+1A23+12A3,三次中恰有两次取到
9、合格品；1A2A3+A12A3+A1A23三次中至多有一次取到合格品。23+13+12 A123+1A23+12A3+123三次中至少有两次取到次品,例3 一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标（i=1,2,3）试用文字叙述下列事件,A1+A22A1+A2+A3 A1A2A3A32 A3A2 12 2+3 A1A2+A1A3+A2A3,前两次中至少有一次击中目标第二次射击未击中目标三次射击中至少有一次击中目标三次射击都击中了目标第三次击中而第二次未击中前两次均未击中目标后两次射击中至少有一次未击中目标三次射击中至少有两次击中目标三次射击中至多有一次未击中目标,例
10、4 如果x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置是说明下列各事件的关系,A=xl x20B=xl x3C=xl x9D=xl x-5E=xl x9,包含关系互不相容对立相容,A1A2A3+1A2A3+A12A3+A1A23+A123+1A23+12A3,1.2 概率,从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性大小的一个数,?,P（A）应具有何种性质？,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？,某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？,?,定义:事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值n
11、A/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即 fn(A)nA/n.,1.2.1 频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005,频率的性质(1)0 fn(A)1；(2)fn(S)1；fn()=0(3)可加性：若AB，则 fn(AB)fn(A)fn(B).,实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐 趋向一个
12、稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率,若某实验E满足1.有限性：样本空间 e1,e 2,e n;2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en).则称E为古典概型也叫等可能概型。,1.2.2.古典概型与概率,设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N()记样本空间中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质,(1)0 P(A)1；(2)P()1；P()=0(3)AB，则 P(A B)P(A)P(B),古典概型中的概率:,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,N(S)=HHH,HHT,H
13、TH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,N(A)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,古典概型的几类基本问题,1.乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,2.加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,3.有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,4.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取
14、一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,5.组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,1.2.3例题的有关类型,1.抽球问题2.分球入盒问题3.分组问题4.随机取数问题,1、抽球问题 例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A“取到一红一白”,答:取到一红一白的概率为3/5,例2一批产品共200个，有6个废品求这批产品的废品率；任取3个恰有一个是废品的概率；任取3个全非废品的概率,解：设A“废品”A1“3个产品中恰有一个是废品”A0“3个产品全非废品”
15、则,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,例3 两封信随机的向标号为、的4个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入1封信的概率,解：设A“第二个邮筒只投入1封信”B“前两个邮筒各有一封信”则根据乘法原理,例4：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,例5 袋中有a个白球，b个黑球，从中每次取出一个，无放回
16、的抽取k+1次，求第k+1次取到白球的概率（k+1 a+b）,解：设A“第k+1次取到白球”从a+b个球中无放回的取k+1次，共有种不同的取法；而A含有 种不同的取法,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,?,3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)
17、，共有分法：,4 随机取数问题,例4 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,1.3概率的加法法则,引例:（P10例2）一批产品共200个，有6个废品。求任取3个恰有i个是废品的概率；任取3个全非废品的概率；最多只有一个废品的概率P(B)；解：设,加法法则：若AB，则 P(A+B)P(A)P(B)(1.2),推论
18、1（有限可加性）：设A1，A2，An,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,n,有：P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+.+P(An)(1.3)可列可加性：,推论2：若A1，A2，An构成一个完备事件组，则：P(A1)P(A2)+.+P(An)1（1.5）,推论3：若事件AB，则P(AB)=P(A)P(B)（1.7）且 P(A)P(B),特别地：P(A)+P()=1 P(A)1P(）（1.6）,推论4：对任意两个事件A、B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)（1.8）,证明：P(A+B)PA+(B-AB)P(A)+P(BAB）P(A)+P(B)P(A
19、B),推论5（多除少补原理）,对于任意n个事件A1，A2，An，P(A1 A2 An),概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义：,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)P(A)0；（非负性）(2)P()1；（规范性）(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质(
