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1、第5章 频域分析法,基本要求,51 频率特性,52 典型环节的频率特性,53 系统的开环频率特性,54 频率稳定判据,55 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系,56 开环频率特性与系统阶跃响应的关系,返回主目录,基本要求,1.正确理解频率特性的概念。2.熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。3.熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。4.熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。,返回子目录,5.熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。6.熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕
2、度的方法。7.理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。8.理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。,一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出,51 频率特性,返回子目录,闭环传递函数：,输出,拉氏反变换得,是系统的瞬态分量，最后趋于零。,是系统的稳态分量。,同理：,将B、D代入（55）则,式中,从式（56）看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。,稳态输出的幅值,稳态输出的相位,二、频率特性的定义,线性定常系统，在正弦信号作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，称为系统的幅频率特性；稳态输出相
3、位与输入相位之差，称为系统的相频率特性。,二、频率特性的定义,线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称复相特性）。,频率特性表达式为,例子 以RC网络为例,其传递函数,频率特性,例子 以RC网络为例,频率特性,幅频特性:,相频特性:,三、频率特性的几种表示方法,1、幅频特性、相频特性、幅相特性,=,，,为系统的幅频特性。,为系统的相频特性。,图52RC网络的幅频特性和相频特性,幅频特性和相频特性曲线,图53 RC网络的幅相特性曲线,幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线,2。对数频率特性,对数频率特性曲线又称伯德（Bo
4、de)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线,对数幅频特性：,对数相频特性:,图54 对数坐标刻度图,注意,纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。这种坐标系称为半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。,采用对数坐标图的优点较多，主要表现在：由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的
5、意义)，而将高频段相对压缩了。可以在较宽的频段范围中研究系统的频率特性。由于对数可将乘除运算变成加减运算。当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加、减即可，从而简化了画图的过程。在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有相当的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。,52 典型环节的频率特性,一、比例环节（放大环节）,1)幅频特性2)相频特性3)对数幅相特性,返回子目录,幅相特性
6、：,传递函数：,图55 比例环节的频率特性曲线,二、积分环节,幅频特性,相频特性,图56 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线,对数频率特性,积分环节的对数幅频特性与对数相频特性分别为：,三、惯性环节（一阶系统）,传递函数,幅相特性,幅频特性：,相频特性：,图58 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线,惯性环节幅相特性曲线是一个以(12，j0)为圆心、12为半径的半圆。证明如下：,其中,代入式 整理后可得,惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上1/2处，半径为1/2。,对数频率特性,当,当,图59 惯性环节的对数频率特性曲线,四、振荡环节（二阶系统）,传递函数,频率特性,1.幅频特性、相
7、频特性、幅相特性,图511,谐振频率,谐振峰值,谐振频率,和谐振峰值,图512 振荡环节的幅相特性,Matlab程序ks=0.4 0.6 0.8;om=10;for i=1:3 num=om*om;den=1 2*ks(i)*om om*om;nyquist(num,den);axis(square);hold on;end,2.对数频率特性,对数幅频特性,对数相频特性,图513 振荡环节的对数幅频渐进特性,2.对数频率特性,Matlab程序ks=0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0;om=10;for i=1:length(ks)num=om*om;den=1 2*ks(i)*om
