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1、单元测试选修21第三章31空间向量及其运算选修2-1第三章3.1空间向量及其运算 A1一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把2a-23b+12c B-23a+12b+12c 正确答案的代号填在题后的括号内 1在平行六面体ABCDAC1112211B1C1D1中，M为AC与2a+2b-2cD3a+3b-2c BD的交点，若A 1B=a，A1D1=b，A1A=c.则下列向量中与B7设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满ABAC=0，ACAD=0，ABAD=0，1M相等的向量是 则DBCD是 A-1 A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D2a+12b+c B11
2、不确定 2a+2b+c 8空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，则cosOA，BC= C12a-12b+c D-12a-12b+c 图 1212在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 2 B2 C-2 D0 AOM=2OA-OB-OC BOM=1119 已知 A、B、C，则DABC的面积为 5OA+3OB+2OC CMA+MB+MC=0 DOM+OA+OB+OC=0 A3 B23 C6 D62 3已知平行六面体ABCD-ABC中D，AB=4，AD=3，AA=5，10 已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则|a-b|的最小值为 BAD=900，BAA=DA
3、A=600，则AC等于 A85 B85 C52 D50 A 5B555 C35D115 5 4与向量ra=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是 二、填空题：请把答案填在题中横线上 A B 为 C D OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，现用基组OA,OB,OC表5已知A，BO为坐标原点，则向量uuuOAr,与uuuOBr示向量OG，有的夹角是 OG=xOA+yOB+zOC，则x、y、zz A0 Bp2 Cp D3p2 的值分别为 DCON13已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，AB6已知空间四边形ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且-1
4、，4)，则DABC的形状MOM=2MA，N为BC中点，则MN= D14已知向量a=(2,-3,0)，b=(k,0,3)，CyA - 1 - Bx ） 若a,b成1200的角，则k= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分) 15如图，已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a，M为BD的中点，点N在AC上，且|AN|=3|NC|，试求MN的长 16如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐18四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB =2，1，4，AD=4，2，0，AP=1，2，1. 求证：PA底面ABCD； 求四棱锥PABCD的体积； 对于向
5、量a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2，c=x3，y3，z3，定义一种运算：c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算想向量这一运算AP的绝对值的几何意义. 19如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. 求BN的长； 求cos的值； 求证：A1BC1M. 31，点D在平面yOz上，且BDC=90，DCB=30. ,，0）22求向量OD的坐标； 设向量AD和BC的夹角为，求cos的值 标是若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直 - 2 -
6、20如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形且C1CB=C1CD=BCD=60. 证明：C1CBD； 假定CD=2，CC1=2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1与DF1所成角的余弦值是 AA1B1，则BE143，记面C1BD为，面CBD为，求二面角BD2的平面角的余弦值； 当CD的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明. CC115 17B1 2图 C8 17D3 23如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是 A30 1030 15B
7、1 2图 选修2-1第三章3.2空间向量在立体几何中的应用 CD15 104正四棱锥S-ABCD的高SO=2，底边长AB=2，则异面直线BD和SC之间的距离 5已知ABC-A1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点点C1到平面AB1D的距离 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内 1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB A15 5B5 5C 25 5D5 10B1 C1 D A1 2BB1，则AB1与C1B所成的角的大
