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1、,注：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。3、将t 0，f(t)=0的信号称为因果信号，将t 0，f(t)=0的信号称为反因果信号。4、阶跃函数(t)和冲激函数(t)不同于普通函数，称为奇异函数。,二、系统的特性1.连续系统与离散系统2.动态系统与即时系统3.MIMO4.线性系统与非线性系统（齐次+可加）5.时不变系统与时变系统6.因果系统与非因果系统7.稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，
2、其yf(.)则称系统是稳定的。,三、LTI系统的分析方法:时域和频域1、时域:齐次解+特解 齐次解 是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 的解。yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解 的函数形式与激励函数的形式有关。齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,对于零输入响应，由于激励为零，故有 yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有 yf(j)(0-)=0冲激相应 由
3、单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t)输入信号f(t)的零状态相应为,信号卷积与卷积和,类比：连续与离散基本信号的对应关系,复指数函数：,复指数序列,单位冲激信号：,单位阶跃信号：,正弦信号：,虚指数信号：,单位脉冲序列,单位阶跃序列,正弦序列,虚指数序列,n=0,1,2，,表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。Fn 是频率为n的分量的系数，F0=A0/2为直流分量。,一、周期信号的傅立叶级数,周期信号的频谱,周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系,傅立叶变换和系统的频域分析,周
4、期信号频谱的特点,举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示，求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）,n=0,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。,零点为,特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,谱线的结构与波形参数的关系：,(a)T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。(b)一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到
5、非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。,（3）信号的能量主要集中在第一个零点以内，通常把0f 1/这段频率范围成为周期矩形脉冲信号的频带宽度或信号的带宽。,周期信号的功率Parseval等式,含义：直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功 率之和。,周期信号一般是功率信号，其平均功率为,表明：对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在 频域中求得的信号功率相等。,二、非周期信号的频谱傅里叶变换,傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小
6、量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,考虑到：T，无穷小，记为d；n（由离散量变为连续量），而,同时，,于是，,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。F(j)可看做是单位频率的振幅。f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,门函数(矩形脉冲),带宽f=1/,冲激函数(t),均匀谱（白色频谱）,1.F 变换对,傅立叶变换的重要性质,1、尺度变换性质,If f(t)F(j)then,在时域中信号占据时间的压缩对应于其频谱在频域中信号占有频带的扩展，即信号的持续时间与信号的占有频
7、带成反比。在电子技术中，有时需要将信号的持续时间缩短，以加快信息传输速度，这就不得不在频域内展宽频带。,2、频移（调制）性质,If f(t)F(j,then,),where“0”is real constant,三、能量谱和功率谱,能量谱,1.信号能量的定义：时间（-,）区间上信号的能量。,信号(电压或电流)f(t)在1电阻上的瞬时功率为|f(t)|2,在区间（-T,T）的能量为,如果信号能量有限，即0E，信号称为能量有限信号，简称能量信号。例如门函数，三角形脉冲，单边或双边指数衰减信号等。,2.帕斯瓦尔方程（能量方程）：,在频带df内信号的能量为E()df，因而信号在整个频率区间（-,）的总
8、能量为：,3.能量密度谱E()：(Energy-density Spectrum),为了表征能量在频域中的分布情况，可以借助于密度的概念，定义一个能量密度函数，简称为能量频谱或能量谱。能量频谱E()定义为单位频率的信号能量。,上式与帕斯瓦尔公式进行比较可知，能量密度谱E()为：,单位频率的幅度,单位频谱的信号能量,功率谱,由信号能量和功率的定义可知，若信号能量E有限，则P=0；若信号功率P有限，则E=。,1.信号功率：定义为时间（-,）区间上信号f(t)的 平均功率，用P表示。,如果信号功率有限，即0P，信号称为功率有限信号，简称功率信号。如阶跃信号，周期信号等。,如果f(t)为实函数，则,功
9、率有限信号的能量趋于无穷大，即,从f(t)中截取|t|T/2的一段，得到一个截尾函数fT(t)，它可以表示为：,如果T是有限值，则fT(t)的能量也是有限的。令,fT(t)的能量ET可表示为：,由于,f(t)的平均功率为：,当T增加时，fT(t)的能量增加，|FT(j)|2也增加。当T时，fT(t)f(t)，此时|FT(j)|2/T可能趋于一极限。,比较得：,2.功率密度谱：类似于能量密度谱，定义功率密度谱 函数P()为单位频率的信号功率。从而平均功率：,功率有限信号的功率谱函数P()与自相关函数R()是一对傅里叶变换。,3、功率谱函数和自相关函数的关系,上式称为维纳辛欣关系。由于随机信号不能
10、用频谱表示，但是利用自相关函数可以求得其功率谱，用功率谱来描述随机信号的频域特性。,四、周期信号的傅里叶变换,由上式可知：周期信号的频谱是离散的,注：对周期函数进行傅立叶变换时，得到的是频谱密度；而将该函数展开为傅立叶级数时，得到的是傅立叶系数，代表的是虚指数分量的幅度和相位。,五、LTI系统的频域分析,傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。,对周期信号：,对非周期信号：,其基本信号为 ej t,1、基本信号ej t作用于LTI系统的响应,设LTI系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率的基本信号ej t时，其响应,y(t)=h(t)*ej t,H(j)反映了响应y(t
