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1、无穷级数无穷级数 一 数项级数 数列un,级数性质 级数un,kun(k0)具有相同敛散性。 n=1n=1un=1n,部分和数列sn,收敛，发散. 若un=s,vn=s,则(unvn)=ss. n=1n=1n=1注意：三个级数un,vn,(unvn)中，若其中两个收敛，则等三个也收敛；n=1n=1n=1若其中一个收敛，一个发散则第三个必发散。 在级数中去掉，加上或改变有限项，不改变级数的敛散性。 如果级数收敛，则对其项任意加括号后所成的级数也收敛。 如果级数un收敛，则其一般项un趋于零。 n=1注意：的逆否命题成立，可用以判定级数发散。 俩个重要级数： 等比级数：aqn-1当q1时级数收敛；
2、当p1时级数发散。 正项级数敛散的判定 定理正项级数un收敛的充要条件是其部分和数列sn上有界。 n=1n定理如果0unkvn(k为常数),那么若vn收敛n=1un=1也收敛；若unn=1发散vn=1n也收敛。 定理如果un0,vn0,limunvnn=l,那么当0l+时,un,vn具有相同n=1n=1的敛性；当l=0，vn收敛时un也收敛；当l=+,vn发散时，un也发散。 n=1n=1n=1n=1定理如果un0,发散。 un+1unr1,那么un=1n收敛；如果un0,un+1un1,那么un=1n定理如果un0,limun+1unn=r(0r+),那么当r1n=1时un发散；当r=1时u
3、n可能收敛，也可能发散。 n=1n=1定理如果un0,nunr1,那么un收敛；如果un0,nun1,那么unn=1n=1发散。 定理如果un0,limnnun=r(0r+)，那么当r1n=1时un发散；当r=1时un可能收敛，也可能发散。 n=1n=1注意：极限型式的比值判别法与根植判别法都是与等比级数比较得到的，当r1时 都有un不趋零。 任意项级数敛散判定 定理设交错级数(-1)n=1n-1un满足：unlimun=0,则级数收敛，且其和nsu1，其余项估计为rnun+1. 绝对收敛，条件收敛 定理如果级数un绝对收敛，那么级数un也收敛。 n=1n=1二幂级数 函数项数列un(x),函
4、数项级数un(x),收敛域，发散域，部分和数列Sn(x)，和n=1函数S(x). 幂级数an(x-x0),anxn.Abel定理，收敛半径，收敛区域。 nn=0n=0收敛半径求法： 达朗贝尔法： 对级数anx,设an0(n=1,2L),limnn=0an+1ann=r,则当0r+时R=1r；当r=0时R=+;当r=+时R=0. 柯西法： 对级数anxn,设an0(n=1,2L),limn=0nnan=r,则当0r+时R=1r；当r=0时R=+;当r=+时R=0. 幂级数的性质 幂级数的四则运算； 幂级数和函数的连续性； 幂级数的逐项微分，逐项积分。 泰勒级数展开定理： 设函数f(x)在包含点x
5、0的区间I内有任意阶导数，则f(x)在I内可展开成泰勒级数n=0f(n)(x0)n!(x-x0)的充要条件为limRn(x)=0,xI. nn常见的初等函数的幂级数展开 11-x=xn=0n,x0,s0); 根值法 比值法 讨论下列级数的敛散性 (-1)n=1nn(n-1;(-1)n=2)n-11lnn+an+1;sinpn=1(n+1;(-1)2)n-1nn+1; cosnpsinn=1pn+1; (-1)n=1lnnn; 提示un=sinnp+p(x+1-np=(-1)sinp2n)(32x+1-n。 )判别下列级数的敛散性，并说明是条件收敛还是绝对收敛 (-1)lnnn=1n+1n; (
6、-1)n=1n(n+1)!nnn+1; n=1cosnpn+n; (-1)n=1n+1lnnn!； (-1)a1(a0). sinnp+; nn1+alnnn=1n=1解un=ln条件收敛。 n+1n1n,n=11n发散n(-1)lnn=1n+1n发散；un0知原级数，比值法判别原级数绝对收敛；比较法判别原级数绝对收敛。 解un=(-1)sinn1lnn,un1lnn，故原级数发散，而un=sin1lnn0，所以原级数条件收敛。 解un=n=11n1+aan当a1时,1n1+aanaan=1an-1，故原级数绝对收敛； 1an当a1时,1n1+aana21n,故n=1n1+a发散， 考察函数f
7、(x)=x(1+ax),f(x)=1+ax+xaxlna a=1时f(1)=2;a0从而f(x)an(1+an)0原级数收敛且条件收敛。 求解下列各题 设l0,a收敛，则当a1时(-1)2nn=1nanna绝对收敛。 n=1+l提示：nana+l121an+a. 2n+lln1设un0(n=1,2L),且limunnlnn =l,试证明：当l1时，级数un收敛；n=1当l1时，级数un发散。 n=1求下列幂级数的收敛半径与收敛域 n=1xn(2n)!; (-1)(x-3)2n-2x; ; 1+n()2n-2!n-3n=1n=0n=1n-1n1nn2x2n; 111+L+2nn=1xn x;an
8、+bn. n=1n利用幂级数性质求下列幂级数的和函数 n=0(n+1)2n!(n+1)21312xx提示:=+,S(x)=(1+3x+x)en!n!(n-1)!(n-2)!n nxn=1n-11x-1nS(x)=()()(),x-1,1;nx-1,Sx=,x(0,2) 22(2-x)(1-x)n=1n=1(-1)n-12n-1x2n-1并求3(S(x)=arctanx,x-1,1); 2n-14(-1)nnn=12n-12nx2(n-1),并求n=1n-1n-1222n-12n-1x1x2(n-1)提示：; x=n-nn22222n=1111提示：=-或设S(x)=n(n+1)n(n+1)nn+1xn,(xS(x)=n=1xn-1; 2(-1)n+1n+1n+1nnx. x; n(n+1)x; n()nn+1n!3n=1n=0n=1利用幂级数的和函数求下列数项级数的和 n=11n2; nn=21111提示：=-; 22n+n-2n+n-23n-1n+21111-; n(2n+1); 2(2n)!(2n+1)!n=1(-1)n(-1)nnn提示：=()()2n+1!2n+1!n=0
