大学物理授课教案 第三章 动量守恒和能量守恒定律.docx

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1、大学物理授课教案 第三章 动量守恒和能量守恒定律第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 第三章 动量守恒和能量守恒定律 1-1质点和质点系的动量定理 一、质点的动量定理 1、动量 质点的质量m与其速度vv的乘积称为质点的动量，记为Pv。 Pv=mvv 说明：Pv是矢量，方向与vv相同 Pv是瞬时量Pv 是相对量 坐标和动量是描述物体状态的参量 2、冲量 牛顿第二定律原始形式 Fv=dvdt(mv) 由此有Fvdt=d(mvv) 积分： t2vvp2vvvtFdt=vdP=p2-p1 1p定义：t2tFvdt称为在tv111-t2时间内力F对质点的冲量。 记为 Iv=t2vtFdt

2、 说明：Iv1Iv是矢量 Iv是过程量 是力对时间的积累效应 Iv的分量式 I=t2xFdtt1xIy=t2tFydt 1It2z=tF1zdt 1 第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 F(t-t)=t2Fdtt1xx21t2 F(t-t)=y21t1Fydt t2Fz(t2-t1)=Fzdtt1Ix=Fx(t2-t1)分量式可写成 Iy=Fy(t2-t1) I=F(t-t)z21zFx 、Fy、Fz是在t1-t2时间内Fx、Fy、Fz平均值。 3、质点的动量定理 vvv由上知 I=p -p21 结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。 vvv说明：I

3、与p2-p1同方向 Ix=p2x-p1x分量式Iy=p2y-p1y I=p-p2z1zz过程量可用状态量表示，使问题得到简化 成立条件：惯性系 动量原理对碰撞问题很有用 二、质点系的动量定理 概念：系统：指一组质点 内力：系统内质点间作用力 外力：系统外物体对系统内质点作用力 v设系统含n个质点，第i个质点的质量和速度分别为mi、vi，对于第i个质点受合内vv力为Fi内，受合外力为Fi外，由牛顿第二定律有 vvvd(mivi)Fi外+Fi内= dt对上式求和，有 vnvnvnd(mivi)dnvF+F=(mvii) i外i内dtdti=1i=1i=1i=1v因为内力是一对一对的作用力与反作用力

4、组成，故F合内力=0， vdv有 F合外力=P dt结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。 式可表示如下 2 第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 vvp2vvvFdt=dP=p-pv21 t1合外力p1vvv即 I合外力冲量=p2-p1 t2结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。 例3-1：质量为m的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间Dt，打击前铁锤速率为v，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？ 解：设竖直向下为正，由动量定理知： FDt=0-mv mvF= Dt强调：动量定理中说的是合外力冲量

5、=动量增量 例3-2：一物体受合力为F=2t，做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？ 解：设物体沿+x方向运动， vv55S 00vv1010S I2=Fdt=2tdt=75N55I2/I1=3 I2=(Dp)2 I=(Dp)11(Dp)2=3 (Dp)1例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为m=0.020kg， 速率v=5m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回 时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法 线夹角都为a=60 ， v求碰撞过程中小球受到的冲量I=? oAu1aaru2arru2-u1Bxrv解：I=? 设碰撞时间为Dt=0.05s，求碰撞过程中

6、 v小球 受到的平均冲力F=? u2yrvvv如图3-1所取坐标，动量定理为I=mv2-mv1 图 3-1方法一用分量方程解 Ix=mv2x-mv1x=mvcosa-(-mvcosa)=2mvcosa I=mv-mv=mvsina-mvsina=0y2y1y 3 第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 vvvvvS I=Ixi=2mvcosai=20.0205cos60oi=0.10iN方法二用矢量图解 vvvvvI=mv2-mv1=m(v2-v1) vv(v2-v1)如上图3-1所示。 OBA=a=60o,A=60o 故OAB为等边三角形。 vvvvvv2-v1=v=5m/s,

