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1、一、组合变形的概念 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。,二、解决组合变形问题的基本方法叠加法,叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。,8-1 组合变形和叠加原理,三、工程实例,传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+扭转,自重引起轴向压缩+水平方向的风力而引起弯曲,1、外力分析 将外力简化并沿主惯性轴分解，将组合变形分解为基本变形,使之每个力(或力偶)对应一种基本变形,3、应力分析 画出危险截面的应力分布图，利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件,四、处理组合变形的基本方法,2、内力分析 求每个外力分
2、量对应的内力方程和内力图，确定危险截截面。分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形,一、受力特点,杆件将发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形,作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力，还有横向力,二、变形特点,8-2 拉伸(或压缩)与弯曲的组合,F1 产生弯曲变形,F2 产生拉伸变形,Fy 产生弯曲变形,Fx 产生拉伸变形,示例1,示例2,三、内力分析,横截面上内力,2、弯曲,1、拉(压)：轴力 FN,弯矩 MZ,剪力FS,因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。,横截面上任意一点(z,y)处的正应力计算公式为,四、应力分析,1、拉伸正应力,2、弯曲正应力,轴力,所以跨中截面是杆的危险截面,F2,F2,l
3、/2,l/2,3、危险截面的确定,作内力图,弯矩,拉伸正应力,最大弯曲正应力,杆危险截面 下边缘各点 处上的拉应力为,4、计算危险点的应力,F2,F2,l/2,l/2,任意横截面任意点的“”,（1）内力：,（2）应力：,F,Fx,Fy,危险截面固定端,危险点“ab”边各点有最大的拉应力，“cd”边各点有最大的压应力（或最小拉应力）。,强度计算,在 FN 作用下：,在 Mz 作用下：,当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、抗压强度条件。,五、强度条件,由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态，故其强度条件为,例题1 悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度 Wz
4、=237cm3,横截面面积 A=35.5cm2，总荷载F=34kN，横梁材料的许用应力为=125MPa。校核横梁AB的强度。,F,A,C,D,1.2m,1.2m,B,30,AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形,中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘,解：(1)分析AB的受力情况,F,A,C,D,1.2m,1.2m,30,B,(2)压缩正应力,(3)最大弯曲正应力,(4)危险点的应力,B,A,D,F,FRAy,FRAx,F,A,C,D,1.2m,1.2m,30,B,例题2 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力 t=30MPa，许用压应力 c=160MPa。试按立柱的强度确
5、定压力机的许可压力F。,350,F,F,50,50,150,150,解：(1)确定形心位置,A=1510-3 m2,Z0=7.5cm,Iy=5310cm4,计算截面对中性轴 y 的惯性矩,350,F,F,50,50,150,150,(2)分析立柱横截面上的内力和应力,在 nn 截面上有轴力 FN及弯矩 My,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由轴力 FN产生的拉伸正应力为,n,n,350,F,F,50,50,150,150,由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为,50,50,150,150,n,n,350,F,F,（3）叠加,在截面内侧有最大拉应力,50,50,150,150,n
6、,n,350,F,F,在截面外侧有最大压应力,F 45.1 kN,所以取,50,50,150,150,n,n,350,F,F,例题3 正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍。,F,F,1,1,未开槽前立柱为轴向压缩,解：,F,开槽后1-1是危险截面,危险截面为偏心压缩,将力 F 向1-1形心简化,例题4 矩形截面柱如图所示，F1的作用线与杆轴线重合，F2作用在 y 轴上。已知:F1=F2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的 mm 截面只出现压应力，求 F2 的偏心距 e。,解：,(1)外力分析 将力 F2 向截
7、面形心简化后，梁上的外力有,轴向压力,力偶矩,F1,m,m,(2)m-m 横截面上的内力有,轴力,弯矩,轴力产生压应力,弯矩产生的最大正应力,(3)依题的要求,整个截面只有压应力,得,F1,m,m,8-3 偏心拉（压）截面核心,1、定义 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。,一、偏心拉（压）,x,y,z,2、以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例,(1)将外力向截面形心简化，使每个力(或力偶)只产生一种基本变形形式,轴向拉力 F,力偶矩 m=F e，,将 m 向y轴和z轴分解,F 使杆发生拉伸变形,My 使杆发生 xz 平面内的弯曲变
8、形（y 为中性轴）,Mz 使杆发生 xy 平面内的弯曲变形（z 为中性轴）,二、任意横截面n-n上的内力分析,轴力 FN=F,弯矩,三、任意横截面 n-n 上 C 点的应力分析,由 F 产生的正应力,由 My 产生的正应力,由 Mz 产生的正应力,由于 C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知,由叠加原理，得 C点处的正应力为,均为拉应力,式中,A为横截面面积;,Iy,Iz 分别为横截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩;,(zF，yF)为力 F 作用点的坐标;,(z，y)为所求应力点的坐标.,上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规律变化。应力平面与横截面的交线（直线=0）就是中性轴。,四、
9、中性轴的位置,令 y0,z0 代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程,讨论,(1)在偏心拉伸(压缩)情 况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线,y,z,O,(2)用 ay和 az 记中性轴在 y,z 两轴上的截距，则有,(3)中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧,z,（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区,横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1,D2 两切点,(a),(b),(c),y,y,z,z,(5)对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定,N,FyF/Wz,最大拉应力 tmax 和最大压应力 cmin 分别在截面的棱角 D1 D
