无穷级数.docx

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1、无穷级数第十二章 无穷级数 新大纲透析 考生应按大纲的要求，了解常数项级数、正项级数敛散性的判别法、任意项级数以及幂级数的性质，学会运用将初等函数展开为x或x-x0的幂级数。 考点详解 本考点要求考生全面掌握无穷级数的概念和性质，其中： 1、理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质； 2、掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法； 3、 掌握几何级数、调和级数、p级数的敛散法； 4、了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法； 5、了解幂级数的概念； 6、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质； 7、掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法； x8、

2、会运用e，sinx，cosx，ln，1/的麦克劳林级数，将一些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数。 历年考题这部分有如下形式：单项选择题、填空题、计算题。 单项选择题：判断常数项级数的审敛法；填空题：求常数项级数的收敛半径；计算题：求幂级数的展开式； 证明题：证明级数的收敛性。. 知识点构架图 1 无穷级数 常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 常数项级数的基本性质 常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 幂级数 函数项级数的概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 函数展开成幂级数 内容详析 一、常数项级数的概念和性质 常数项级数的概念 1级数的

3、概念 定义1 如果给定一个数列u1，u2，u3，un，则由这数列构成的表达式u1 + u2 + u3+ un +叫做(常数项)无穷级数，记为，其中第n项un叫做级数的一般项 定义2 作级数前n项的和sn =s，sn称为级数un=1n 的部分和 定义3 如果级数的部分和数列 sn 有极限s，即limsn =s，则称无穷级数收敛，这时n极限s叫做这级数的和，并写成s = u1 + u2 + u3+ un +；如果 sn 没有极限，则称无穷级数发散 显然当级数收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，他们之间的差值叫做级数的余项。用近似值sn代替和s所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是rn。 例1

4、无穷级数aqn=1n= a + aq +aq + +aq+ n2叫做等比级数，其中a0，q叫做级数的公比，试讨论级数的收敛性。 2 a-aqnaaqn解 如果q1，则部分和sn = a + aq +aq + +aq= =-1-q1-q1-q2n-1当q1时，由于limqn =0，从而limsn=nnaa，因此这时级数收敛，其和为。当q1 1-q1-q时，由于limqn=，从而limsn=，这时级数发散. nn如果q=1，则当q=1时，sn= na ，因此级数发散；当q=-1时， 级数成为a-a+a-a+,显然sn随着n为奇数或偶数而等于a或等于零，从而sn 的极限不存在，这时级数也发散。 综合

5、上述结果，我们得到：如果等比级数的公比的绝对值q小于1时，级数收敛；如果q大于1时，则级数发散. 例2 证明级数1+2+3+n+是发散的 证 这级数的部分和为s=1+2+3+4+n=显然limsn=，因此所给级数是发散的 nn(n+1)2例3 判定无穷级数 111+的收敛性 1223n(n+1)111， =-n(n+1)nn+1解 由于un=因此sn=111 +1223n(n+1) =+ 223nn+11 n+1nn从而limsn=lim=1 n+1所以这级数收敛，它的和是1。 收敛级数的基本性质 性质l 若级数 3 un=1n收敛于和为s，则级数kun=1n也收敛，且其和为ks 性质2 若级

6、数为sd un=1n、vn=1n分别收敛于s、s，则级数(un=1nvn)也收敛，且其和性质3 在级数中改变(去掉、加上或改变)有限项，不会改变级数的敛散性 性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和，但加括号后所成的级数收敛，去括号后原级数未必收敛 性质5 如果级数即limun=0 xun=1n收敛，则它的一般项un趋于零 二、常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 定义1 若un0，则un=1n称为正项级数 定理1 正项级数收敛的充要条件是部分和数列s有界 定理2(正项级数的比较审敛法) 设级数un=1n、vn=1n都为正项级数，且unvn。若级数un收敛，则级数vn收敛；反之，

