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1、数学分析习题第十五章 多元函数的极限与连续性 1 平面点集 limPn=P0的充1设Pn=(xn,yn)是平面点列，P0=(x0,y0)是平面上的点. 证明n要条件是limxn=x0，且limyn=y0. nn2 设平面点列Pn收敛，证明Pn有界. 3 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)E= (2)E= (3)E= (4)E= (5)E=(x,y)|y0； x (6)E=(x,y)|y=sin (7)E=(x,y)|x2+y2=1或y=0,0x1； E的聚点的充要条件是E中存在点列P6设E是平面点集. 证明P0是n，满足 P,2,L)且limPn=P
2、0. nP0(n=1n9设E是平面点集，如果集合E的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10设E是平面上的有界闭集，d(E)是E的直径，即 d(E)=supr(P,P). P,PE求证：存在 P1,P2E，使得r(P1,P2)=d(E). 2 多元函数的极限与连续性 1叙述下列定义： (1) limf(x,y)=； xx0yy0 (2) limf(x,y)=A； x+y- (3) limf(x,y)=A； xay+ (4) limf(x,y)=. xay+ 2求下列极限： x2+y2 (1) lim； x0x+yy0 (2) limx0y0sin(x3+y3)x+y2
3、2； (3) limx0y0x2+y21+x+y-122； (4) lim(x+y)sinx0y01； 22x+y2(5) limxylnx+yx0y022(2)； ex+ey(6) lim； x0cosx-sinyy0(7) limx0y0xy； x4+y2232(8) limsin(xy)； x0xy2(9) limx1y0ln(x+ey)x+y22； (10) lim1； x12x-yy2(11) limxy+1； x0x4+y4y01+x2+y2(12) lim； 22x0x+yy0(13) limx+yx+y+(22)e(-x+y)； (14) limx+xy. 22x+yy+x23
4、讨论下列函数在(0,0)点的全面极限和两个累次极限： x2(1) f(x,y)=2； x+y2(2) f(x,y)=(x+y)sin11sin； xyex-ey(3) f(x,y)=； sin(xy)(4) f(x,y)=x2y2xy+(x-y)222； x3+y3(5) f(x,y)=2； x+yx2y2(6) f(x,y)=3； x+y3(7) f(x,y)=x4+3x2y2+2xy3(x(x22+y4322)； (8) f(x,y)=x4y4+y). 4叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理. 5叙述并证明limf(x,y)存在的柯西收敛准则. xx0yy06试作出函数f
5、(x,y)，使当(x,y)(x0,y0)时， (1) 全面极限和两个累次极限都不存在； (2) 全面极限不存在，两个累次极限存在但不相等； (3) 全面极限和两个累次极限都存在. 7讨论下列函数的连续范围： (1) f(x,y)=1x+y22； (2) f(x,y)=1； sinxsiny(3) f(x,y)=x+y； (4) f(x,y)=x+y； x3+y3sin(xy), y0,fx,y=(5) ( )y0, y=0;sin(xy), x2+y20,2(6) f(x,y)=x+y2 220, x+y=0;(7) f(x,y)=0, x为无理数； y, x为有理数22222yln(x+y)
6、, x+y0,(8) f(x,y)= 220, x+y=0;x22, x+y0,p22(9) f(x,y)=(x+y) (p0). 220, x+y=0,8若f(x,y)在某区域G内对变量x连续，对变量y满足利普希茨条件，即对任意 (x,y)G和(x,y)G，有 f(x,y)-f(x,y)Ly-y， 其中L为常数，求证f(x,y)在G内连续. 9证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和一致连续性定理. 10设二元函数f(x,y)在全平面上连续，2lim2 (1) f(x,y)在全平面有界； (2) f(x,y)在全平面一致连续. 11证明：若f(x,y)分别对每一变量x和y是连续的，并且对其中的一个是单调的，则f(x,y)是二元连续函数. 12证明：若E是有界闭域，f(x,y)是E上的连续函数，则f(E)是闭区间. x+yf(x,y)=A，求证：
