图形的分割与组合.docx

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1、图形的分割与组合图形的分割与组合 图形的分割与组合是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割与组合问题不仅可以增强几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，提高数学的思维能力，而且还有一定的实用价值，对工厂里的下料、工艺美术的图案设计都有一定的用处 例1 将图121所示的图形分成两块，然后拼成一个正方形 图121 分析：如果我们假设每个小正方形的边长是1个单位，要拼成的正方形的面积为16，所以边长为4而这个缺角的长方形的长为6，宽为3，切分后将右边向左平移2个单位，再向上平移1个单位，作切分时应注意到缺角的特点 解：沿图122中的粗线将原图分割开，把右块推至左块之上，拼成一个边长为

2、4的正方形，如图123 例2 将图124中的图形分成四个形状相同，大小相等的四个部分，然后拼成一个正方形 分析：先考虑面积，因为s型图案由16个大小一样的小正方形组成，所以拼成的正方形每边正好是4个小正方形把图124分成大小相等的四个部分，每部分的面积都是4个小正方形 再考虑形状如果能将图124先分成两个面积相等、形状相同的图形，然后再将其中的一个再分成两个面积相等、形状相同的图形,那么达到目的了 将图124先分成两个面积相等、形状相同的图形比较容易只要沿图124中间的那条横线的中间剪开即可，见图125现在再将图125分成两个面积相等、形状相同的图形，按图125粗线剪开即可 解：按图126将它

3、分成形状和面积都相同的四个部分，再按图127拼成一个正方形 例3 有一块长6米、宽3米的长方形地毯，现要把它放到长4.5米、宽4米的房间中，能否将它剪成形状相同，大小相等的两块，使其正好铺满房间 分析：因为原地毯的长比要拼成的长方形的长多1.5米，宽少1米，所以我们将原地毯分成长1.5米、宽1米的小长方形，如图128这样分成12个小长方形因为新的长方形的长为4.5米、宽4米，长应减少一个小长方形，宽应增 加一个小长方形可以沿对角线的方向把它剪成呈阶梯状的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如图129，然后把它们错位对齐，这样拼成了一个新的长方形，如图1210 解：按图129中的粗线将长方形分成

4、两块，然后错位对齐，即可拼成新的长方形，见图1210 例4 图1211是一块正中间开有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的桌面，如何切分 分析：切分前木板面积为12090-8010=10000，与拼成后的正方形面积相等拼成的正方形的边长为100厘米由于大长方形的长比正中间的长方形的长的左右分别长20厘米，正中间的长方形的宽为10厘米，因此先将图1211分成2010的小长方形，如图1212因为拼成的正方形的边长为100厘米，将原大长方形的长去掉一个 小长方形的长，宽增加一个小长方形的宽，采用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，如图

5、1212中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图1213 解：按图1212中的粗线分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的正方形，如图1213 分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。 我们先来看一个简单的分割图形的题目分割正方形。在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。 用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画，手和脑同时参与活动，才能互相弥补不足，更快地寻找出答案。 其实，正方形是不难分割

6、成10块的，下面就是其中两种分割方法。 想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分？请你画一画。 1将图1218分成两块拼成一个正方形 2将图形1219分成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形 3将一块长6米、宽3.5米的长方形剪成形状相同、面积相等的两块，拼成一个长为5米、宽为4.2米的新的长方形 4有一个长100厘米、宽70厘米的长方形桌面，中间损坏了一块现在想在中间挖去一个长60厘米，宽10厘米的小长方形，如图1220，然后把它分成两块，拼成一个正方形桌子，应怎么切拼？ 5将图1221所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同，并且每一块中只含有a、b、c、d、

7、e五个字母 6如图1222，有两个正方形请把每一个正方形分成两块，两个正方形共分成四块，使这四块的形状和大小都相同，并且每一块中都有1、2、3、4四个数字 答案仅供参考： 1切拼方法如图121 2因为小方格的个数是36个，所以拼成的一个正方形的边长为6个小方格，将图12-19分成四个形状、大小相同的图形，只需将图12-19从图的对称中心切开即可，如图12-2，然后按照图12-3拼成一个正方形 3因为新长方形的长比原长方形的长少1米，宽多0.7米，因此将原长方形分成长为1米，宽为0.7米的小长方形，如图12-4，按阶梯形分法分成相同的两块，然后错位对齐，即可拼成一个新的长方形，如图12-5 4因

