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1、1,第 8 章,（The theory of molecular motion of gas)(6),气体动理论,热 学,(Thermodynamics),2,分子物理学是从物质的微观结构出发,应用统计的方法,研究微观态和宏观态的联系,揭示宏观量的微观本质。热力学是从能量守恒和转化的角度来研究热运动规律的,不涉及物质的微观结构。它根据由观察和实验所总结出的基本规律(主要是热力学第一定律、第二定律等),用逻辑推理的方法,研究物体的宏观性质及宏观过程进行的方向和限度等。,热学是研究热现象的规律及其应用的学科,它包括分子物理学和热力学两个方面。,3,8-1 热力学系统 平衡态,一.热力学系统 宏观物
2、体是由大量分子和原子组成的一个系统,这个系统就称为热力学系统。与外界完全隔绝(即与外界没有质量和能量交换)的系统,称为孤立系统。与外界没有质量交换和但有能量交换的系统,称为封闭系统。与外界既有质量交换又有能量交换的系统,称为开放系统。二.理想气体 严格遵守四条定律(玻意耳定律、盖-吕萨克定律、查理定律和阿伏伽德罗定律)的气体,称为理想气体。,4,在不受外界影响(孤立系统)的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态,称为平衡态。平衡态不同于系统受恒定外界影响所达到的定态。平衡态仅指系统的宏观性质不随时间变化,但微观上分子仍在不停地运动和变化。四.状态参量 描述平衡态下系统宏观属性的一组独立宏观量
3、状态参量。气体处于平衡态的标志是状态参量P、V、T处处相同且不随时间变化。,三.平衡态,5,(8-1),单位:SI 压强 p:Pa帕斯卡(帕斯卡)。1atm=76cmHg=1.013105Pa(atmosphere)体积V：m3;1l=10-3 m3 温度T：K(T=273+t C)M:气体质量(kg);Mmol:摩尔质量(kg)。普适气体恒量:R=8.31(J.mol-1.K-1),8-2 热力学第零定律(自学),8-3 理想气体的状态方程,6,玻耳兹曼常量 k=R/No=1.3810-23(J.K-1)R=8.31(J.mol-1.K-1)于是理想气体状态方程又可写为 pV=NkT,式中：
4、n=N/V分子的数密度。,m分子质量,N 气体分子数,(8-1),7,例题8-1 估算在标准状态下，每立方厘米的空气中有多少个气体分子。,解 由公式：p=nkT，标准状态:p=1atm=1.013105Pa,T=273,=2.71025(个/m3)=2.71019(个/cm3),8,例题8-2 一氧气瓶的容积V=32l,瓶中氧气压强p1=130atm。规定瓶内氧气的压强降到p2=10atm时就得充气,以免混入其他气体而需洗瓶。一车间每天需用pd=1atm的氧气Vd=400 l,问一瓶氧气能用几天?,解 抓住：分子个数的变化，用 pV=NkT求解。,使用后瓶中氧气的分子个数:(设使用中温度保持不
5、变),每天用的氧气分子个数:,能用天数：,未使用前瓶中氧气的分子个数:,9,例题8-3 一长金属管下断封闭,上端开口,置于压强为po的大气中。今在封闭端加热达T1=1000K,而另一端则达到T2=200K，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到TE=100K。计算此时管内气体的压强(不计金属管的膨胀)。,解 初态(加热时)是定态,但不是平衡态。末态是平衡态。关键是求出管内气体的质量。,L 管长,对x处的气体元(dx,dM)可视为平衡态:,10,S 管横截面积,11,末态:封闭开口端,并使管子冷却到TE=100K。,12,8-4 理想气体的压强和温度,一.理想气体的微观模型(1)分子
6、本身的线度与分子之间的平均距离相比可忽略不计。(2)分子之间距离很大,除碰撞的瞬间外,可不计分子间的相互作用力;如无特殊考虑,重力也可忽略。(3)分子之间以及分子与容器壁之间的碰撞是完全弹性的,即气体分子的动能不因碰撞而损失。(4)分子在做永不停息的热运动。无外力场时，处于平衡态的气体分子在空间的分布是均匀的；分子沿任一方向运动的概率是相等的，于是可作出如下统计假设：,13,二.理想气体的压强公式,理想气体处于平衡态下，气体在宏观上施于器壁的压强,是大量分子对器壁不断碰撞的结果。,单位时间内与器壁A上单位面积碰撞的分子数,显然就是在此斜柱体中的分子数：niix 一个分子碰撞一次给器壁A的冲量：
7、,2mix,14,单位时间内与器壁A上单位面积碰撞的分子数：niix 一个分子碰撞一次给A面的冲量：2mix,这些分子单位时间内给予器壁A单位面积上的冲量就为：2mniix2,对所有可能的速度求和，就得单位时间内给予器壁A单位面积上的总冲量：,15,考虑到，平均来说，ix0和ix0的分子各占一半。故单位时间内给予器壁A单位面积上的总冲量,单位时间内给予器壁A单位面积上的总冲量：,即单位面积上的平均冲力压强为:,16,所以压强：,17,理想气体的压强公式：,(8-3),气体分子的平均平动动能,压强：,18,三.温度的统计意义,从以上两式消去p可得分子的平均平动动能为,可见，温度是分子平均平动动能