7、(v2-v1)沿i方向 vvvI=mv2-v1=0.0205=0.10NS，沿i方向。 vvI=FDt vvvvF=I/Dt=0.10i/0.05=2iN vvvt2vv注意：此题按I=Fdt求I困难时，用公式I=Dp求方便。 t13-2动量守恒定律 由式知，当系统受合外力为零时 vdp=0 (3-11) dt即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。 v说明：动量守恒条件：F合外力=0，惯性系。 动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。 内力能改变系统动能而不能改变系统动量。 vvF合外力0时，若F合外力在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。 vv动量守

8、恒是指p=常矢量，此时要求F合外力0。 动量守恒是自然界的普遍规律之一。 例3-4：如图3-2，质量为m的水银球，竖直地落到 光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份， vv沿桌面运动。其中两等份的速度分别为v1、v2， rmv大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第 33三等份的速度。 解：方法一用分量式法解 研究对象：小球 受力情况：m只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平 方向不受力，故水平方向动量守恒。 4 yrm1v1aoqxrm2v2图 3-2第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 在水平面上如图3-2取坐标，有 x分量：m1v1cosq+m2v2cos

9、(90o-q)-m3v3=0 y分量：m1v1sinq-m2v2sin(90o-q)=0 m1=m2=m3 v=v=0.30m/s21v=2v=20.30=0.42m/s3o vooq=45a=135(即与v1成135）rv1arrrov3=-(v1+v2)方法二用矢量法解 vvv m1v1+m2v2+m3v3=0 及 m1=m2=m3 vvv v1+v2+v3=0 vvv即 v3=-(v1+v2) rr(v1+v2)rv2qq图 3-3即有图3-3。可得 vvv2v3=v3=-(v1+v2)=v12+v2=2v=0.42m/s 得 q=45oa=135o 强调：要理解动量守恒条件 例3-5：

10、如图3-4，在光滑的水平面上，有一质量为M长为l的小车，车上一端有一质量为m的人，起初m 、M均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？ 解：研究对象：m、M为系统 此系统在水平方向受合外力为零， 在此方向动量守恒。 vv方法一 mvm+MvM=0 vvv(vm=vmM+vM) vvvm(vmM+vM)+MvM=0 vv即 mvmM+(m+M)vM=0 如图所取坐标，标量式为 mvmM-(m+M)vM=0 即 mvmM=(m+M)vM 积分 t0t0BMrvmMlASMSmx图 3-4mvmMdt=(m+M)vMdt 00即 ml=(m+M)SM ml得 SM= m+

11、MMl 由图3-4知：Sm=l-SM=m+M5 第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 vvm1,v1-v10,v2=020=0m2m1,v 1v10,v2=2v10 2、非对心情况 7 3-12）3-14） 设m1=m2，且v20=0，可知，m1、m2系统动量及动能均守恒，即 rvvvv1m1v10=m1v1+m2v21mv2=1mv2+1mv2 m11101122222rm1vvvv10v10=v1+v2m2 222 rv10=v1+v2v20=0vvvvm2可知，v1、v2、v10是以v10为斜边的直角三角形，如图3-7。 rv23-4动能定理 图 3-7一、功 定义：力对

12、质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。 1、恒力的功 恒力：力的大小和方向均不变。 即 vv如图3-8，功为 W=FcosaS=FS (3-18) vvW=FS (3-19) 说明：W为标量 p0a0,力对物体做正功2paap,W0DEk0说明：W0DEk0,F沿x轴负向 F=Fi=-kxivx0,F沿x轴正向mk12 ox1图 3-17xx2第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 m从坐标x1x2过程中，弹性力做功为 vvvvx2vx2vW=Fdx=-kxidxi(dx=dxi) x1x1x21212=-kxdx=-(kx2-kx1) x122特点：弹性力功仅与

13、物体始末位置有关而与过程无关。 如：物体可以从x1处向左移，然后向右平移至x2处，也可以从x1处直接移到 x2处。但是，无论怎样从x1处移到x2处，弹性力做的功都是上述结果。二、保守力和非保守力 1、保守力与非保守力 v如果力F对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为： vvFdl=0 l及 vvFdl0 l由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。 三、势能 对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即： W=-(Epb-Epa) 结论：保守力功=相应势能增量的负值 。