7、若级数un发散，则级数vn发散。 n=1n=1n=1n=1推论设级数un=1n、vn=1n都为正项级数，若级数vn=1n收敛，且存在正整数N，使当nN时有unkvn成立，则级数un=1n收敛；若级数vn=1n发散，当nN时有unkvn成立，则级数例1讨论p级数 un=1n发散。 1111+ (2) 的收敛性，其中常数p0 2p3p4pnp11解，设p1，这时p，但调和级数发散，因此根据比较审敛法可知，当p1时级数nn1+发散。 设p1，因为当k-1xk时，有11，所以 kpxp 4 kk111 p=dxk-1xpdx k-1kpk 从而级数的部分和 nkn111sn=1+ p1+k-1pdx=

8、1+1pdx xxk=2kk=2n =1+ 1111时收敛，当p1时发散。 例2证明级数n=11是发散的 n2证 因为n.而级数 n+1nn+1=2+3+n+1+ n=11111 是发散的.根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3设级数un=1n、vn=1n都为正项级数， un=l(0l0或lim=+，且级数vn发散，则级数un发散. (2)如果limnvnvn=1n=1nn例3 判定级数sinn的收敛性 n=1111n解 因为lim=10而级数发散， n1n=1nnsin根据定理3知此级数发散 定理4设级数un=1n为正项级数，如果 5 limnun+1=r， unun+1=）时级数发

9、散；r=1时级数可nun则当r1时！1=lim=lim=00，则级数nnun=1n发散； 如果p1，而limnun=l(0l1，可知un不趋向于0，因此所给级数发散. 23定理10设级数它们的柯西乘积 un=1n、vn=1n都绝对收敛，其和为s和s，则u1v1+ 也是绝对收敛的，且其和为ss 三、幂级数 、函数项级数的概念 如果一个定义在区间I上的函数列 ，u2x），u3x），nx），则由这函数数列构成的表达式 11n-111-+-+ 23n8 称为定义在区间I上的无穷级数，简称级数 (二)幂级数及其收敛性 1.幂级数的概念 设an为常数，则形如a的级数称为x-xnnnn=00的幂级数，常数a

10、n称为幂级数的系数.当x0=0时an=0nxn称为x的幂级数. 2.(阿贝尔定理) 如果级数an=0nxn当x=x0时收敛，则适合不等式xx0的 一切x使这幂级数发散. 推论 如果幂级数naxn不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有n=0一个确定的正数R存在，使得 当xR时，幂级数发散； 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散. 正数R通常叫做幂级数的收敛半径.开区间叫做幂级数的收敛区间.再由幂级数在x=R的收敛性就可以决定它的收敛域是，-R,R),(-R,R或-R,R这四个区间之一 3. 如果 1+x+ 其中an、an+1是幂级数121， x+xn+2！n！an=0

11、nx的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径nR=1(r0);R=+(r=0);R=0， r 例1求幂级数 nx2x3n-1x+-+ x-23n的收敛半径与收敛域 9 解 因为r=limnan+1an1=limn+1=1， n1n 所以收敛半径R=1=1 r11n-11+-+，此级数收敛； 23n111 对于端点x=-1，级数成为 -1-，因此收敛域是(-1,1 -此级数发散，23n 对于端点x=1，级数称为交错级数1-例2 求幂级数 121x+xn+的收敛域 2！n！1a1！ 解，因为r=limn+1=lim=lim=0， nannn+11nn！所以收敛半径R=+，从而收敛域为 1+x+例3

12、求幂级数 x的收敛半径n！nn=0 解 因为r=limnan+1！= lim=+， nann！所以收敛半径R=0，即级数仅在x=0处收敛 (x-1)n例4求幂级数n的收敛域 n=12nan+1tn2nn1=，解，令t=x-1，上述级数变为n，因为 r=lim= limn+1 nan22n(n+）12n=1n 所以收敛半径R=2 ，收敛区间为t 2，即-1 x 3 n1 当x=3时，级数成为，这级数发散；当x=-1时，级数成为，这级nn=1n=1n数收敛， 因此原级数的收敛域为-1,3) 、幂级数的运算 1. 性质1幂级数an=0nxn的和函数s在其收敛域I上连续 10 2. 性质2幂级数an=