8、为拼成的正方形的桌面的面积为： 10070-6010=6400 所以正方形的桌子的边长为80厘米 原长方形的长减少20厘米，宽增加10厘米将原长方形分成长为20厘米，宽为10厘米的小长方形，利用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，按如图12-6中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图12-7 5图中有相同的字母挨在一起时，要从它们之间切开，因此先在它们之间画上切分线，然后将这些切分线绕中心点旋转180，得到一些切分线，根据切分线进行切分，分成形状、大小相同的两块，每块有18个小方格本题有两种切法，如图12-8、 6把两个正方形叠在一起考虑为了便于区别，将其中一组数字1、2

9、、3、4改写为a、b、c、d，如图12-9，为 了使相同的数字不在同一块，可以先在它们之间画切分线，然后绕中心180又可以找到一些切分线，根据这些切线将它分割成大 第十讲 动手剪拼图形 一、剪剪拼拼 图形的分割与剪拼都需要一定的技巧，下面举例说明某些常用技巧的来路及依据。 例1 你能想出几种方法，将任意一个三角形分成面积相等的六个三角形？ 分析：把一个三角形分成面积相等的六个三角形，根据等底等高的三角形面积相等这一结论。只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形即可。为此，只要把三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，问题就解决了。 另外，6=16=32=23。如果我们把分

10、得的每一个小三角形的面积看成“1”，那么16就可看成把原三角形的面积直接六等分，而32可看成先把原三角形的面积二等分，再把其中的每一份分成面积相等的三个小三角形。同理，23可看成先把原三角形分成三个面积相等的三角形，再把其中的每一个三角形又分成两个面积相等的小三角形。 除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。所以对余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。对6=2+4而言，可先从原三角形分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。 解法1 将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见

11、图10-1。 解法2 以面积而言，先将原三角形二等分再三等分，或先将原三角形三等分再二等分。分法见图10-2。 解法3 先将原三角形分成两个三角形，使它们面积比为15或24或33。再将面积为“5”、“2”、“4”、“3”的那个三角形分成5个或2个或4个或3个面积相等的小三角形，分法见图10-3。 图10-1至图10-3中，在同一三角形中，标有相同符号的线段彼此相等。还有别的分法，请读者自己给出。 例2把图10-4两个图形中的某一个，分成三块，最后都拼在一起，正好拼成一个正方形，应怎么分与拼？ 分析与解：不管将图10-4中的哪一个图形如何分成三块，最后拼得的正方形面积总等于图10-4中两个图形面

12、积之和。 图10-4中长方形的面积为：10050=5000。另一个图形的面积为：10070-40=5000。这两个图形的面积和为10000。因此，拼得的正方形的面积也是10000平方厘米，其边长为100厘米。而图10-4中的两个图形，都正好有一边长100厘米。为了方便，可以用它们做正方形的一条边，这样就有了下面的一些剪法。 第一种，将图10-4中不规则的那块图形，按图10-5中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-6。 第二种，将图10-4中的长方形图形，按图10-7中虚线所示分成三块，拼得的正方形见图10-8。 例3 有一块长24米、宽15米的长方形地毯，现在要把它移到长20米、宽18米的

13、新房间里去。问是否可以找到一种剪裁法，把长方形地毯分成形状与面积都一样的两块，拼合后正好能铺满新房间的地面？ 分析与解：地毯的面积为2415=360，新房间地面面积为1820=360，两者面积相等，但长、宽不等。因为24比20多4，18比15多3。所以可先把地毯分成30个43的长方形，具体分法见图10-9。把图10-9中最右边一列的五个小长方形，移到下边去，补成图10-10所示的形状，图10-10所示的地毯正好能铺满新房间的地面。 现在讨论如何将图109所示图形，分成面积和形状都相同的两块，然后拼成图1010所示的长方形。 先考虑面积。将图109分成面积相等的两块，每块的面积为180平方米，也

14、就是15个43的小长方形。再考虑形状。将15个大小一样的长方形，象砌墙似的就可摆成图1011所示的形状，然后适当移动上面四层小长方形的位置，便可得图1012所示的阶梯状图形，两个图1042那样的阶梯状图形，上下“咬”在一起，就能拼成图1010所示的长方形。这就启发我们得到下面的剪拼方法。 按图1013中粗实线，把地毯分成形状与面积都一样的两块，然后上下一移、左右一错便能拼成图1014中所示的长方形，它正好能铺满新房间的地面。 例4 图1015中有两个大小一样的正方形，现在要把每一个正方形都分成两块，并要求被分得的四块的形状和大小都相同，且每一块中都有A、B、C、D四个字母，问应怎么分？ 分析与