8、C105 D75 - 3 - 小为 A60 B90 A B 图C 2Aa 4C2Ba 8D Ap 3Bp5p C 66D2p 332a 42a 210正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，EFBD=G则三棱锥B1-EFD1的体积V 6在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则平面AB1C与平面A1C1D间的距离 3A 63B 323C 33D 2 A6 6B16163 C 33D16 二、填空题：请把答案填在题中横线上 11在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离 12 在棱长
9、为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，求点B到截面AEC1F的距离 13已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 14已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小 - 4 - 7在三棱锥PABC中，ABBC，ABBC1PA，点O、D分别是AC、PC2的中点，OP底面ABC
10、，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值 A21 6B83 3C210 60D210 30o8在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是DABD的重心G则A1B与平面ABD所成角的余弦值 A2 3B7 3C3 2D3 79正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=33，D是CB延长2线上一点，且BD=BC，则二面角B1-AD-B的大小 16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC 17在四棱锥
11、PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角 若AEPD，E为垂足，求证：BEPD； 求异面直线AE与CD所成角的余弦值 18已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点 求证：E、F、D、B共面； 求点A1到平面的BDEF的距离； 求直线A1D与平面BDEF所成的角 - 5 - 19已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求： D1E与平面BC1D所成角的大小； 二面角DBC1C的大小； 异面直线B1D1与BC1之间的距离 20如图5：正方体ABCD-A1B1C1
12、D1，过线段BD1上一点P作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G (1)求证：平面EFG平面A CB1，并判断三角形类型； (2)若正方体棱长为a，求EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离 A1ED1zFO1PB1GDHC1yCxA图5B - 6 - 参考答案 一、1A；解析：B1M11=B1B+BM=A1A+(BA+BC)=c+221165；解析：cos=结果 12 235=-，得sin=，可得77|a|b|ab11=a+b+c评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空22间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力. 2A；解析
13、：空间的四点P、A、B、C共面只需满足OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1既可只有选项A 3B；解析：只需将AC=AB+AD+AA，运用向量的内即运算即可，2111OA+OB+OC； 633解析： |AC|=AC 4C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式即b0,a/ba=lb 5C；解析：cosq=1212OA+MN=OA+(ON-OM)23231211 =OA+(OB+OC)-OA2322111=OA+OB+OC63313直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：|AB|2=|BC|2+|AC|2 OG=OM+MG=14-39；解析：cos=ab|a
14、|b|ab|a|b|，计算结果为1 =2k139+k2=-1，得2126B；解析：显然MN=ON-OM=(OB+OC)-OA 237B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形 8D；解析：建立一组基向量OA,OB,OC，再来处理OABC的值 9D；解析：应用向量的运算，显 ABACcos=sin，从而得然k=39 三、 15解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系因为正方体棱长为a，所以B，A，C，D 由于M为BD的中点，取AC中点O，所以M，O因为|AB|AC|的四等分，从而N为OC的中点，故N 441S=|AB|AC|sin 210C； 二、 aaa3aa6|
