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1、怀化学院在线课程高等代数教案第四章 矩 阵课程网址： 欢迎大家访问 第四章 矩 阵 1 矩阵概念的一些背景 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考
2、虑坐标系的转轴(反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变换的公式为 x=xcosq-ysinq, (1) y=xsinq+ycosq,其中q为x轴与x轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排成的22矩阵 cosqsinq-sinq (2) cosq表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换有公式 x=a11x+a12y+a13z,y=a21x+a22y+a23z, (3) z=ax+ay+az.313233同样，矩阵 a11a21a31a12a22a32a13a23 (4) a33就称为坐标变换(3)的矩阵. 2. 二次曲线的一
3、般方程为 ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0. (5) (5)的左端可以简单地用矩阵 课程网址： 欢迎大家访问 abbcdede (6) f来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形式的. 3. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤，有s个产地A1,A2,L,As，n个销地B1,B2,L,Bn，那么一个调动方案就可以用一个矩阵 a11a21Mas1a12La1na22La2n MMas2Lasn来表示，其中aij表示由产地Ai运到销地Bj的数量. 4. n维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n维行
4、向量就是1n矩阵，n维列向量就是n1矩阵. 以后用大写的拉丁字母A,B,L，或者 (a),(b),L ijij来表示矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把sn矩阵写成Asn,Bsn,L，或者 (a),(b)ijsnijsn,L (注意矩阵符号与行列式的符号的区别). 设A=aij(),(b)mnijlk，如果m=l,n=k，且aij=bij，对i=1,2,L,m;j=1,2,L,n都成立，我们就说A=B.即只有完全一样的矩阵才叫做相等. 课程网址： 欢迎大家访问 2 矩阵的运算 现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法
5、以及矩阵的转置. 为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组成的. 1. 加法 定义1 设 =a11a21Mas1b11b21Mbs1a12La1na22La2n, MMas2Lasnb12Lb1nb22Lb2nMMbs2Lbsna12+b12La1n+b1na22+b22La2n+b2n MMas2+bs2Lasn+bsnA=(a)ijsnB=(bij)sn是两个sn矩阵，则矩阵 C=(cij)sn=(aij+bij)sna11+b11a+b21=21Ma+bs1s1称为A和B的和，记为 C=A+B. 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行
6、数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证，它有 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C; 交换律：A+B=B+A. 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为Osn，在不致引起含混的时候，可简单地记为O.显然，对所有的A， A+O=A. 矩阵 课程网址： 欢迎大家访问 -a11-a12L-a1n-a21-a22L-a2nMMM-a-as2L-asns1称为矩阵A的负矩阵，记为-A.显然有 A+(-A)=O 矩阵的减法定义为 A-B=A+(-B) 例如 在1我们看到，某一种物资如果有s个产地，n个销地，那么一个调动方案就可表示为一个sn矩阵.矩阵中的元素aij表示由产地
7、Ai要运到销地Bj的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个sn矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和. 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出： 秩(A+B) 秩(A)+秩(B) 2. 乘法 在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题. 设x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3是两组变量，它们之间的关系为 x1=a11y1+a12y2+a13y3,x=ay+ay+ay,2211222233 (1) x3=a31y1+a32y2+a33y3,x4=a41