14、vvvv*从理论上讲，Fdl=0F=0即F是无旋的， vvvF=0F与DEp有对应关系，Ep可定义为与F相应的势能。也就是说，保l守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。 mM万有引力势能：Ep=-G(势能零点取在无限远处） r 重力势能：Ep=mgh(势能零点取在某一水平面上）弹性势能：Ep=12kx(势能零点取在弹簧原长处） 2能概念 说明： 保守力场中才能引进势13 第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 势能是属于系统的 势能是相对的 3-6 功能原理 机械能守恒定律 一、质点系的动能定理 vv系统中有n个物体，第i个物体

15、受合外力为Fi外，合内力为Fi内，在某一过程中，合外力功为Wi外，合内力功为Wi内，由单个质点的动能定理，对第i个质点有： 11Wi外+Wi内=mivi22-mivi21 22i=1,2,。对上式两边求和，有 nnnn1122W+W=mv-mvii2ii1 i外i内i=1i=1i=12i=12W外+W内=Ek2-Ek1 结论：合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。称此为系统的动能定理。 二、功能原理 作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。 由质点动能定理 W

16、外+W内=Ek2-Ek1 有 W外+W非保守=Ek2-Ek1-W保守内=Ek2-Ek1-(Ep2-Ep1)(保守力功=势能增量负值）W外+(W保守内+W非保守）=Ek2-Ek1 =(Ek2+Ep2)-(Ek1+Ep1) W外+W非保守=(Ek2+Ep2)-(Ek1+Ep1) 结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能的增量。称此为功能原理。 说明：功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。 功是能量变化或转化的量度 能量是系统状态的单值函数 14 第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 三、机械能守恒定律 由功能原理知，当W外+W非保守=0时，有 Ek2+Ep

17、2=Ek1+Ep1 结论：当W外+W非保守=0时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。 例3-11：如图3-18，在计算上抛物体最大高度H时，有人列出了方程 1212-mgH=mv0cos2q-mv0 22列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？ 解：动能定理为 合力功=质点动能增量 2112-mgH=m(v0cosq)-mv0 22功能原理为 外力功+非保守内力功=系统机械能增量 10+0=mv0cosq2yvv0qH()212+mgH-mv0+0 2oEp=0图 3-18x机械能守恒定律 W外+W非保内=0 Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 即 m(v0cos

18、q)+mgH=mv02+0 21212可见，此人用的是质点的动能定理。 例3-12：如图3-19，质量为m的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为v，槽半径为R。求m从AB过程中摩擦力做的功。 Bvv解：方法一按功定义W=Fds，m在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程A为 mgcosq-Fr=mat=mFr=-mAdv dtdv+mgcosq dtBvBvvvW=Frds=Frdscosp A 15 第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权 dv=-Frds=-mgcosq-mds AAdtBdvB=mds-mgcosqds AdtABBmA水平oqdqEp=0

19、=mvdv-2mgcosqRdq 00vpr12cds=mv-mgR 2q方法二用质点动能定理 vvvmgvm受三个力，N，Fr，mg 切线112-mv1由W合=mv2有 2图 3-19221v+W+Wv=WNmv2-0 rp21v=-DE=-mgh) 即 0+Wr+mgR=mv2(Wpp21 Wr=mv2-mgR 2方法三用功能原理 取m、地为系统， 无非保守内力 vv W非保内=0，F外功为W外=Wr rFrvvB由 W外+W非保守=(Ek2+Ep2)-(Ek1+Ep1)有 1Wr+0=mv2-mgR-(0+0) 21即Wr=mv2-mgR 2注意：此题目机械能不守恒。 例3-13：质量为m1、m2的二质点靠万有引力作用，起初相距l，均静止。它们运动到1距离为l时，它们速率各为多少？ 2解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即 m1v1+m2v2=0 Gm1m2Gm1m2112m1v12+m2v2-=- 22l/2l由、解得： 2Gv=m12(m1+m2)l 2Gv=m21(m1+m2)l 16