8、 om*om;bode(num,den);hold on;end,五、微分环节,图515,六、一阶微分环节,图516,七、二阶微分环节,图517 二阶微分环节的对数频率特性,八、一阶不稳定环节,图518,非最小相位环节,定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。由图518看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。,九、延迟环节,延迟环节输入输出关系为,g=tf(1,2,1);bode(g)nyquist(g);,返回子目录,53 系统的开环频率特性,一、开环幅相特性曲线设系统开
9、环传递函数由若干典型环节串联,系统开环幅频与相频分别为,1、开环幅相特性曲线,（1）当,系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节,图520 系统开环幅相特性曲线,时，,（2）当,图521 取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线,系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸,时，,（3）当,图522 含有积分环节时的开环幅相特性曲线,开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。,时，,2.系统开环幅相的特点,当频率 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率 时，若nm，G(j)|=0相角为(m-n)/2。若G(s)中分子含有s因子环节，其G(j)曲
10、线随 变化时发生弯曲。G(j)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。,已知单位反馈系统的开环传递函数为,试概略绘出系统开环幅相曲线。,解 系统型别,（2）终点,（3）与坐标轴的交点,，零点极点分布图如图5-22(a)所示。显然,（1）起点,二、开环对数频率特性曲线的绘制,系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。,系统开环对数幅频与对数相频表达式为,例51,绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。,解：,系统开环传递函数,开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。,例52,五个基本环
11、节,绘制开环系统的波特图,将写成典型环节之积；找出各环节的转角频率；画出各环节的渐近线；在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；将各环节曲线相加即得波特图。,一般规则：,例53,例54 已知最小相位系统的开环对数幅频渐进特性曲线，求系统的开环传递函数。,54 频率稳定判据,一、奈奎斯特稳定判据,图517 反馈控制系统,返回子目录,开环传递函数,闭环传递函数,令,将F(s)写成零、极点形式，则,辅助函数F(s)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。,由,1.幅角原理,1.幅角原理,若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针
12、转过的圈数。,s平面s 映射 F(s)正虚轴 j(:0)F(j)(:0)负虚轴 j(:0)F(j)(:0)半径的半圆(1,j0)点,2.奈式判据,图5-29 包括全部右半平面地封闭曲线,2.奈式判据,F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。F(j)包围原点就是G(j)H(j)包围(-1，j0)点。,对于G(j)H(j):0，开环极坐标图；:0，与开环极坐标图以轴镜像对称；F平面(1,j0)点就是GH平面的坐标原点。,奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（:0）包围(1，j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根的个数为Z，且有 Z=P R 若
13、Z=0，闭环系统是稳定的。若Z0，闭环系统是不稳定的。或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围(1，j0)点时，则闭环系统是稳定的。当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围(1，j0)点P圈时，闭环系统是稳定的。,2.奈式判据,0+,开环有积分环节的系统,由于开环极点因子1/s，既不在的s 左半平面，也不在的s 右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。,如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在平面上的s=0邻域作一半径无穷小的半圆，绕过原点。,0,2.奈式判据,在GH平面上开环极坐标图在=0时，小半圆映射到GH平面上是一个半径为无穷大，从=0到=0
14、+顺时针旋转v 180 的大圆弧。如此处理之后，就可以根据奈氏判据来判断系统的稳定性了。,用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从 0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0)点的圈数N（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s 右半平面根的个数P，根据公式 Z=P 2N 来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转v90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。,2.奈式判据（实际方