15、解：先将图1015中、两个图形叠合在一起，为了便于区别，将图中的字母A、B、C、D改写为a、b、C、d，图中的字母不变，得图1016。因为要求分成四块后，每块中只能有A、B、C、D四个字母，所以相同字母必须分开。因此，可在两个A、B、C、a、b、c之间画上粗实线，表示把它俩分开，见图1016。如果把一个正方形分成了符合要求的两个图形，把这个图形绕正方形的中心旋转90、180后所得出的图形仍符合要求，现将图1016绕正方形中心按逆时针方向旋转180，得图1017。原在图1016的粗实线在图1017中的位置用虚线表示。 图1015中每个正方形都有36个小方格，其一半应是18个小方格。现在把图101

16、6中的粗实线与图1017中的虚线都在图1015中用粗实线标出，得图1018。在图1018中，再将图1015中的字母A、B、C、D在相应位置标出，得图1019。在图1019中，同时考虑A、B、C、D和a、b、c、d，又可在图1019的某些字母之间添粗实线。从图1019中去掉a、b、c、d，得图1020。考虑所分得图形的连通性和A、B、C、D四个字母必同在一块内，又可以在图1020上添上一些粗实线。这时每一块中都各有四个不同的字母A、B、C、D，但是一个图形中只有17个小方格，另一个图形却有19个小方格，这不符合要求。为此将图1020左起第一行中从上到下的第二个B旁边的粗实线略加改变，得图1021

17、。图1021中的粗实线正好将正方形分成了符合题目要求的两块。 按图1021和图1022中的粗实线，正好将图1015、中的两个正方形，分成了形状和大小都相同，且每块都有A、B、C、D四个字母的四小块。 例5 图1023是边长分别为1、4、8个长度单位的三个正方形叠在一起组成的一个不规则图形，问最少分成几块后拼在一起，正好是一个正方形？ 分析与解：因为1+4+8=81=9，所以不论分成几块，拼成的正方形的边长是9个长2222度单位。 先不考虑最少分成几块，只考虑怎么分后能拼成一个正方形。很容易看出。将图1023按图中粗实线分成五块，便能拼成图1024中边长为9的正方形。现在问题是。块数能否比5少。

18、 从图1024可以看出，边长为9个长度单位的正方形，可在边长为8个长度单位的两边镶条边得到。图1024下边那一条如果由两块变成一块，总块数便能减少一块。为此可先从图1025的最右边按粗实线所示那样剪下一条，拼成图1026的形状。图1026的左、下两边长度都是9个长度单位，但上、右两边不符合要求。可将图1026右上角那一部分，接图1026中的粗实线分开，然后错开往下对在剩下大块的右边，便可拼成边长为9个长度单位的正方形。块数减少为3块。这样，按图1027中的粗实线将图1023分成3块，便能拼成图1028那样一个边长为9个长度单位的正方形。经试验，三块是最少的块数。 二、动手试一试 有些几何问题，

19、只要亲自动手画画图，从图中便能看出所需结果。现举几例加以说明。 例6 有A、B、C、D、E五个点，排在一条直线上。已知D点在A点右边5厘米的地方，C点在E点右边6厘米的地方，B点在E点左边6厘米的地方，B点在A点左边5厘米的地方，求线段BD与线段AE、DC和的差是几厘米？ 分析与解：按题目中的已知条件，将A、B、C.D、E五个点在直线上标出，具体标法见图1029。 从图1029中可以看出： 线段BD的长度为：5+5=10， 线段AE的长度为：6-5=1， 线段CD的长度为：6+6-5-5=2， 所求之差为：10-=7。 例7 小京开始站在旗杆正东方10米远的地方，然后他面向正北方向前进12米后