13、0n的和函数s在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式 xnxx1xann+1nns(x)dx=axdx=axdx=x(xI) n000nnn+1n=10n=00逐项积分后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径 3 性质3幂级数an=0nnnxn的和函数s在其收敛区间内可导，并有逐项积分0公式s(x)=(ax0)=(anx)=nanxn-1(xR), nn=0逐项积分后所得到的幂级数和原级数具有相同的收敛半径 四 函数展开成幂级数 f(x)=an(x-x0)n+设00f(n)(x0)f(x0)fn(x0)n(x-x0)=f(x0)+(x-x0)+(x-x0)nn!1!n!在x-x00或R=+，已

14、知右端的幂级数求左端的函数f(x)，这是幂级数求和。反之，已知左端的函数f(x)求右端的幂级数，则是函数的幂级数展开问题. 1. 泰勒级数与麦克劳林级数 设函数f(x)在点x0的某一领域内具有任意介导数，则称级数 0f(n)(0)nf(0)f(0)2f(n)(0)nx=f(0)+x+x+x+ n!1!2!n!fn(x0)(x-x0)n+ + n!为函数f(x)在点x0的泰勒级数 特别,若x0=0，则级数 0f(n)(0)nf(0)f(0)2f(n)(0)nx=f(0)+x+x+x+ (2) n!1!2!n!为函数f(x)的麦克劳林级数 11 注，只要函数f(x),f(x),Lf(n)(x)x在

15、x=x0的某一领域内具有任意介导数就73有式式），不过这样得到的级数是否收敛，并且是否收敛于原来的函数f(x)还需要进行检验 2. 函数f(x)展开成x的幂级数 (n)第一步 求出f(x)的各介导数，f(0),f(0),f(0),Lf(0)L，如果在x=0处某介73导数不存在，就停止进行，例如在x=0处，f(x)=x的三介导数不存在，它就不能展开为x的幂级数 第二步 求出函数以及各介导数在x=0处的值 (n) f(0),f(0),f(0),Lf(0),L 第三步，写出幂级数 f(0)f(0)2f(n)(0)nx+x+x+ f(0)+1!2!n!并求出收敛半径 第四步利用余项的表达式Rn(x)=

16、1，考察当x在区间f(n+1)(qx)xn+1(0q1）(n+1)!内时余项的极限是否为零.如果为零，则函数f(x)在区间的幂级数展开式为 f(0)f(0)2f(n)(0)nx+x+x+ f(x)=f(0)+1!2!n!例1 将函数f(x)=e展开为x的幂级数 解 所给函数的各介导数为f(n)(n)(n)(x)=ex因此f(0)=f(0)，这里fx2xn(0)=f(0)，+L+L，于是得级数1+x+它的收敛半径R=+ 2!n! 因为当n时，有Rn(x)0，于是得展开式 x2xn+L+L e=1+x+2!n!x例2将函数sinx展开为x的幂级数 12 解 给函数的各介导数为f(n)(x)=sin

17、(x+n f(n)p2， )(0)循环取0,1,0，-1 L ，于是得级数 x3x5 x-+-L+(1-k)3!5!xk2+(k2+1R=+ L+它的收敛半径,1)!因为当n时，有Rn(x)0，于是得展开式 x3x5x2k+1kSinx =x-+-L+(-1)+L,-x+ 3!5!(2k+1)!前面我们已经求得的幂级数展开式有 xne= n=0n!xx2k+1Sinx= (-1) (2k+1)!k=0k1=(-1)nxn 1+xn=0利用这三个展开式，可以得到许多函数的幂级数展开式，例如 对式两边从0到x积分，可得 (-1)nn+1(-1)n-1nx=x(-1x1) ln=n+1nn=0n=1

18、对式两边求导，即得 (-1)k2kx(-x+); Cosx=(-1)(2k)!k=0k把式的x换成xlna，可得 a=exxlna(lna)nn=x(-x+) n!n=0把式的x换成x，可得 1n2n=(-1)x 21+xn=02对上式从0到x积分，可得 (-1)n2n+1arctanx=x(-1x1) 2n+1n=0 13 例3 把函数f(x)=ln(1+x) 展开为x的幂级数 (-1)n-1n 解 由ln= x(-1x1) nn=1(-1)n-1n(-1)n-1n(-1)n-1n+1得 f(x)=(1-x)x=x-x nnnn=1n=1n=1(-1)n-1n(-1)nn =x-x nn=1

