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1、第二章 复变函数的积分,本章将在复积分的基础上建立解析函数积分的柯西定理和柯西积分公式，它们是复变函数的基本理论和基本公式。复变函数积分理论是复变函数论中最困难，最有趣，最重要的核心内容。,第一节 复变积分的定义和性质,复变函数的积分定义为和的极限。,2复变函数积分的计算分解为实变函数的积分的计算,由积分的定义,二 复变函数积分的性质,由积分的定义+,三 复积分的计算方法,例2,(1)解,1,y=x,解2,积分路径的参数方程为,y=x,(2)积分路径的参数方程为,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,1.复变函数的积分定义为和的极限。,3.复变
2、函数积分的计算分解为实变函数的积分的计算,4.复变函数积分的性质,5.复积分的计算方法,(1)解,例3,(2)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,3到3+4i直线段的参数方程为,这两个积分都与路线l 无关,复习：格林公式平面上曲线积分与路径无关的条件定理 2设函数 P(x,y)、Q(x,y)在单连通域 D 内有一阶连续偏导数，则曲线积分 与路径无关的充要条件是,例4,解:,积分路径的参数方程为,例6,解,积分路径的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,已知:,思考：什么样的积分与路径有关？什么样的积分与路径无关？什么样的积分之值是零？,一 单连通区域的柯西定
3、理,第二节 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式,1851年,黎曼在附加条件“f(z)在D内连续”的条件下,借助于Green公式给出了一个简单的证明;1900年Goursat发表了柯西积分定理证明方法,他的证明较长且复杂;2004年莫国瑞、刘开第采用逼近论的方法给出了柯西积分定理的一个较为简单的证明，证明中用到逼近论和实分析等许多高深的知识;2005年王信松、陆斌采用调和分析的方法给出了柯西积分定理的一个简单证明,但是证明中用到了控制收敛定理等实分析的高级工具,不利于复变函数的教学.,D,复习：,证明：,根据格林公式：,由C-R条件,单连通区域的柯西定理,例3,解,根据柯西定理得,计算复变函
4、数的环路积分：首先应判断被积函数有无奇点？有何奇点？从而选择合适的公式计算。,二 原函数和定积分,三 复连通区域的柯西定理,此结论非常重要,用起来很方便,因为l不必是圆,a也不必是圆的圆心,只要a在简单闭曲线l内即可.,例题5,C为包含0与1的任何正向简单闭曲线。,解：,（由闭路变形原理(推论3)）,单连通区域的柯西定理,复连通区域的柯西定理,在 的解析区域中，积分回路连续变形，其积分值不变。,推论3,解,依题意知,例6,打洞!,Cauchy定理,重要公式,Cauchy定理,重要公式,四 小圆弧引理和大圆弧引理,第三节 解析函数的柯西积分公式,若 f(z)在该闭区域内解析，则,分析：,一 有界
5、区域的柯西积分公式,-解析函数可用复积分表示。,证 由于f(z)在 a连续,任给e 0,存在d(e)0,当|z-a|d 时,|f(z)-f(a)|e.设以 a为中心,R 为半径的圆周K:|z-a|=R全部在闭区域内部,且R d.,复连通域上的柯西积分公式,设D是由L,C1,C2,Cn围成的多连通区域，函数f(z)在 内解析，则对D内任一点，,注：,例1,解：,二 无界区域中的柯西积分公式,无界区域的柯西积分公式：如果 f(z)某一闭曲线L及外部解析,并且满足，则对于曲线L的外部a有 这就是无界区域中的柯西积分公式,证 以 原点为中心,以 R 为半径的圆周CR,将L和a全部包含在内，根据复连通区
6、域的柯西积分公式得到,根据条件当，即有。,复连通域上的柯西积分公式,设D是由L,C1,C2,Cn围成的多连通区域，函数f(z)在 内解析，则对D内任一点，,无界区域中的柯西积分公式,无界区域的柯西积分公式：如果 f(z)沿某一闭曲线L及外部解析,并且满足，则对于曲线L的外部a有,例3求积分,解：,（复连通区域柯西定理）,一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.,三 解析函数的高阶导数,解析函数的高阶导数公式：,证 设z为D内任意一点,先证n=1的情形,即,因此就是要证,因此,现要证当Dz0时I0,而,这就证得了当 Dz
7、0时,I0.,f(z)在 上解析,则有界,设界为M,则在C上有|f(z)|M.d为 z到C上各点的最短距离,则取|Dz|适当地小使其满足|Dz|d/2,因此,这就证得了,再利用同样的方法去求极限:,依此类推,用数学归纳法可以证明:,注：高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,例4 求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r 1.,解 1)函数 在C内的z=1处不解析,但cospz在C内却是处处解析的.,练习,解,1.柯西定理2.重要公式,1.柯西积分公式2.高阶导数公式,-一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.,四 柯西公式的推论,1 平均值公式,如果C是圆周,则柯西积分公式：,2 柯西不等式：,证明：,注1：解析函数的导数模的估值与区域的大小有关；,注2：,3 刘维尔定理：全平面的有界解析函数必为常数。,证明：对复平面上任一点z，,1)“在整个复平面解析且有界的复变函数必是常数”。由此我们是否可推断：“在整个数轴上解析且有界的实函数一定是常数”？2)ez,sinz等不为常数，所以均无界。,4 最大模原理：,证明：,注：,