15、MN|=(-)2+(-)2+(-a)2=a 24242416解：过D作DEBC，垂足为E，在RtBDC中,由BDC=90,DCB=30，- 7 - BC=2，得BD=1，CD=3，DE=CDsin30=11=. 223. 2r1即SABC 同理可证SBAC，SCAB 18 证明：APAB=22+4=0，APAB. 又APAD=4+4+0=0，APAD. AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD. 解：设AB与AD的夹角为，则 cos=OE=OBBE=OBBDcos60=1D点坐标为，即向量ODTX的坐标为0，,. ,222231依题意：OA=,0,OB=0,-1,0,OC=0
16、,1,0， 2233所以AD=OD-OA=-,-1,BC=OC-OB=0,2,0. 22设向量AD和BC的夹角为，则 cosABAD8-23= 4+1+1616+4105|AB|AD|V=129|AB|AD|sin|AP|=1051-1+4+1=16 33105330+(-1)2+0ADBC122=-10=5|AD|BC|32322222(-)+(-1)+0+2+022-. 17 证：如图设SA=r1,SB=r2,SC=r3，则SE,SF,SG,SH,SM,SN分别为解：|AP|=|43248|=48它是四棱锥PABCD体积的3倍. 猜测：|AP|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面
17、体的体积. 评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力. 19如图，建立空间直角坐标系Oxyz. 依题意得B、N 1111r1，(r2+r3)，(r1+r2)，r3，222211(r1+r3)，r2，由条件EH=GH=MN得： 22BN 222|=(1-0)+(0-1)+(1-0)=3. |依题意得A1、B、C、B1 图 r+r-rr+r-rr+r-r(231)2=(123)2=(132)2 222展开得r1r2=r2r3=r1
18、r3 r1(r3-r2)=0，r10，r3-r20， - 8 - BA1=1，1，2，CB1=0，1，2，BA1CB1=3，|BA1|=|CB1|=6，5 BA1CB11=30. cos=|BA1|CB1|1011证明：依题意，得C1、M，A1B=1，1，2，221111C1M=,，0.A1BC1M=+0=0，A1BC1M，A1B2222C1M. 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件. 20证明：设CB=a，CD=b，CC1=c，则|a |=|b|，解：设2CD=x，CD=2， 则CC1=. xCC1BD平面AA1C1C，BDA1C 只须求满足：A1C
19、C1D=0即可. 设A1A=a，AD=b，DC=c， A1C=a+b+c，C1D=ac， A1CC1D=a2+abbcc2=令642+6， 2xxBD=CD-CB=ba， BDCC1=c=bcac=|b|c|cos60|a|c|cos60=0， C1CBD. 解：连AC、BD，设ACBD=O，连OC1，则C1OC为二面角BD的平面角. 242-2=0，得x=1或x=. xx3评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题. 参考答案 一、1B；2A；3A；4C； 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 22,-,0)， 2222 B(,0)，
20、 2222C(-,0)， 22A 22D(-,-,0)，S(0,0,2) 22uuuruuur22DB=(2,2,0)，CS=(,-,2) 22A(z111=(BC+CD)=，C1O=CO-CC1=c 22211COC1O=c 22111=acbc 224133311=2cos602cos60=. 224222COC1O33则|CO|=3，|C1O|=，cosC1OC= =2|CO|C1O|3CO- 9 - S D xO 图 B C yruuurruuurruuurrnDB=0令向量n=(x,y,1)，且nDB,nCS，则ruuu， rnCS=0(x,y,1)(2,2,0)=0x+y=0， 2
21、2x-y+22=0(x,y,1)(,-,2)=022(1,0,1)=(x,y,1)(0,1,1)=(x,y,1)0x=-1， 0y=-1A1BC与平面A1C1Drn=(-1,-1,1)，平面间的距离rx=-2，n=(-2,2,1) y=2异面直线BD和SC之间的距离为： 22uuurr(-,0)(-2,2,1)OCn22d= =rn(-2,2,1)uuurrADn(_1,0,0)(-1,-1,1)3d=. r2223n(-1)+(-1)+17D； Q OP平面ABC，OA=OC，AB=BC， OAOB，OAOP，OBOP.以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz(如图)，2
22、22设AB=a，则Aa,0,0,B0,a,0,C-a,0,0222.设OP=h，则P(0,0,h).=1+1+0(-2)2+(2)2+12=25 55A；分析： A1B面AB1D，QABB1A1为正方形，A1BAB1，又平面AB1D平面ABB1A1，()Q D为PC的中点，uuuruuur221 OD=-4a,0,2h, 又PA=2a,0,-h，uuurruuuruuur1uuu OD=-PA. ODPA. OD平面PAB.2uuurA1B是平面AB1D的一个法向量，设点C到平面AB1D的距离为d，则 uuuruuuruuuruuuruuurACA1BAC(A1A+AB)d= uuur=2aA