20、1)有限可加性：设A1，A2，An,是n个两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);,(3)事件差 A、B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB),(2)单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B),(4)加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；多出少补原理(5)互补性：P(A)1 P(A);(6)可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB).,例1.3.1.某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民
21、人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,则:P(A)=P(B)=P(C)=0.3P(AB)=0.1 P(AC)=P(BC)=0,例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A=“取到的数能被2整除”;B“取到的数能被3整除”,故,例1.3.3.袋中有4个白球，3个黑球，无放回的连续抽取两次，每次抽出一球。问：至少有一个白
22、球的概率,解：设A“抽出的两个球中至少有一个白球”A1“抽出的两个球中恰有一个白球”A2“抽出的两个球中恰有一个白球”则A=A1+A2 且A1与A2 互斥P(A)=P(A1)+P(A2)=,作业：,P27EX：15，16，17,1.4 条件概率,引例：100个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。规定一、二等品都是合格品考虑这批产品的合格率与一二等品率之间的关系。设A1、A2分别为一、二等品，B为合格品则：P(A1)=60/100 P(A2)=30/100 P(B)=90/100,若从合格品中任取一件，取到一等品的概率为60/90，怎样区分这两个一等品率？,问：第一个人取得红球的概率
23、是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？,?,又例：袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,定义1.3 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率。简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)。相应的把P(A)称为无条件概率,若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,一、条件概率,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(B/A)95%P(B/)=80%,例1、市场上供应的灯泡中，
24、甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%。,例2 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;（2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率,设A“第一次取到红球”,B“第二次取到红球”,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(p15),一般地，设A、B是中的两个事件，则,(1.9),?,“条件概率”是“概率”吗？,何时P(A|B)=P(A)?何时P(A
25、|B)P(A)?何时P(A|B)P(A)?,概率定义 若对随机试验E所对应的样本空间 中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：P(A)0；(2)P()1;(3)可列可加性：设A1，A2，,是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2)P(A1)P(A2)+.则称P(A)为事件A的概率。,条件概率的计算方法,1、在原样本空间中利用事件的关系计算。2、用缩减样本空间的方法计算,例3.一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A“从盒中随机取到一只红球”
26、.B“从盒中随机取到一只新球”.,A,B,例4：全年级100名学生中，有男生（A）80人，女生20人；来自北京的（B）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的（C）40人中有32名男生，8名女生。,试写出下列事件的概率：P(A)=P(B)=P(B/A)=P(A/B)=P(AB)=P(C)=P(C/A)=P(AC)=,二、乘法法则(p16),设A、B，P(A)0,则 P(AB)P(A)P(B|A).(1.10)若P(B)0,则 P(AB)P(B)P(A|B).式(1.10)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.10)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB
27、).一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.11),例5、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。,根据乘法法则：P(AB)=P(A)P(B/A)=0.70.95=0.665P(B)=P()P(B/)=0.30.8=0.24,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(B/A)95%P(B/)=80%,例6：10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回）甲先、
28、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签，以及甲乙丙都抽到难签的概率,解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,例7 盒中有3个红球，2个白球，每次从盒中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球且第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,EX,P27 18、19、20,三、全概率公式与贝叶斯公式,例1.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。
29、,B,例2、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。试判断该合格灯泡是甲厂生产的概率,P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B/A)+P()P(B/)=0.665+0.24=0.905P(A/B)=P(AB)/P(B)=0.665/0.9050.7348,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(AB)=0.665 P(B/A)95%P(B/)=80%P(B)=0.2