19、n=2n-1(-1)n-1(2n-1)nx(-1x1) =x+n(n-1)n=2 例4把函数sinx展开成的幂级数 4 解 因为 sinx=sin 并且有 p1ppp+(x-)=cos(x-)+sin(x-) 44442(x-)2(x-)4p4+4-L(-x+) cosx(-=1-)42!4!(x-)3(x-)5pp4+4-L(-x+) Sin(x-)=(x-)-443!5!ppppp2p3(x-)(x-)1p4-4+L(-x1，则un发散. nun=1n若(un=1n+vn)收敛，则un和vn必收敛 n=1n=1A(1),(2) B.(2),(3) C.(3)，(4) D. (1)，(4)

20、2limun=0是级数nun=1n收敛的( ) A必要条件 B充分条件 c充要条件 D既不是充分条件也不是必要条件 3下列命题中错误的是( ) A若un=1n与vn=1n都收敛，则级数(un=1nn+vn)必收敛 B若un=1n收敛，vn=1nn发散，则(un=1n+vn)必发散 C若un=1n与vn=1发散，则(un=1+vn)不一定发散 D若(un=1n+vn)收敛，则un和vn必收敛 n=1n=14若级数an=12n(x-1)n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处 A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D. 收敛性不能确定 5设a为常数，则级数sin(na)1n2- ( ) nn=1A.

21、绝对收敛 B发散 C条件收敛 D收敛性与a的取值有关 6 设常数t0,且级数an，则级数(-1)n2n=1n=1ann+t2A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D收敛性与t的取值有关 7. 下列各选项正确的是 A. 若un=12n与vn=12n都收敛，则级数(un=1n+vn)2必收敛 15 B. 若uvn=1nn收敛，则un=12n与vn=12n都收敛 C. 若正项级数un发散，则unn=11. n D若正项级数un=1n收敛，且unvn(n=1,2,L)，则级数vn=1n也收敛. 8若级数a(x-1)nn=0n在x=-1处收敛，则此级数在x=2处 A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发

22、散 D. 收敛性不能确定 9.设an0,n=1,2,L，若级数an=0n 发散，(-1)n=1n-1an收敛，下列正确的是 A. an=02n-1收敛，an=0n发散 B. an=12n收敛，an=12n-1发散 C(an=12n-1+a2n)收敛. D. (an=12n-1-a2n)必收敛. 10. 若级数an=0n收敛,则下列结论不正确的是 A. (an+an+1)必收敛. B. n=122(a-ann+1)必收敛. n=1C(an=12n-1+a2n)必收敛. D. (an=12n-a2n+1)必收敛. 二 、填空题 1. 设幂级数axnn=0n的收敛半径为3，则幂级数na(x-1)nn

23、=0n+1的收敛区间为_ 2. 对于级数un=1n，limun=0是它收敛的_条件，不是它收敛的_条件 n3. 部分和数列sn是正项级数un=1n收敛的_条件 4. 若级数un=1n绝对收敛则级数un=1n必定_；若级数un=1n条件收敛，则级数 16 un=1n必定_. 5. 幂级数nx2n-1的收敛半径为_ nnn=14+(-3)xn-16. 幂级数的收敛域是_ nn2n=17. 幂级数三、 计算题 1. 判定下列级数的收敛性 (nn=12-1)xn的和函数是_ nn=11nn； (2) 1; n=1n(n+1)1 nn=12n2 (3) 2 (4) n+3n+5n=12. 判别下列正项级

24、数的敛散性 (lnn)2lnnn； ； nnn=1(ln2)n=12nan=1bn(a0,b0)； 11； 2n-12(3n-1)n=1n=1n2+1+n1n0； 1(1-cos)； nn=1n=1xdx 1+xn=11n401+xdx43. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性： 1111+L+； 1:33:55:7(2n-1)(2n+1)sinp6+sin2pnp+sin+L 664. 判定下列级数的收敛性： 17 n88283n8-+2-3+(-1)n+L； 99991111+L+L； 3693n1111+3+L+n+L； 3333332333n+2+3+L+n+L； 2222(