23、1B=uuuruuuruuuruuurACA1A+ACAB)2a=0+aacos6002a=2a 46B；分析：建立如图所示的直角坐标系， ruuuurrnDA1=0设平面A1C1D的一个法向量n=(x,y,1)，则ruuuu，即rnDC=01z D B C y A D1 x A1 E 图 B1 - 10 - C1 ()Q PA=2a,7 h=a,2uuur214 OD=-a,0,a4,4r1可求得平面PBC的法向量n=-1,1,7 uuurruuurrODn210 cosOD,n=uuurr=.30ODn设OD与平面PBC所成的角为q，uuurr210则 sinq=cosOD,n=,3021
24、0 OD与平面PBC所成的角为arcsin.308B；解 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立直角坐标系， 设CA=CB=a， zP GE=， BA， 1= GE平面ABD， GE为平面ABD的一个法向量 D112333xAOBC由 cos=GEBA1|GE|BA1|=436233=2 3y A1B与平面ABD所成的角的余弦值为7 3评析 因规定直线与平面所成角q0，两向量所成角a0，p，所以p2用此法向量求出的线面角应满足q=|p2-a| zC1A1EGBDCB19A；取BC的中点O，连AO由题意 平面ABC平面BCC1B1，）则 A，B，A，D
25、， G， 22333aa2GE=A，BD=， x663 点E在平面ABD上的射影是DABD的重心G， GE平面ABD， GEBD=0，解得 a=2 339333），B，D，B， 122222y 93AD=，22B1D=， 2- 11 - 3BB1=， 2为平面ABD的法向量 2角为120，但依题意只为60因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角” 10C；解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系， 则 B1(22,22,4)， D1(0,0,4)， oozD1A1DGFB1C1设 平面AB1D的
26、法向量为 n2=(x,y,z)， E(22,2,0)，F(2,22,0)， 39x-3z=02n2ADn2AD=02则 ， ， ， 3n2B1Dn2B1D=03x-3y=0233y33x=即 不妨设 n=(,1,)， 2222z=3xD1E=(22,2,-4)，D1F=(2,22,-4)， CyD1B1=(22,22,0)图10 cos=EA， BxD1ED1F|D1E|D1F|5， 13由 cos=BB1n2|BB1|n2|=3322332=242626=1， 2o12， 13 sin=所 得=60 故所求二面角B1-AD-B的大小为60 评析：用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面
27、角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神 此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取n2=(-o以 SDD1EF=115|DE|DF|sin=2626=5， 2213设 平面D1EF的方程为：x+By+Cz+D=0，将点D1,E,F代入得 133,-1,-)时，会算得cos=-，从而所求二面222- 12 - B=14C+D=0322+2B+D=0C=2， ， 42+22B+D=0D=-3232z-32=0，其法向量
28、为 平面D1EF的方程为：x+y+4|DBn|163=， n=(1,1,2)， 点B1到平面D1EF的距离d=1154|n| VB1-EFD1=11则A(1,0,0),F(0,0),E(1,1) 22uuuruuur11AE=(0,1)，AF=(-1,0)； 22r设面AEC1F的法向量为n=(1,l,m)， ruuurruuur则有：nAE=0,nAF=0， zD1 A1 D A E B1 F C1 111616SDEFD1d=5= 即为所求 3353评析 在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2 计算得到 法向量在距离方面
29、除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等 二、 1126分析：设正方体棱长为2，以D1为原点，建立如图所示的空间直角31l+m=0l=22， 1m=-1-1+l=02ruuur又AB=(，所以点B到n=(1,2,-1)，01,0)uuurr26ABn=截面AEC1F的距离为uuu rr=316ABnC yx图 B 131；解：如图建立空间直角坐标系， uuuuruuuur坐标系，则D1E=(2,1,0)，C1B=(2,0,2)，设D1E和BC1公垂线段上的向量为ruuuurrrnDE=02+l=0l=-21，即，n=(1,-2,-1
30、)，又n=(1,l,m)，则ruuuur2+2m=0m=-1nC1B=0uuuuurrD1C1nuuuuur426=，所以异面直线D1E和BC1间的距离为D1C1=(0,2,0)，r36n26 3z F D1 设平面DBEF的法向量为n，A1 B1 则有： 1， DADB ，DF12C1 E nDB=0 即 xy0 D 1nDF=0 yz0 2令x1, y=1, z=- 13 - C B y A x 126分析：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 311, 取n，则A1到平面DBEF的距离22h=nDA1n=1 n1A1C1=0 易知n2， 所以，cosn1,n2=z D1 A1 E B
31、1 C1 1410解：如图建立空间直角坐标系，5n1n2n1n2D1 A1 F z E B1 M D x A B C y C1 ，AD1，AB1AE 2设平面ABC1D1的法向量为n, 由 nAB=0 可解得n 3 3所以平面A1BC1与平面ABCD所成的DA B C y 二面角大小为arccos3或 p3x arccos3 3nAD1=0 设直线AE与平面ABC1D1所成的角为，则sinq= 三、 15 解：如图建立空间直角坐标系，A1C1，A1B 设n1、n2分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量， 由 n1A1B=0 可解得n1 AEnAEn=10， 5注：用法向量的夹角求二面角时应