20、，左转弯90向正西方向前进15米，再左转弯90向正南方向前进15米，再左转弯90向正东方向前进9米，问此时小京离旗杆多少米？ 分析与解：按画地图的方法，先确定方位，上北下南，左西右东。先随便点一点O表示旗杆的位置，根据题意画得图1030，只要能求出线段OE的长度，就能知道小京最后离旗杆多少米。 在图1030，过E点作OA的垂线，交OA于F点，下面求EF、OF的长度。 EF的长度为：1512=3， OF的长度为：9+10-15=4。 因为EF垂直于OF，所以三角形OEF为直角三角形，在这个直角三角形中，一条直角边长3米，另一条直角边长4米，根据勾三股四弦五这一结论，便可知道斜边OE为5米，这样便

21、知小京最后离旗杆的距离是5米。 习题十 1.把下图分成8个形状相同、面积相等的图形，应怎么分？ 2.把右上图分成形状相同、面积相等的四份，应怎么分？ 3.如下图的一块长方形地毯，中间小矩形部分已经损坏，现把损坏部分裁去后，将剩下部分分成形状和面积都一样的两块，且这两块放在一起正好可以折成一个正方米，请问应怎么剪裁和拼合？ 4.将图中的正方形分成形状和大小都一样的四块，并且每一块恰好都有1、2、3、4四个数字，应怎么分？ 5.将图形分成形状相同、面积相等的两块，应怎么分？ 6.如图，是一个直角梯形，请在它内部画一条直线段，把梯形分成形状相同、面积相等的两部分。 7.有边长为2厘米的正方形两个，边

22、长为1厘米的正方形4个，现将它们适当摆放，使摆放后所得图形的周长分别为14厘米、16厘米、18厘米、20厘米、22厘米，各应怎么摆放？ 8.小阿毛一开始站在操场的正中间，然后他向正北方向前进5米，接着左转弯90向正西方向前进8米，再左转弯90向正南方向前进10米，再左转弯90向正东方向前进12米，再右转弯90又向正南方向前进4米，再左转弯90向正东方向前进5米，再左转弯90向正北方向前进9米，问这时小阿毛离操场正中间多少米？ 9.用四块同样大小的等腰直角三角板，你能分别拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一个平行四边形五种不同的图形吗？能的话，请画出示意图来。 10.十盒花如何摆

23、放，才能保证十条线段中的每一条线段上都正好有三盒花？ 奥赛天天练第32讲剪剪拼拼，学习平面图形的分割和拼组。 二年级奥数课堂学过剪一剪，拼一拼： user3/4092/archives/2007/38844.shtml 三年级奥数课堂学过分割图形： user3/4092/archives/2009/65604.shtml 本讲在前两讲的基础上，进一步学习平面图形的分割和拼组，要求把一个图形按条件分割成几块，再拼成另一个图形。在剪拼的过程中，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个隐性条件，同时要根据图形的特点，分析已知条件，通过合理的推理和必要的计算，设计好剪拼的初步方案，再通过充分的想象和实践

24、操作完成剪拼过程。锻炼孩子的观察能力、思维能力和空间想象力，发展孩子的空间观念。 奥赛天天练第32讲，模仿训练，练习1 ： 把一块长是16分米，宽是9分米的长方形铁皮剪成形状、大小都相同的两块，然后拼成一个正方形，拼成的正方形的边长应该是多少？请画出剪拼的方法。 ： 长方形的面积为：169=144。 因为：144=1212，所以拼成的正方形的边长应该是12分米。 这时要考虑，拼成正方形后，将原长方形的长减少4分米，宽增加3分米。所以，如下图，分割图形时，与原长方形的长平行的分割线应按每4分米一份，与宽平行的分割线应按3分米一份，沿分割线剪开。再把剪开的图形错开拼成正方形。 奥赛天天练第32讲，

25、模仿训练，练习2 ： 把一个正方形剪成8块，再把它们拼成一个长方形和一个正方形，并使拼成的长方形和正方形的面积相等，应该怎样剪拼？ ： 这题剪法不唯一，每一种剪法就对应着一种拼法。因为拼成的正方形和长方形的面积相等，即分别等于原正方形面积的一半，可以把原正方形分成面积相等的2份，每份再分成4块，分别拼成正方形和长方形。例如： 还有其它剪拼方法就不一一列举了。 奥赛天天练第32讲，巩固训练，习题2 ： 一块土地有4棵树，要将这块土地分成4块，每块的大小、形状都相同，并且各有一棵树，应怎样划分？ ： 这块地是个不规则图形，可以看作是一个正方形加上角上4个小长方形。因为要分成全等的4块，很显然这每一