30、4,定义:事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1.1(p17)设A1，,An是 的一个划分，构成一个完备事件组,且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,式(1.12)就称为全概率公式。,例3:有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,定理2(p18)设A1，,An是 的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，
31、则对任何事件B，有,式(1.13)就称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。试判断该次品是甲厂生产的概率,由全概率公式：,由Bayes公式:,例5(88.3)商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.,问这一箱含有一个次品的概率是多少？解：设A“从一箱
32、中任取4只检查,结果都是好的”.B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例6：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。,解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球（i0、1、2、3）则且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组,根据全概率公式：,有,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,EX,P27 22、23、26、30,定义1.4(P20)如果事件A发生的可能性不受事件
33、B发生与否的影响，即P(A/B)=P(A),则称事件A对于事件B独立。若A对于B独立，则B对于A也一定独立，称事件A与事件B相互独立。,1.5 独立试验概型,(一)事件的独立性,定义1.5 如果n(n2)个事件A1,A2,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,A2,An相互独立,一、两事件独立,等价于：,根据定义1.4 设A、B是两事件，P(B)0,若,则称事件A与B相互独立。,二、三个事件的相互独立,根据定义1.4和1.5 若三个事件A、B、C满足：P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、
34、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足：(4)P(ABC)P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。,关于独立性的几个结论如下：,2.以下四个命题等价：,1.事件A与B相互独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B),3.若事件A1,A2,An相互独立，则有,注意:互斥与独立的区别,4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,独立通常用于概率的乘法运算。,1.互斥的概念是事件本身的属性；独立的概念是事件的概率属性。,2.两事件互斥,即A与B不能同时发生；AB 独立是指A与B的概率互不影响.P(A/B)=P(A),3.若0P(A)1,0P(B)1,互斥一定不独立；独立一定不
35、互斥。,思考题：,证明：概率为1的事件与任何事件都相互独立；概率为0的事件与任何事件都相互独立；,概率为1的事件与其他事件什么关系？,概率为0的事件与其他事件什么关系？,?,例1 甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，并假定中靶与否是相互独立的。求下列各事件的概率：,两人都击中靶的概率甲击中乙未击中的概率甲不中乙中的概率目标被击中的概率,解：设A、B分别表示甲、乙击中目标,例2 甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。,解:设A=“机床
36、甲不需要工人照管”;B=“机床乙不需要工人照管”;C=“机床丙不需要工人照管”;根据题意,A、B、C相互独立，并且P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.85,求机床因无人照管而停工的概率。,即求至少有两台机床同时需要照管的概率,例3 若例1中的3部机床性能相同，设P(A)P(B)P(C)0.8，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率；,解：设Di“恰有i部机床需要照管”则P(D1)=P(D2),例4 若例1中有n部机床性能相同，每部机床需要照管的概率为：P(A1)P(A2)P(An)p，求这段时间内恰有k部机床需要照管的概率；,P(Dk)=,例5：如图，
37、1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,解：设A“L至R为通路”,Ai“第i个继电器通”,i=1,2,5,解法二：设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k(1kn),任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)则称n个事件A1，A2，An相互独立。,思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则,2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，
38、哪一个有更多的机会遇到？,答:0.518,0.496,三、事件独立性的应用,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则(1.15),2、在可靠性理论上的应用P23,24如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,EX,P2932、33、34、36,(二)独立试验序列概型,在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，称这n次试验是相互独立的。,进行n次试验，如果这n次试验满足：,)每次试验的条件
39、相同)每次试验的结果互不影响称这n次试验为：n次重复独立试验概型。特别的：当每次试验只有两种可能结果，即只有事件A与，且在每次试验中P(A)=p,P()=1-p 时，称为n重贝努里试验概型,例1 一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，3次中恰有两次取到废品的概率,解：设B2“3次中恰有两次取到废品”Ai“第i次取到废品”(i=1,2,3)则A1A2A3，1A2A3,A12A3,A1A23,A123,1A23,12A3,123P(B2)=P(1A2A3+A12A3+A1A23)=P(1A2A3)+P(A12A3)+P(A1A23)=0.90.10.1+0