32、注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求 出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小 16证明：如图建立空间直角坐标系， 则A1C1，B1C A1D， B1A 设A1E=lA1C1，A1F=mA1D，B1M=nB1A C y 设n1、n2分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 由 n1A1E=0 可得 n1lA1C1=0 即 于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=a313，EF=a，E 2222n1A1C1=0 n1A1F=0n1A1D=0 解得：n1 由 n2B1M=
33、0 可得 n2nB1A=0 即 于是，AEn1mA1D=0 13=0,a,a,CD=a，a，0 22设AE与CD的夹角为，则由 cos=AECD|AE|CD|130(-a)+aa+a0222= 4123222220+(a)+(a)(-a)+a+022n2B1A=0 n2B1C=0 n2B1C=0 AE与CD所成角的余弦值为n2B1C=0 2 4 解得n2，所以n1n2， n1n2， 所以平面A1EF平面B1MC 注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用n1评述：第小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段 18解
34、：略 如图，建立空间直角坐标系Dxyz, 则知B，E(,1,1),F(0,121,1). 2n2n1n2=0来证明 17证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD 解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为， PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA=30 设n=(x,y,z)是平面BDEF的法向量. 1由nDB,nDF,DB=(1,1,0),DF=(0,1) 2nDB=x+y=0x=-y得则 11z=-y.nDF=y+z=022- 15 - 令y=1,得n=(-1,1,
35、-) 设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段 13QA1D=(-1,0,-1),ADn=(-1)(-1)+01+(-1)(-)=. 2213又Q|A1D|=(-1)2+O2+(-1)2=2,|n|=(-1)2+12+(-)2=,22 3A1Dn2cos=2=.32|A1D|n|222|A1H|=|A1D|cos=2=1.212uuuuruuuuruuuuruuuurA1CgD1E3 cosA1C,D1E=uuuu ruuuur=9A1CD1E D1E与平面BC1D所成的角的大小为 p-arcco3 s299ruuuuruuuAC1、AB分别为平面BC1D
36、、BC1C的法向量， uuuuruuuruuuuruuurA1CgAB3 cosA1C,AB=uuu， 二面角DBC1C的大小为uruuur=3A1CAB即点A1到平面BDFE的距离为1 由知，A1H=1，又A1D=2，则A1HD为等腰直角三角形， z DoA1DH=DA1H=45 QA1H平面BDFE,HD是A1D在平面BDFE上的射影,A1DH就是直线A1D与平面BDFE所成的角,A1DH=45o.uuuuruuuurA1CgBB123 B1D1平面BC1D， B1D1与BC1之间的距离为d=uuuu r=3A1CC20(证明用纯粹的几何方法要辗转证明EFAC，EGB1C，FGAB1来证明
37、，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了) (1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可 证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为D A E B C y a，则A，B，C，D1，B1，E，F，G BD1=，AB1=，EF，AC=，B1C=， BD1AB1=(a，a，a)(0，a，a)=0， arccos3 3A B19解：建立坐标系如图，则A(2,0,0)、 x B(2,2,0)，C(0,2,0)， uuuurA1(2,0,2)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，E(2,1,0)，AC=(-2,2,-2)， 1
38、uuuuruuuruuuurD1E=(2,1,-2)，AB=(0,2,0)，BB1=(0,0,2) uuuur不难证明AC1为平面BC1D的法向量， EA1D1PGDxAzFO1B1JC1K- 16 - yCBO图5*BD1AB1 ， 同理 BD1AC， 而AB1与 =3a2 2此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面 A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1HD1B并交BB1于点H，则O1H平面A1C1D，垂足为O1，则O1(而O1H作为平面A1C1D的法向量， AC不共线且相交于点A， BD1平面ACB1，又已知BD1平面EF