8、y1+a42y2+a43y3.又如z1,z2是第三组变量，它们与y1,y2,y3的关系为 y1=b11z1+b12z2,y2=b21z1+b22z2, (2) y=bz+bz.3113223由(1)与(2)不难看出x1,x2,x3,x4与z1,z2的关系： 课程网址： 欢迎大家访问 xi=aikyk=aik(bkjzj)=aikbkjzjk=12k=1j=1k=1j=133232=aikbkjzj=(aikbkj)zjj=1k=1j=1k=1323. (3) (i=1,2,3,4)如果我们用 xi=cijzjj=12(i=1,2,3,4) (4) 来表示x1,x2,x3,x4与z1,z2的关系
9、，比较(3),(4)，就有 cij=aikbkj(i=1,2,3,4;j=1,2). (5) k=13用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵 A=(aik)43,B=(bkj)32 分别表示变量x1,x2,x3,x4与y1,y2,y3以及y1,y2,y3与z1,z2之间的关系，那么表示x1,x2,x3,x4与z1,z2之间的关系的矩阵 C=(cij)42 就由公式(5)决定.矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记为 C=AB 一般地，我们有： 定义2 设 A=(aik)sn,B=(bkj)nm, 那么矩阵 C=(cij)sm, 其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ainbnj=aikbkj,
10、(6) k=1n称为矩阵A与B的乘积，记为 C=AB. 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和.当然，在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等. 课程网址： 欢迎大家访问 例1 设 A=那么 1-10015-13-10210,B=34-13421, 1-121AB=例2 如果 1-10015-13-1021034-134-56721=102-6 1-1-2171021A=(aij)sn 是一线性方程组的系数矩阵，而 x1b1x2b2X=,B= MMxbns分别是未知量和常数项所成的
11、n1和s1矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵的等式 AX=B. 例3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系(x1,y1,z1)到(x2,y2,z2)的坐标变换的矩阵为 a11A=a21a31a12a22a32a13a23 a33如果令 x1x2X1=y1,X2=y2, zz12那么坐标变换的公式可以写成 X1=AX2. 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系(x2,y2,z2)到第三个坐标系课程网址： 欢迎大家访问 (x3,y3,z3)的坐标变换公式为 X2=BX3, 其中 b11B=b21b31b12b22b32b13x3b23,X3=y3. zb333那么不难看出，由第一个坐标系到第三
12、个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C=AB. 矩阵的乘法适合结合律.设 A=(aij)sn,B=(bjk)nm,C=(ckl)mr 则 (AB)C=A(BC). 证：A=(aij)sn B=(bjk)nm C=(ckl)mr 令 V=AB=(vik)sm， W=BC=(wjl)nr 其中 vik=aibc klj， j k wjl=bjkj=1k=1nmVC的第i行第j列元素为vikckl=L=aijbjkckl， k=1k=1j=1mmmnAW的第i行第j列元素为aijwjl=L=aijbjkckl j=1k=1j=1mn即，VC的第i行第j列元素等于AW的第i行第j列元素 AB)C=A(BC)
13、 所以 (但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来 ABBA. 例如，设 111-1A=,B=-1-1-11 课程网址： 欢迎大家访问 111-100AB=-1-1-11=00, 而 21-1112BA=-11-1-1-2-2. 由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当AB=AC时,不一定有B=C. 定义3 主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的nn矩阵 10M00L01L0 MM0L1称为n级单位矩阵，记为En，或者在不致引起含混的时候简单写为E.显然有 AsnEn=Asn, EsAsn=Asn. 矩阵的乘法和加法还适
