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1、,第三章 微分中值定理第一节 中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小结思考题,一、罗尔(Rolle)定理,例如,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,证,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有
2、限增量公式.,微分中值定理,推论,例2,证,例3,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,例4,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,练 习 题,练习题答案,第二节 洛必达法则,三、小结,定义,例如,定理,定义 这种在一定条件下通过
3、分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,证,定义辅助函数,则有,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.,例6,解,例7,解,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.,步骤:,例8,解,步骤:,步骤:,例9,解,例10,解,例11,解,例12,解,极限不存在,洛必达法则失效。,注意：洛必达法则的使用条件,三、小结,思考题,思考题解答,不一定,例,显然,极限不存在,但,极限存在,练 习 题,练习题答案,第三节 泰勒(Taylor)定理 一、问题的提出 二、Pn和Rn的确定
4、三、泰勒中值定理 四、简单应用 五、小结 思考题,一、问题的提出,（如下图）,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,三、泰勒(Taylor)中值定理,证明:,拉格朗日形式的余项,皮亚诺形式的余项,注意:,麦克劳林(Maclaurin)公式,四、简单的应用,解,代入公式,得,由公式可知,估计误差,其误差,常用函数的麦克劳林公式,解,播放,五、小结,播放,思考题,利用泰勒公式求极限,思考题解答,练 习 题,练习题答案,五、小结,五、小结,五、小结,五、小结,五、小结,第四节 函数单调性的判定法 一、
5、单调性的判别法 二、单调区间求法 三、小结 思考题,一、单调性的判别法,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,三、小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的
6、重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,思考题,思考题解答,不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,练 习 题,练习题答案,第五节 函数极值及其求法 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、小结 思考题,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例1,解,列表讨论,极
7、大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,例2,解,图形如下,注意:,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,三、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),思考题,下命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,练 习 题,练习题答案,第六节 最大值、最小值问题 一、最值的求法 二、应用举例 三、小结 思考题,一、最值的求法,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和
8、不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),二、应用举例,例1,解,计算,比较得,例2,敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？,解,(1)建立敌我相距函数关系,敌我相距函数,得唯一驻点,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,例3,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租
9、出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高.,最大收入为,例4,解,如图,解得,三、小结,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,练 习 题,练习题答案,第七节 曲线的凹凸与拐点 一、曲线凹凸的定义 二、曲线凹凸的判定 三、曲线的拐点及其求法 四、小结 思考题,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦
10、的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,二、曲线凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、拐点的求法,证,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,四、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1,2.,思考题,思考题解答,例,练 习 题,练习题答案,第五题图,第九节 曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、小结 思考题,一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,定义,二、曲线凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、拐点的求法,证,方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,四、小结,曲线的弯曲方向凹凸性;,改变弯曲方向的点拐点;,凹凸性的判定.,拐点的求法1,2.,思考题,思考题解答,例,练 习 题,练习题答案,第五题图,
