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1、指数对数幂函数总结归纳指数与指数幂的运算 1理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算. 2理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点 3理解对数的概念及其运算性质 4重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理. 5会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6知道指数函数 与对数函数互为反函数(a0，a1). 要点一、幂的概念及运算性质 1.整数指数幂的概念及运算性质 2.分数指数幂的概念及运算性质 为避免讨论，我们约定a0，n，mN，且*m为既约分数，分数指数幂可如下
2、定义： na=na a=(na)m=nam m-1an=m an3运算法则 当a0,b0时有： aa=aamnm+n1nmn； ()mn=amn； amm-nn=a(mn，a0)； ammm(ab)=ab. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如4(-4)2(4-4)2； (3)幂指数不能随便约分.如(-4)(-4). 2412要点二、根式的概念和运算法则 1n次方根的定义： 若x=y(nN，n1，yR)，则x称为y的n次方根，即x=ny. n*n为奇数时， y的
3、奇次方根有一个，是负数，记为ny；零的奇次方根为零，记为n0=0； n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为n0=0. 2两个等式 当n1且nN时，*(a)nn=a； a,(n为奇数)a= |a|(n为偶数)nn要点诠释： 计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误 指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数 )，先要化成假分数，底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如然后要尽可能用幂的形式表示
4、，便于用指数运算性质 在化简运算中，也要注意公式： a2b2，a3b3，a3b3， 22233223a2abb，a3ab3abb，的运用，能够简化运算. 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=a(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释： 形式上的严格性：只有形如y=a(a0且a1)的函数才是指数函数像y=23，y=2，y=3+1等函数都不是指数函数 为什么规定底数a大于零且不等于1： 如果a0，则对于一些函数，比如y=(-4)，当x=xxxxx1xx11,x=,时，在实数范围内函数值不存在 24如果a=1，则y=1=1是个常量，就没研究的必
5、要了。而a=0时y=0没意义 要点二、指数函数的图象： y=ax 0a1”和“0a1时图象 1指数函数y=a与y=的图象关于y轴对称。 axx要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 y=ax y=bx y=cx y=dx 则：0ba1dc 观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点 又即：x(0,+)时，bxaxdxaxdxcx 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法： (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 若A-B0AB；A-B0A1，或
6、0，且a1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，bN叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a0 且a1， N0， bR. 2.对数logaN(a0，且a1)具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N0； (2)1的对数为0，即loga1=0； (3)底的对数等于1，即logaa=1. 3两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数， logeN简记作lnN. 要点二、对数的运算法则 logaN(a0且a1，M、N0) 已知logaM，(1) 正因数的积的对数等于同
7、一底数各个因数的对数的和； loga(MN)=logaM+logaN (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数； logaM=logaM-logaN N(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； logaMa=alogaM 要点诠释： 利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的. 不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是
8、错误的： 错误1：loga(MN)=logaMlogaN， 错误2： (MN)=logaMlogaN， 要点三、对数公式 1对数恒等式： logNaa=N logaN=b2换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a1， M0的前提下有: (1) logaM=loganMnab=N(nR) nbn令 logaM=b， 则有a=M， (a)=M，即(a)=M， 则b=loganM bbnnn所以得出结论:logaM=loganM. nlogcM(c0,c1)，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 logcab=logcM(c0,c1) logcalogcMlogcM(c
9、0,c1) 即blogca=logcM， 即b=，即logaM=logcalogca(2) logaM=当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论: logab=1(a0,a1,b0,b1). logba对数函数及其性质 要点一、对数函数的概念 1函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.其中x是自变量，函数的定义域是(0,+)，值域为R 2判断一个函数是对数函数是形如y=logax(a0,且a1)的形式，即必须满足以下条件： 系数为1； 底数为大于0且不等于1的常数； 对数的真数仅有自变量x 要点诠释： 只有
10、形如y=logax(a0，a1)的函数才叫做对数函数，像y=loga(x+1),y=2logax,y=logax+3等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。 求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；对含有字母的式子要注意分类讨论。 要点二、对数函数的图象 0a1 a1 图象 要点诠释： 关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考. 以1为分界点，当a，N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增
11、函数特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸； (3)a0,a1)； y=log2x+2; y=8log2(x+1)； y=logx6(x0,x1)； y=log6x 对数函数的定义域 16. 求下列函数的定义域： (1)y=logax； (2)y=loga(4-x)(a0且a1). 2对数函数的单调性及其应用 17. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log33.6,log38.9； (2)log0.21.9,log0.23.5； (3)log25与log75； (4) log35与log64 (5)loga4.2,loga4.8 函数的奇偶性 18. 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=ln2-x; (2)f(x)=lg(1+x2-x). 2+xx类型五、反函数 19求出下列函数的反函数 1y=log1x；y= e6利用函数图象解不等式 20若不等式2-logax0，当x0,时恒成立，求实数a的取值范围 x12对数函数性质的综合应用 21 已知函数y=lg(x+2x+a)的定义域为R，求实数a的取值范围； 已知函数y=lg(x+2x+a)的值域为R，求实数a的取值范围； 22