14、合分配律，即 A(B+C)=AB+AC, (9) (B+C)A=BA+BC. (10) 应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂.设A是一nn矩阵，定义 1A=A, k+1kA=AA.换句话说，Ak就是k个A连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法的结合律，不难证明 AkAl=Ak+l, (Ak)l=Akl. 这里k,l是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以(AB)k与AkBk一般不相课程网址： 欢迎大家访问 等. 3. 数量乘法 . 定义4 矩阵 ka11ka21Mkas1ka12Lka1nka22Lka2nMMkas2
15、Lkasn称为矩阵A=aij()sn与数k的数量乘积，记为kA.换句话说，用数k乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k. 数量乘积适合以下的规律： (k+l)A=kA=lA, (11) k(A+B)=kA+kB, (12) k(lA)=(kl)A, (13) 1A=A, (14) k(AB)=(kA)B=A(kB). (15) 矩阵 k0L00kL0 kE=MMM00Lk通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形，如果A是一nn矩阵，那么有 kA=(kE)A=A(kE). 这个式子说明，数量矩阵与所有的nn矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一
16、定是数量矩阵.再有 kE+lE=(k+l)E, (kE)(lE)=(kl)E, 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 若A为n级方阵，kA=knA 课程网址： 欢迎大家访问 4. 转置 把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵称为A的转置，记为A.可确切地定义如下： 定义5 设 a11a12La1nA=aa2122La2nMMM， as1as2Lasn所谓的转置就是指矩阵 a11a21Las1A=a12a22Las2MMM. a1na2nLasn显然，sn矩阵的转置是ns矩阵. 矩阵的转置适合以下的规律： (A)=A, (A+B)=A+B, (AB)=BA, (kA)=kA. (
17、16)表示两次转置就还原，这是显然的. 例4 设 2-10A=(1-12),B=113 421求(AB),BA. 对称矩阵 反对称矩阵 定义：设A为n级方阵，若A满足 1）A=A，则称A为对称矩阵 2）A=-A，则称A为反对称矩阵 性质： 对称矩阵的和、差仍是对称矩阵 反对称矩阵的和、差仍是对称矩阵 (16) (17) (18) (19) 课程网址： 欢迎大家访问 即，A,B对称A+B,A-B仍对称 A,B反对称A+B,A-B仍反对称 A对称，kPkA仍对称 A反对称，kPkA反对称 奇数级反对称矩阵的行列式等于零 证：A=-A,A=-A=(-1)nA，n为奇数，则A=-A A=0 A,B对称
18、，AB未必对称Q(AB)=BA=BA A,B反对称，AB未必反对称Q(AB)=BA=(-B)(-A)=BA A,B对称，AB对称AB=BA. A为任意级方阵，则 A+A为对称矩阵，A-A为反对称矩阵； A可表为对称矩阵与反对称矩阵之和A=11(A+A)+(A-A) 22例5 A反对称，B对称证明： 1）A2对称 2）AB-BA对称；AB+BA反对称 3）AB反对称AB=BA 证：1）(A2)=(AA)=AA=(-A)(-A)=A2 2）(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB=B(-A)-(-A)B=AB-BA “”AB反对称AB=-(AB)=-BA=-B(-A)=BA 3）=BA=(A
19、B) “”B(-A)=-BA=A,B反对称AB 例6 A为n级实对称矩阵，且A2=0，证明：A=0 证：设A=(aij)nn.QA=A a11a212A=AA=Lan1nLa1na11La2na12LLLLan2Lanna1na12a22a21La22LLLa2nLn2as1a1kk=1as2=Lasn*O=0 na2nkk=1*a2ik=0,i=1,2,L,n. k=1课程网址： 欢迎大家访问 aik=0,i=1,2,L,n,k=1,2,L,n A=0. 课程网址： 欢迎大家访问 3 矩阵乘积的行列式与秩 定理1 设A,B是数域P上的两个nn矩阵，那么 |AB|=|A|B|, (1) 即矩阵
20、乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 由4.3 定理7，P93 AB=A00AB=AB(-1)n(-1)1+L+n+(n+1)+L+2n-EB-E02n(2n+1)2=AB(-1)n(-1)=AB 用数学归纳法，定理1可以推广到多个因子的情形，即有 推论1 设A1,A2,L,Am是数域P上的nn矩阵，于是 |A1A2LAm|=|A1|A2|L|Am| 定义6 数域P上的nn矩阵A称为非退化的，如果|A|0，否则称为退化的. 显然一nn矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于n. 推论2 设A,B是数域P上nn矩阵，矩阵AB为退化的充要条件是A,B中至少有一个是退化的. 证明“”：因AB非退化，A