26、块里正好分到一个小长方形，再把剩下的正方形按要求均分成4份就可以了。 如下图，先把四个小长方形不看，剩下的就是一个正方形，要均分成大小、形状相同的4块，且每一块里都有一棵树，只能沿正方形的两条对角线分割，正好把原图按要求均分了。 奥赛天天练第32讲，拓展提高，习题1 ： 将下面的图形剪成两块，然后拼成一个正方形： ： 把每一小格看作一个面积单位，这幅图形的面积为：36-2=16，也可以通过数格子数出这幅图形的面积为16。16=44，所以拼成的正方形的边长为4。 因此图形的左上角要补上缺角再加一行，图形的右边要切去多出的两列，根据图形的这些特点，可以通过尝试得出分割、拼组方法如下图： 奥赛天天练

27、第32讲，拓展提高，习题2 ： 有一块长为9分米，宽为6分米的木板，木工师傅锯下了一块边长为3分米的正方形，作了一个方凳面，其余部分又锯了两次，做成了一个方桌面。你知道木工师傅是怎样做的吗？请画出锯开线和拼接示意图。 ： 剩余部分木板的面积为：96-33=45，所以拼成的方桌的边长为3分米。如下图，把木板剩余部分分成5个边长为3分米的小正方形，分米沿着下面左图中两条红两个小正方形组成的长方形的对角线长正好是3色的对角线，把木板锯成成3块，正好可以如下面右图拼成正方形。 这一题的计算涉及到开方运算，孩子肯定不会，只通过观察和尝试剪拼，解题难度较大，可以直接给孩子展示分割、拼组方法，使其领略到图形

28、剪拼的神奇趣味。 一. 教学内容： 图形的组合 同学们，你们好！今天我们一起来研究“图形的组合”。在我们解答的几何问题中，有一些是要将一个图形分割成若干块后，再拼成一个新的图形，仍然需要从计算中得到启发。 阅读思考 例1. 有一个长24厘米，宽15厘米的长方形，请你把它切成两块，拼成一个长20厘米，宽18厘米的新长方形。 分析与解答：我们可以先对比一下原来的长方形和新拼成的长方形的长、宽，可以看出：原来的长比新的长多4厘米，新的宽比原来的宽多3厘米，所以我们可以考虑将原来的长方形分割成一些的小长方形。 因为新长方形的长为20厘米，应减少一个小长方形，而新长方形的宽为18厘米，应增加一个小长方形

29、。 我们可以沿着对角线的方向，把它剪成呈阶梯状的2块，并使它们形状和大小完全一样，再把它们错位互相“咬”在一起，就组成了新的长方形。 例2. 请将下图切成两块，拼成一个的长方形。 分析与解答：我们通过观察图可以看出，这个图中的长边是7个长度单位，短边是3个长度单位。要拼成一个的长方形，可以把它分为上下两部分。 分割后，上边部分向左移动与下边部分“咬合”。 例3. 一个等腰三角形，如下图，它的高是底的2倍，把它剪成三部分，拼成一个正方形。 分析与解答：要把这个三角形拼成一个正方形，肯定要用到它的底，把它的底作为正方形的一条边，因为它的高是底的两倍，所以应从它高的中点处将它分为上下两部分。再将上半

30、部分分为两半，分别放置在下半部分的两侧，就可以组成正方形了。 尝试体验 1. 将下图切分成两块，然后拼成一个正方形。 2. 将长和宽分别为9厘米和16厘米的长方形纸片切分成两块，然后拼成一个正方形。 3. 下图是一块废木板，阴影部分为空缺，尺寸如图所示。把它锯成两块，然后拼成一个正方形。 4. 将下图分成四个形状和大小都相同的图形，然后将分得的图形拼成一个正方形。 以上答案请见名师面授！ 1、如图，将图形分成两块，然后拼成一个正方形。 2、如图，将图形分成四个形状相同，大小相等的四个部分，然后拼成一个正方形。 3、有一块长6米、宽3米的长方形地毯，现要把它放到长4.5米、宽4米的房间中，请将它剪成形状相同，大小相等的两块，使其正好铺满房间。 4、将图分成两块，然后拼成一个正方形。 5、如图，将图形分成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形。 6、如图是一块正中间有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示，把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的正方形。 7、如图，将图形分成形状、大小都相同的四块，且每块中含有一个数字。 8、如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个。