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1、全等三角形的提高拓展经典题全等三角形的提高拓展训练 知识点睛 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应角 (5)有对顶角的，对顶角常是对应角 (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角) 要想正确地表示两个三角形全
2、等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关
3、系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础 例题精讲 板块一、截长补短 已知DABC中，A=60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 1 BCEODAD 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一N点(点B除外)，作DMN=60，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? AMBE如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？ _ D_ C _ N _ A_ M_ B_ E 已知：如图，ABCD是正方形，FAD
4、=FAE. 求证：BE+DF=AE. _ A_ D _ F _ B_ C _ E 以DABC的AB、连结CD、求AC为边向三角形外作等边DABD、DACE，BE相交于点O证：OA平分DOE DDAAE F OO CCBB 2 E 如图所示，DABC是边长为1的正三角形，DBDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求DAMN的周长 A N M B D 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180， 求证：AD平分CDE A CBDC 板块二、全等与角度 如图，在DABC中，BAC=60，AD是BAC的平分线，且AC=A
5、B+BD，求ABC的度数. A DB 在等腰DABC中，AB=AC，顶角A=20，在边AB上取点D，使AD=BC， 求BDC. A DCB3 EC 如图所示，在DABC中，AC=BC，C=20，又M在AC上，N在BC上，且满足BAN=50，ABM=60，求NMB. CMNAB 在四边形ABCD中，已知AB=AC，ABD=60，ADB=76，BDC=28，求DBC的度数. D 如图所示，在四边形ABCD中，DAC=12，CAB=36，ABD=48，DBC=24，求ACD的度数. 在正DABC内取一点D，使DA=DB，在DABC外取一点E，使DBE=DBC，且BE=BA，求BED. A E D B
6、C 4 ABDCABC 如图所示，在DABC中，BAC=BCA=44，M为DABC内一点，使得MCA=30，BMAC5 MAC=16，求BMC的度数. 全等三角形证明经典50题 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 延长AD到E,使DE=AD, B 则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BEAEAB+BE 即:10-22AD10+2 4ADAB，求证：PC-PBAC-AB 作B关于AD的对称点B，因为AD是角BAC的平分线，B在线段ACA P 上 因为PCPB+BC,PC-PBBC,而BC=AC-AB=AC-AB,所以B PC-
7、PB三角形ADC全等于三角形ABC. 所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC全等于三角形BEC 所以5=6 34已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF 因为D,C在AF上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB平行DE，BC平行EF 所以角A+角EDF，角BCA=角F 然后SSA三角形全等 35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD 证明：因为 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因为 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC全等于三角形D
8、CB 所以 BECD B E A F C D A12D5E6B34C 14 36、如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。 求证：DE=DF AAS证ADF B E D A F C 37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？ 角C=角E=90度 A 角B=角EAD=90度-角BAC BC=AE ABCDAE B AD=AB=5 38如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC 证明AB=AC ABC是等腰三角形 B=C 又ME=MF，BEM和CEM是直
9、角三角形 BEM全等于CEM MB=MC 40在ABC中，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMNACB=90，AC=BC，于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： DADCDCEB；DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 证明：ACB=90， ACD+BCE=90， 而ADMN于D，BEMN于E， 15 E C D AEBMFCADC=CEB=90，BCE+CBE=90， ACD=CBE 在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB， RtADCRtCEB， AD=CE，
10、DC=BE， DE=DC+CE=BE+AD； 不成立，证明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90ACD=CBE AC=CB， ADCCEB， AD=CE，DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE； F 41如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：EC=BF；ECBF A E 证明;因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 M 因为AF垂直AC B C 所以角CAF=角CAB+角BAF=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB全等 所以EC=BF 角ECA=角F (2)延长FB与EC的延长线交于点G
11、 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC垂直BF 42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：AM=AN；AMAN。 证明： AN 43BEAC，CFAB FABM+BAC=90，ACN+BAC=90 EABM=ACN M2BM=AC，CN=AB 1ABMNAC CBAM=AN ABMNAC BAM=N N+BAN=90 BAM+BAN=90 16 即MAN=90 AMAN 43如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF 连接BF、CE， 证明ABF全等于DEC， 然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形B
12、CEF 从而求得BC平行于EF 44如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN 所以ANE=ACE 又AC平行BD 所以ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180 所以ENB=BDE NBE=EBN BE为公共边, 所以三角形EBN全等三角形EBD 所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD 45、 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF 证明： AD是中线 BD=CD DF=DE，BDE=CDF B
13、DECDF BED=CFD BECF 17 46、(10分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，DE=BF 求证：ABCD D 证明：DEAC，BFAC， DEC=AFB=90， 在RtDEC和RtBFA中，DE=BF，AB=CD， RtDECRtBFA， C=A， A ABCD 47、(10分)如图，已知1=2，3=4，求证：AB=CD A.1 3B48、 (10分)如图，已知ACAB，DBAB，ACBE，AEBD，试猜想线段CE与与位置关系，并证明你的结论. C 结论：CEDE。当AEB越小，则DE越小。 证明： 过D作AE平行线与AC交于F，连接FB 由已知条件知AF
14、DE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且DFB为等腰三角形。 A RTBAE中，AEB为锐角，即AEB90 DF/AE FDB=AEB45 RTAFB中，FBA=90-DBF 45 ABAF AB=CE AF=DE CEDE 49、 (10分)如图，已知ABDC，ACDB，BECE，求证：AEDE. 先证明ABCBDC 的出角ABC=角DCB A 在证明ABEDCE 得出AE=DE B E C F E B D24CDE的大小D E B D C 18 50如图9所示，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：ADCBDE 证明：作CG平分ACB交AD于G ACB=90 ACG= DCG=45 ACB=90 AC=BC B=BAC=45 B=DCG=ACG CFAD ACF+DCF=90 ACF+CAF=90 CAF=DCF AC=CB ACG=B ACGCBE CG=BE DCG=B CD=BD CDG BDE ADC=BDE C F D A E B 图9 19