21、B=AB0A0,B0,A,B所以都非退化； “”设A,B都非退化，则A0,B0,AB=AB0，AB非退化. 定理2 设A是数域P上nm矩阵，B是数域P上ms矩阵，于是 秩(AB)min秩(A),秩(B), (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明：设A=(aij)nm,B=(bij)ms，AB=(cij)ns 设B的行向量为B1,B2,L,Bm，C的行向量为C1,C2,L,Cn， 由AB=C，先证C1,C2,L,Cn可由B1,B2,L,Bm线性表示， 课程网址： 欢迎大家访问 b11LLLLbAB=ai1ai2Laim21LLLLLbm1b12b22Lbm2Lb1sLb2s LLLbmsLL
22、LL=ai1b11+ai2b21+L+aimbm1ai1b12+ai2b22+L+aimbm2Lai1b1s+ai2b2s+L+aimbmsLLLL其中AB的第i行元素为： ai1(b11,b12,L,b1s)+ai2(b21,b22,L,b2s)+L+aim(bm1,bm2,L,bms)=ai1B1+ai2B2+L+aimBm i=1,2,L,n，即C的行向量C1,C2,L,Cn可由B的行向量B1,B2,L,Bm线性表示 ) 所以 R(C)R(B平行的，设A的列向量为A1,A2,L,Am，C的列向量为C1,C2,L,Cs，则 a11La1mMb1jAB=LLLMMan1LanmMbmjMMa
23、11b1j+a12b2j+L+a1mbmjM=MMMab+ab+LabMn11jn22jnmmjMM Ma11a12a1m=b1jM+b2jM+L+bmjM=b1jA1+b2jA2+L+bmjAm aaan2nmn1即C的列向量C1,C2,L,Cm可由A的列向量A1,A2,L,Am线性表示，从而R(C)R(A)， A(R),B( 故 R(C)minR用数学归纳法，定理2可以推广到多个因子的情形，即有 推论3 如果A=A1A2LAt，那么 秩(A)min(秩Aj). 1jt课程网址： 欢迎大家访问 4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 在2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是
24、否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题. 这一节矩阵，如不特别声明，都是nn矩阵. 对于任意的级方阵A都有 AE=EA=A 这里E是n级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，n级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数a0的倒数可以用等式 aa-1=1 来刻划，相仿地，我们引入 定义7 n级方阵A称为可逆的，如果有n级方阵B，使得 AB=BA=E, (1) 这里E是n级单位矩阵. 首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵A，适合等式(1)的矩阵B是唯一的(如果有的话). 设B1,B2均为A的逆，则AB1=B1A=E，且AB2=B2A
25、=E，从而有： B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2. 定义8 如果矩阵B适合(1)，那么B就称为A的逆矩阵，记为A-1. 二、可逆矩阵的逆矩阵的求法 下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A-1？ 定义9 设Aij是矩阵 A=a11a21Man1a12La1na22La2n MMan2Lann中元素aij的代数余子式，矩阵 课程网址： 欢迎大家访问 A11A21LAn1A*=AA1222LAn2MMM A1nA2nLAnn称为矩阵A的伴随矩阵. 12326-4例1 A=221， 则A=-3-65 34322-2由行列式按一行(列)展开的公式立
26、即得出： d0L0AA*=A*A=0dL0MMM=dE, 00Ld其中d=|A|. 如果d=|A|0，那么由(2)得 A(1dA*)=(1dA*)A=E. 定理3 矩阵A可逆的充要条件是A非退化的，而 A-1=1dA*(d=|A|0) 证明：“”: 因A可逆，则AA-1=AA-1=E=10，A0, “”: 设A0, 由 AA=AA=AE, A(1A)=(1A)A=E，矩阵A可逆，且A-11*AA=AA. 例2A=213， A=1， A-1=3-1-52 5一般地，A=abd，可逆ad-bc0 cA-1=1ad-bcd-b-ca (2) (3) 课程网址： 欢迎大家访问 123123123例3A
27、=221， 则 A=221=221=2， 34334300-16-42A=-3-65， A-1=22-26-421-3-65 222-2-1a2a1D=例4a2a1-1，则D-1=i=1,L,n，ai0，Oan O-1an则 D=a1a1Lan， 0a2Lana1a3Lan0D=LL00a1-1L0-1D=， LLLa1Lan-1L0-1a2 O-1an根据定理3容易看出，对于n级方阵A,B，如果 AB=E 那么A,B就都是可逆的并且它们互为逆矩阵. 证：AB=EAB=1A0，B0A,B可逆 A-1(AB)=A-1EB=A-1，(AB)B-1=EB-1A=B-1 定理3不但给出了一矩阵可逆的条