10、2 处.无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可,五、强度条件,由于危险点处仍为单向应力状态，因此，求得最大正应力后，建立的强度条件为,y,z,六、截面核心,（yF，zF）为外力作用点的坐标,ay，az为中性轴在y轴和z轴上的截距,当中性轴与图形相切或远离图形时，整个图形上将只有拉应力或只有压应力,y,z,y,z,y,z,y,z,截面核心,1、定义 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力)，这个区域就称为截面核心,y,z,当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定
11、。,2、截面核心的确定,1、在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距；2、由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标；3、最后连接力作用点得到一个在截面形心附近 的区域 截面核心。,3、确定截面核心的步骤,例5 求圆形截面的截面核心,圆截面的惯性半径,由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以O为圆心,以 d/8为半径的圆,2,例6 求矩形截面的截面核心,矩形截面的,直线 绕顶点 B 旋转到直线 时，将得到一系列通过 B点但斜率不同的中性轴，而 B点坐标 yB,zB 是这一系列中性轴上所共有的。,这些中性轴方程为,上式可以看作是
12、表示外力作用点坐标间关系的直线方程。,故外力作用点移动的轨迹是直线。,这些中性轴方程为,(1)对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心,(2)对于周边有凹进 部分的截面（如T字形截面），能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性 轴，因为这种直线穿过 横截面。,4、讨论,研究对象 圆截面杆,受力特点 杆件同时承受转矩和横向力作用,变形特点 发生扭转和弯曲两种基本变形,8-4 扭转与弯曲的组合,一、内力分析,设一直径为 d 的等直圆杆 AB,B 端具有与 AB 成直角的刚臂。研究AB杆的内力。,将力 F 向 AB 杆右端截面的形心B简化得,横向力 F（引起平面弯曲）,力偶矩 m=Fa（引起扭转
13、）,AB 杆为弯、扭组合变形,画内力图确定危险截面,固定端A截面为危险截面,Fl,A截面,二、应力分析,危险截面上的危险点为C1 和 C2 点,最大扭转切应力 发生在截面周边上的各点处。,危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1、C2 处,A截面,对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两点的危险程度是相同的。可取任意点C1 来研究。,C1 点处于平面应力状态,该点的单元体如图示,三、强度分析,1、主应力计算,2、相当应力计算,第三强度理论,计算相当力,第四强度理论,计算相当应力,3、强度校核,1,该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力，是危险点的切应力。且横截面不限于圆形截面,讨
14、 论,该公式适用于 弯，扭 组合变形；拉（压）与扭转的组合变形;以及 拉（压），扭转 与 弯曲的组合变形,弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为,对于圆形截面杆有,2,式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩和扭矩.以上两式只适用于 弯，扭 组合变形下的圆截面杆。,弯拉扭组合,危险截面截面A,危 险 点 a,应力状态单向纯剪切,强度条件（塑性材料）,3,例题7 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图。AB杆的外径 D=140mm，内、外径之比=d/D=0.8，材料的许用应力=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度,A,B,C,D,1.4m,0.6m,15kN,
15、10kN,0.8m,解：(1)外力分析 将力向AB杆的B截面形心简化得,AB杆为扭转和平面弯曲的组合变形,+,15kNm,(2)内力分析-画扭矩图和弯矩图,固定端截面为危险截面,20kNm,例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩 m=1kNm，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用应力=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径,解：将力向轴的形心简化,轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲,中间截面为危险截面,1kNm,例题9 图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅垂切向力 5 kN，径向力 1.82 kN
16、；齿轮 D上作用有水平切向力10 kN，径向力 3.64 kN。齿轮 C 的节圆直径 d1=400 mm,齿轮 D 的节圆直径 d2=200 mm。设许用应力=100 MPa,试按第四强度理论求轴的直径。,解：(1)外力的简化,将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化,B,A,C,D,y,z,5kN,10kN,300mm,300mm,100mm,x,1.82kN,3.64kN,1 kNm 使轴产生扭转,5kN，3.64kN 使轴在 xz 纵对称面内产生弯曲,1.82kN，10kN 使轴在 xy 纵对称面内产生弯曲,(2)轴的变形分析,T=1kNm,圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形,由于通过圆轴
17、轴线的任一平面都是纵向对称平面，故轴在 xz 和 xy 两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲，从而可用总弯矩来计算该截面正应力,1,C,T 图,-,Mz图,0.227,1,C,B,(3)绘制轴的内力图,B 截面是危险截面,(4)危险截面上的内力计算,B、C 截面的总弯矩为,(5)由强度条件求轴的直径,轴需要的直径为,例题10 F1=0.5kN，F2=1kN，=160MPa。,（1）用第三强度理论计算 AB 的直径,（2）若AB杆的直径 d=40mm，并在 B 端加一水平力 F3=20kN，校核AB杆的强度。,F1,A,B,C,400,400,解:将 F2 向AB杆的轴线简化得,AB 为弯、扭组合变形,固定端截面是危险截面,AB 为弯，扭与拉伸组合变形,固定端截面是危险截面,(2)在 B 端加拉力 F3,F1,A,B,C,400,400,固定端截面最大的正应力为,最大切应力为,F1,A,B,C,400,400,由第三强度理论,小结,1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法,2、掌握拉（压）弯组合变形杆件的应力和强度计算,3、了解偏心压缩和截面核心,4、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度条件和强度计算,