40、.10.90.1+0.10.10.9,例2 例1中废品率若为p(0p1),重复抽取n次，求恰有k次取到废品的概率,解：设Bk“n次中恰有k次取到废品”则,定理1.3(p24)（贝努里定理）设一次试验中事件A发生的概率为p(0p1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率为,例3 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6，现检查了10件，求至少有两件一级品的概率。,分析：此题没有说明抽取方式，但自动生产线上产品是大批量的，因此有放回的抽取与无放回的抽取方式可以认为是一样的，按有放回的抽取方式来处理。解：设所求事件的概率为P(B),每一件产品可能是一级品也可能不是一级品，各个产品是否为一级品是
41、相互独立的。,例4 假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）。,求全部能出厂的概率其中恰好有两件不能出厂的概率其中至少有两件不能出厂的概率,解：设A“仪器需进一步调试”B“仪器能出厂”“仪器能直接出厂”AB“仪器需进一步调试且能出厂”,根据题意：BABP(A)0.30 P(）0.70P(B/A）0.80 每台仪器能出厂的概率为P(B),“至少有两件不能出厂”的对立事件为“至多有一件不能出厂”,利用贝努里定理计算有关事件的概
42、率时要注意：设在每次试验中事件A发生的概率为p,则在n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率为P(“事件A恰好发生k次”)=,Pn(事件A发生的次数不到k次)Pn(事件A发生的次数多于k次)Pn(事件A发生的次数不少于k次)Pn(事件A发生的次数不多于k次),例5 设在3次独立试验中，事件A出现的概率均相等且至少出现一次的概率为19/27，则在一次试验中，事件A出现的概率为多少？,解：设P(A)p则P3(事件A至少出现一次)P3(1)+P3(2)+P3(3)=1P3(0),即：,例6 一批种子的发芽率为0.8，今每穴播种几粒种子，才能保证不缺苗的概率不低于99%？,解：种一粒种子就是一次试验，各
43、种子发芽与否是相互独立的。设A“发芽”，则p0.8每穴缺苗相当于进行两次贝努里试验中事件A不发生，故其概率为,如果要求以99%的概率保证不缺苗，即要求缺苗的概率0.01，设此时每穴至少种n粒种子，应有,解之：,即每穴应至少种3粒种子,例7 设某公司有7个顾问，每个顾问提供正确意见的百分比为0.6，现为某事可行与否个别征求顾问意见，并按多数人的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。,解：此问题相当于7重贝努里试验，设A“顾问提供正确意见”，P(A)=p0.6B“作出正确决策”所求概率为：,例7 设某公司有7个顾问，每个顾问提供正确意见的百分比为0.6，现为某事可行与否个别征求顾问意见，并按多数人
44、的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。,分析：作出正确决策是指某事实际上可行且作出可行决策或某事实际上不可行且作出不可行决策，故所求的概率为两个乘积事件的和的概率，而在求积事件概率时通常转化为条件概率，则利用乘法公式。,解：设A“某事实际上可行”B“多数顾问说可行”,则所求概率为：,EX,P2937、38,第一章复习,一、知识结构,随机现象,随机试验,样本点,随机事件,并、交、逆,样本空间,二、重点知识点的分布,1.样本空间与随机事件 2.概率的定义与性质 3.条件概率与概率的乘法公式 4.事件的关系与运算 5.全概率公式与贝叶斯公式 6.贝努里概型,1.包含关系“A发生必导致B发生”记为A
45、B2.相等关系 若A B 且 BA.AB3.互斥的事件（互不相容事件）：AB 4.独立 P(B)P(B|A)P(AB)P(A)P(B),三、事件的关系,四、事件的运算,1.并 事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作AB 或 A+B2.交事件:A与B同时发生，记作 AB 或 AB3.互逆的事件 A与（对立事件）AB,且AB,事件的关系和运算用集合论的有关知识来研究,1、交换律2、结合律3、分配律4、对偶律5、幂等律6、吸收律7、恒等律,五、概率,1.定义2.概型3.公式4.条件概率,古典概型的几类基本问题,1.乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事
46、共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,2.加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,3.有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,4.无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,5.组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,六、古典概型的有关类型,1.抽球问题
47、2.分球入盒问题3.分组问题4.随机取数问题,1、抽球问题 例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A“取到一红一白”,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,2、分球入盒问题例4：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒,事件B包含的基本事件个数的另一种求法：3个盒子中的某一个盒子是空的,剩一个盒子放入一个球，根据乘法公式,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒
48、至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,?,3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,4 随机取数问题,例4 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N()=200,N(3)=20
49、0/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,七、独立试验序列概型（二项概型）,设在每次试验中事件A发生的概率为p,则在n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率为P(“事件A恰好发生k次”)=,八、公式,1.加法法则若AB，则 P(A+B)P(A)P(B)对任意两个事件A、B，有 P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB),2.乘法法则 设A、B，P(A)0,则 P(AB)P(A)P(B|A).若P(B)0,则 P(AB)P(B)P(A|B).,定理1.1 设A1，,An是 的一个划分，构成一个完备事件组,且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,3.全概公式,4.逆概公式,定理2 设A1，,An是 的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B，有,