28、件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法. 由(5)可以看出，如果|A|=d0，那么 |A-1|=d-1 三、逆矩阵的运算规律 1) A可逆A-1可逆，且(A-1)-1=A 2) A可逆，l0lA可逆，且(lA)-1=1lA-1 3) A、B为n级可逆方阵AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1 因 (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=(AE)A-1=AA-1=E， AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1 课程网址： 欢迎大家访问 4) A可逆A可逆，且(A)-1=(A-1) 因A可逆，则 (A)(A-1)=(A-1
29、A)=E=E， A可逆，且(A)-1=(A-1) 5) A可逆A*可逆，且(A*)-1=A， A因A可逆，则(11A A)A=E，A(A)=E，A*可逆，且(A*)-1=AAAD6) A可逆Ak可逆，且(Ak)-1=(A-1)k=A-k 因A可逆，则A(A)=(AA)=E=EA可逆，且(A)=(A)=A-k k-1k-1kkklk-1-1kD注意：A、B可逆，A+B未必可逆. 例5. 设方阵A满足A2-3A-10E=0，证明：A，A-4E都可逆，并求它们的逆矩阵 1证：由A2-3A-10E=0，得A(A-3E)=10E，即得A(A-3E)=E， 10故A可逆，且A-1=1(A-3E) 10再由
30、A2-3A-10E=0，得A2-4A+A-4E=6EA(A-4E)+E(A-4E)=6E， (A+E)(A-4E)=6E，即 (A+E)(A-4E)=E， 1故A-4E可逆，且(A-4E)-1=(A+E) 616例6证明：若A=0，则A*=0 证：QAA*=AEAA*=0； 当A=0时，A*=0，A*=0 *-当A0时，反设A*0，则A*可逆由AA*=0，有(AAA)*10(=)A*10-=，即A=0，矛盾，A*=0 四、矩阵方程 A为n阶可逆矩阵，若B为ns矩阵，且AX=BX=A-1B为ns矩阵； 若B为sn矩阵，且XA=BX=BA-1为sn矩阵； A,B分别为n,s阶可逆矩阵，若C为ns矩
31、阵，且AXB=CX=A-1CB-1为ns矩阵 课程网址： 欢迎大家访问 254-6例7X=，求X 1321254-63-54-62-23解：X= =1321-122108-1033例8A=110，AB=A+2B，求B -123-233解：由AB=A+2B，得(A-2E)B=A，又A-2E=1-10=20， -121-1331A-2E可逆，且(A-2E)-1=-113， 211-1033B=(A-2E)-1A=-123 110例9Cramer法则另一种简捷的推导 +L+anxa11x11n=b1给 LLLLLLL，可改写为矩阵形式：AX=B， ax+L+ax=bnnnnn11x1b1aLa111
32、nxb22其中 A=LLL，X=，B= MMan1Lannxnbn 当系数行列式D=A0时, A可逆，且A-1=1*A A将X=A-1B代入有恒等式AA-1B=B，即X=A-1B是的一个解 若X=C是的一个解，则AC=B,A-1AC=A-1B,C=A-1B，故 X=A-1B是的唯一解，由 A-1=1*A，有 A课程网址： 欢迎大家访问 A111A121X=A-1B=AB=AKAA1nA21LAn1b1A11+b2A21+L+bnAn1A22LAn21B=M LLLAbA+bA+L+bA11n22nnnnA2nLAnnDj1xj=(b1A1j+b2A2j+L+bnAnj)=,AD则： j=1,2
33、,L,n. 得证Cramer法若的系数矩阵A的行列式 D=|A|0，则方程组有唯一解： x1=DD1D，x2=2,L,xn=n. DDD五、矩阵乘积的秩 定理4：Asn，若Pss，Qnn可逆，则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)即可逆矩阵不改变矩阵的秩. R(B)R(A)证：令B=PA，又PB=A，由定理2，R(A)=R(B) R(A)R(B)-1课程网址： 欢迎大家访问 5 矩阵的分块 在这一节，我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法，即矩阵的分块.有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.这就是
34、所谓矩阵的分块. 设A=(aij)mn A11A=LAs1A12LA1tLLL =(Akl)st , Aij为子块 As2LAstA1A2特殊分块：按行分块A=，其中Ai=(ai1Lain)， MAsb1jb2j按列分块A=(B1,B2,LBt)，其中Bj= Mbnj为了说明这个方法，下面看一个例子.在矩阵 10A=-11中，E2表示级单位矩阵，而 0121001000E2=A011O E2-1200A1=11,O=00. 在矩阵 10-12B=10-1-1中， 304221B11=B1210B12 B22课程网址： 欢迎大家访问 10321041B11=,B=,B=,B=-12120121-1-12220. 在计算AB时，把A,B都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是 AB=EOBB12212A1EB112B21B=B2211A1B11+B21AB, 112+B22其中 A+B-121010-241B1121=11-12+-1-1=