15、法）,例55,已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别闭环系统稳定性。,Z=P-2N=0-2(-1)=2,不稳定,例56,已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据判别K=0.5和K=2时的闭环系统稳定性。,1)分别作出K=0.5和K=2时开环幅相特性曲线,2)根据开环传递函数，P1。K=0.5时，绕(-1,j0)点转过的圈数为0，Z=P-2N=1,闭环系统不稳定。K=2时，绕(-1,j0)点反时针转过圈数为1/2，Z=P-2N=1-2(1/2)=0,闭环系统稳定。,图532 系统开环幅相特性曲线,例57,已知系统开环传递函数 试应用奈氏判据闭环系统稳定性。,由图可知，幅相曲线不包围(1，j0)点。
16、此结果也可以根据 增加时幅相曲线自下向上(幅角减小)和自上向下(幅角增加)穿越实轴区间(，1)的次数决定。N=N N,自实轴区间（，1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（，1）开始向上的穿越为半次负穿越。,二、对数频率稳定判据,奈氏判据也可叙述为：在开环幅相特性 曲线，沿 增加的方向，对（1，）的负实轴段正、负穿越次数之差等于，则闭环系统稳定。,二、对数频率稳定判据,若开环系统稳定（p=0），则闭环系统稳定的充要条件是：在 的所有频段内，正负穿越 线的次数差为0。,注意：在开环对数幅频特性大于零的频段内，相频特性曲线由下（上）往上（下）穿过负1800线为正（负）穿越。N+（N-）为正（
17、负）穿越次数，从负1800线开始往上（下）称为半个正（负）穿越。,图534 幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b),系统闭环稳定的条件是：在开环对数幅频 的频段内，对应的开环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之差为。即 为系统开环传递函数位于 右半平面的极点数。,当开环系统有积分环节时，对应在对数相频曲线上 处，用虚线向上补画，在计算正负穿越将补画的虚线看成对数相频曲线的一部分。,例58,已知系统开环传递函数 试用对数判据判别闭环稳定性。,解：绘制系统开环对数频率特性如图。,由开环传递函数可知P=0。,图535,所以闭环稳定,例510,已知系统开环传递函数试用对数判据判别闭环稳定性。
18、,解：绘制系统开环对数频率特性如图,图537,在 处振荡环节的对数幅频值为,闭环特征方程的正根数为,三、稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。,三、稳定裕度衡量闭环系统稳定程度的指标。,相位裕度,模稳定裕度h：,幅值裕度是指（1，j0）点的幅值1与 之比，用h表示,在对数坐标图上,即h的分贝值等于 与0dB之间的距离（0dB下为正）,相角裕度的物理意义在于：稳定系统在截止频率,若相角迟后大于,，系统将变成不稳定。,一般要求：,例5-11 某单位反馈系统的开环传递函数为,试求,时系统的相角裕度和幅值裕度。,解,当,时,得,，即,。,55 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系,图示单位反馈系统的闭环传递
19、函数为,图540,返回子目录,p,等M圆 为常数的轨迹,设,整理得,等 圆方程,一、等M圆图和等N圆图,根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等N圆图，可以作出闭环相频特性曲线。,设,整理得,等 圆方程,等N圆 为常数的轨迹,一、等M圆图和等N圆图,二、尼科尔斯图（N.b.Nichols),如果将开环频率特性表示为,则,做变换得,图545 尼科尔斯图,三、利用闭环幅频特性分析和估算 系统的性能,在已知闭环系统稳定的条件下，可以只根据系统闭环幅频特性曲线，对系统的动态响应过程进行定性分析和定量估算。,图548 闭环幅频特性曲线,定性分析,1）零频的幅值 反映系统在阶跃信号
20、作用下是否存在静差。,2）谐振峰值 反映系统的平稳性。此值大说明动态过程超调量大，平稳性差，反之平稳性好。,3）带宽频率 反映系统的快速性,下降到0.707 对应的频率值,一阶系统：,二阶系统,4）闭环幅频 在 处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。,斜率越陡，抗高频干扰的能力越强。,定量估算,用频域分析方法估算系统的动态性能,实验测试,稳定性,稳定裕度,闭环频率 特征量,总 结,56 开环频率特性与系统阶跃响应的关系,图551 系统开环对数幅频渐近特性曲线,返回子目录,低频段通常是指 的渐近曲线在第一个转折频率以前的区段，这一段的特性完全由积分环节和开环增益决定。,一、低频段,二、中频段,中频段特性集中反映了系统的平稳性和快速性。,图553,二、中频段,中频段 特性集中反映了系统的平稳性和快速性。,二、中频段,中频段 特性集中反映了系统的平稳性和快速性。,三、高频段,对于单位反馈系统,在高频段，一般有,，即,系统开环对数幅频在高频段的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。,重点掌握,频率特性的定义及系统在正弦信号 作用下的稳态输出。绘制频率特性图（Nyquist 图和Bode图）。根据Bode图求传递函数。,本章知识点及主要线索,