11、)的幅度和相位。,y(t)=H(j)ej t,而上式积分 正好是h(t)的傅里叶变换，记为H(j)，常称为系统的频率响应函数。所以：,2、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应,ej t,H(j)ej t,F(j)d ej t,F(j)H(j)d ej t,f(t),y(t)=F 1F(j)H(j),Y(j)=F(j)H(j),3、无失真传输与滤波,系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。,1、无失真传输,（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后
12、不同，而没有波形上的变化。即 输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t)=K f(ttd)其频谱关系为 Y(j)=Ke jtdF(j),系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j)的要求是：(a)对h(t)的要求：h(t)=K(t td)(b)对H(j)的要求：H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即 H(j)=K,()=td,上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有限带宽的信号是，只要在信号占有频带范围内，系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。,(2)无失真传输条件：,2、理想低通滤波器,具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。c称为截止角频率。理想低通滤
13、波器的频率响应可写为：,(1)冲激响应,h(t)=-1g 2 c()e-jtd=,可见，它实际上是不可实现的非因果系统,六、取样定理,取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示。这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁。为其互为转换提供了理论依据。,一、信号的取样,所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。这样得到的离散信号称为取样信号。,冲激取样,若s(t)是周期为Ts的冲激函数序列Ts(t),则称为冲激取样。,如果f(t)是带限信号 即f
14、(t)的频谱只在区间（-m，m)为有限值，而其余区间为0。,设f(t)F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数,FS(j)=(1/2)F(j)*S s(),S=2/TS,s(t)=Ts(t)S s(),=,*,=,上面在画取样信号fS(t)的频谱时，设定S 2m,这时其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)，从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。否则将发生混叠，而无法恢复原信号。,七、序列的傅里叶分析,1、周期序列的离散傅里叶级数（DFS）,具有周期性的离散时间信号可以表示为fN(k),其下标N表示其周期为N，即有,对于连续时间信号，周期信号fT(t)可以分解为
15、一系列角频率为n(n=1,1,2,)的虚指数e jnt(其中=2/T为基波角频率)之和。类似地，周期为N的序列fN(k)也可展开为许多虚指数e jnk=e jn（2/N）k（其中=2/N 为基波数字角频率）之和。,称为离散傅里叶系数。,称为周期序列的离散傅里叶级数。,为书写方便，令,并用DFS表示离散傅里叶系数（正变换），以IDFS表示离散傅里叶级数展开式（逆变换），则有,2、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT),与连续时间信号类似，周期序列fN(k)在周期N时，将变成非周期序列f(k),同时FN(n)的谱线间隔(2/N)趋于无穷小，成为连续谱。,当N时，n n(2/N)趋于连续变量(数
16、字角频率,单位为rad)。定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform,DTFT)为:,可见，非周期序列的离散时间傅里叶变换F(e j)是的连续周期函数，周期为2。通常它是复函数，可表示为：,定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶逆变换为:(Inverse Discrete Time Fourier Transform,IDTFT),通常用以下符号表示对序列f(k)求离散时间傅里叶正变换和逆变换:,八、离散傅里叶变换及其性质,离散傅里叶级数变换(DFS)无论在时域还是在频域，只对N项求和，故可以用数字计算机进行计算。可以借助离散傅里
17、叶级数的概念，把有限长序列作为周期性离散信号的一个周期来处理，从而定义了离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。,设有限长序列的长度为N(在k=0到N-1的范围)，则f(k)的离散傅里叶变换及其逆变换定义分别为,F(n)(DFT)与F(e j)(DTFT)的关系,由于将有限长序列f(k)看作周期为N的周期序列fN(k)的主值序列，故,与有限长序列傅里叶变换的定义进行比较得：,系统函数,一、对于离散系统：,2、离散系统H(z)与系统频率响应：,设H(z)的收敛域包含单位圆，对因果系统，H(z)的极点全部在单位圆内，则系统的频率响应为：,令,则,二、系统的因
18、果性与稳定性,1、系统的因果性 因果的即为物理可实现的,因果系统（连续的或者离散的）指的是，系统的零状态响应 不出现于激励 之前的系统。也就是说，对于t=0(或k=0)接入的任意激励，即对于任意的,就称该系统为因果系统，否则为非因果系统。,如果系统的零状态响应都有,连续因果系统的充要条件：,或者，系统函数H(s)的收敛域为：,离散因果系统的充要条件：,或者，系统函数H(z)的收敛域为：,即其收敛域为收敛坐标 以右的半平面。,即其收敛域为半径等于 的圆外区域。,2、系统的稳定性：,稳定系统的定义：设计和分析中的关键问题,一个系统（连续的或离散的），如果对任意有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定系统。,1.对于既是稳定的又是因果的离散系统，其系统函数极点都在单位圆内。其逆也是成立的，即若H(Z)的极点均在单位圆内，则该系统必是因果稳定的。,2.最小相位系统离散系统函数的极点和零点都在单位圆内的系统为最小相位系统。其逆系统也必然是最小相位系统。工程上用此性质来消除失真。,3.全通系统系统函数的极点和零点关于单位圆镜像对称，对于一个稳定的全通系统，是最大相位系统。,