25、+)+(11231111+)+L+(+n)+L。 22n23235. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性： 1+111+L+L； 351+1+21+31+n+L+L； 2221+21+31+n111+L+L； 2:53:6(n+1)(n+4）sinp2+sinp22+sinp23+L+sinp2n+L； 1nxn=1n-1； x4n+1； 4n+1n=1x3x5x2n-1+L+x+。 352n-17. 求下列极限： 111k2(1) limk(1+); nnkn=13111n3n39L:(2) (2) lim2:4:n 18 8. 求下列幂级数的和函数： 2n-12n-2；

26、 xn2n=1(-1)n-12n-1x； 2n-1n=1n(x-1)n=1n； xn。 n(n+1)n=12n-12n-229. 设正项级数与都收敛，证明级数也收敛 xv(u+v)nnnn2n=1n=1n=110. 讨论下列级数的绝对收敛性和条件收敛性 1n+1n(-1)p； (-1)ln nnn=1n=1nvn11. 设级数un收敛，且lim=1.问级数vn是否收敛，试说明理由. nun=1n=1n23n12. 求级数x+2x+3x+L+nx+L的收敛区间 13. 判别下列级数的敛散性 11 ； plnnn=2(lnn)n=2(lnn)1lnnp p n=2nlnnn=2n14. 讨论下列级

27、数收敛区间 3n+5nnx； n(x+1)n nn=1n=115. 求下列幂级数的收敛域 (-1)n=1n-1n3nxnn-1x； (-1) nnnn=1(3) xn=1n-1nln(1+n)n-1(-1) (x+1) nn2nn=1 19 xn16. 求幂级数的收敛域及其和函数 nn=117. 求下列幂级数的收敛域及其和函数： (n-1)2x; (2) n+1n=1nxn(n+1) nn=1 (3) x2n(n=11-1) 2n+1un18. 若级数un收敛，并且lim=1，能否断定vn也收敛？ nvn=1n=1n19. 将ln(a+x)展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间. 20. 将l

28、gx展开成(x-1)的幂级数，并求展开式成立的区间. 21. 将下列函数展开成麦克劳林级数 ln(1+x+x) arctanx22.将函数f(x)= 23将函数f(x)=21+x 1-x1展开成(x-3)的幂级数. x1展开成(x+4)的幂级数. x2+3x+2224将函数ln(2x+x-3)在x=3处展开成泰勒级数. 25.将下列函数在制定点处展开成幂级数： f(x)=lnx，分别在x=1与x=2处；f(x)= 26.求幂级数x在x=1处 x+2xn的收敛半径与收敛域 n=1227求幂级数 28.求幂级数(2n+1)xn=12n+2的收敛域并求其和函数 2n1n-1(-1)1+n(2n-1)

29、x的收敛区间与和函数f(x). n=1x2n(x1，由极限的保号性可知，存在自然数N，使得当nN时，n+11成立，nuunn这表明当nN时，un同号且后项与前项的比值大于1.无妨设uN+10，于是有0uN+1uN+2Lun，从而limun0，故un发散，可见命题正确； nn=1设un=1,vn=-1(n=1,2,3,L)，于是命题不正确. 2.A 3.D(解析：因为该级数(un=1n+vn)=0收敛，但un和vn都发散. 可见n=1n=1(un=1n+vn)取(1-1）+L时，不难看出该结论不成立) 4.B (解析：因为x=-1是级数的收敛点，由阿贝尔定理知，在x-1-1-1=2内，级数绝对收敛.现x=2满足x-12，故选B) sin(na)15.B(解析：因sin(na)1，故由比较审敛法知绝对收敛，但发散，2nnn=1n=1 21 故所给级数发散). 6.C(解析：因ann=121收敛, 2,故n=1n+t(an2+n=11)收敛. 又2n+tann+t2 an121收敛，故所给级数绝对收敛). (an+2)，故由比较审敛法知22n+tn=1n=1n+t7.A(因0(un+vn)2(un+vnn=1)2=un2+2unvn+vn22un2+2vn2，又级数