8、的量度。这就是温度的统计意义。应当指出，温度是大量分子热运动的集体表现,只具有统计意义；对于单个分子,说它有温度是没有意义的。,因 p=nkT，,19,四.混合气体内的压强 道尔顿分压定律,设容器内有多种气体，n=n1+n2+ni+nn,其中ni是第i种气体的分子数密度,由压强公式有,于是有 p=p1+p2+pn,这就是说，总压强等于各气体分压强之和，这就是道尔顿分压定律。,20,例题8-4 一容器体积V=1m3,有N1=11025个氧分子，N2=41025氮分子，混合气体的压强p=2.76 105pa,求分子的平均平动动能及混合气体的的温度。,解 由压强公式,所以,=8.26 10-21J,
9、又,混合气体的的温度：,=400K,21,例题8-5 两瓶不同种类的气体，温度、压强相同，但体积不同，则(1)它们单位体积中的分子数,相同。,(2)它们单位体积中的气体质量,不相同。,(3)它们单位体积中的分子平均平动动能的总和,(p=nkT),(=mn),相同。,22,8-5 能量按自由度均分定理,一.气体分子的自由度 自由度确定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数目。单原子气体分子 可视为质点,确定它在空间的位置需3个独立坐标，故有3个平动自由度。刚性双原子气体分子 两原子之间成哑铃似的结构,确定它的质心,要3个平动自由度，确定连线，要2个转动自由度；所以共有5个自由度。,23,确定它的质
10、心,要3个平动自由度，确定连线，要2个转动自由度；确定沿连线的振动,要1个振动自由度，所以共有6个自由度。,非刚性双原子气体分子相似为弹簧哑铃似的结构,多原子气体分子(原子数n3)刚性:6个自由度(3个平动自由度,3个转动自由度);非刚性：有3n个自由度,其中3个是平动的,3个是转动的,其余3n-6是振动的。,在常温下,不少气体可视为刚性分子,所以只考虑平动自由度和转动自由度,但在高温时,则要视为非刚性分子,还要考虑振动自由度。,24,气体分子自由度小结,特别是对刚性气体分子，自由度为,气体分子的自由度：,25,在上节中我们已得到分子的平均平动动能,二.能量按自由度均分定理,可见，分子的平均平
11、动动能是均匀地分配在3个自由度上的，即每个平动自由度上的平均平动动能都相等，都为。,26,能量按自由度均分定理：,理想气体处于平衡态时,其分子在每个自由度上的平均动能都相等，都为。,设某分子有t个平动自由度，r个转动自由度，s个振动自由度，则该 分子的总自由度：i=t+r+s;,分子的平均总动能：,分子的平均振动动能：,分子的平均转动动能：,分子的平均平动动能：,27,分子的平均总能量：,对每个振动自由度，由于平均势能和平均动能相等,故分子不仅有 的平均动能,还应有 的平均振动势能。因此，,(8-5),这里：i=t+r+s，是分子的总自由度。,对刚性气体分子(无振动自由度),平均总能量:,(8
12、-6),28,三.理想气体的内能,对于实际气体来讲,除了分子的各种形式的热运动动能和分子内部原子间的振动势能外,由于分子间存在着相互作用的保守力,所以分子还具有与这种力相关的势能。所有分子的这些形式的热运动能量和分子间势能的总和,叫做气体的内能。理想气体分子间无相互作用,所以理想气体的内能是所有分子的热运动能量的总和。由于一个(刚性)分子的平均总能量为,所以一摩尔理想气体的内能为,(Nok=R),29,M千克理想气体的内能为,例8-6 容器内盛有单原子理想气体，测得压强为p，那么单位体积中的内能为多少？,解 由(8-14)的内能公式：,所以,30,例8-7 容器内有co2和o2 两种混合气体，
13、混合气体的热力学温度T=290K,总的内能E=9.64105J,总质量M=5.4kg，求两种气体的质量。,解 设co2的质量为M1，o2的质量为M2，则 M1+M2=M总的内能：,解得：M1=2.2kg,M2=3.2kg。,视为刚性分子。,31,例8-8 如图8-6，容器两边是同种气体，左边的压强、温度、体积分别是p1、T1、V，右边的压强、温度、体积分别是p2、T2、V；抽去中间的隔板，让两边的气体混合(设混合过程中气体与外界无能量交换)，求平衡时的压强和温度。,解 因混合过程中气体与外界无能量交换，所以混合前后气体的内能不变：,又 p1V=v1RT1,p2V=v2RT2 p(2V)=(v1
14、+v2)RT解得,32,8-6 麦克斯韦气体分子速率分布律,气体分子热运动的一个重要特征是分子间存在频繁的碰撞(每秒钟要碰撞约上百亿次！)。由于频繁的碰撞，分子的速率在不断地改变着。因此，在某一个特定的时刻去观察某个特定的分子，它的速度具有怎样的量值和方向，那完全是偶然的，也是毫无意义的。然而在平衡态下，就大量分子而言，分子的速率分布却遵循一个确定的统计规律。这是1859年麦克斯韦首先应用统计概念导出的，称为麦克斯韦速率分布定律。,学习重点：统计意义,33,一.麦克斯韦速率分布定律,理想气体处于温度T的平衡态时,在速率区间+d 内的分子数为 dN=Nf()d(8-8)这就是麦克斯韦速率分布定律
15、。,式中N为分子总数，f()称为麦克斯韦速率分布函数，它为,式中：m是气体分子的质量,k是玻耳兹曼常数。,(8-9),34,1.麦克斯韦速率分布函数f()的物理意义,由 dN=Nf()d,f()表示：在速率附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。(或叫做：分子速率出现在附近的单位速率区间内的概率概率密度。),在速率区间+d 内的分子数占总分子数的百分比。,35,2.麦克斯韦速率分布曲线,(a)速率分布特征：速率可取0内的一切值；但速率很小和很大的分子所占的百分比较小，中等速率的分子最多。(b)曲线有一个最大值，对应的速率为,最可几(概然)速率,36,最可几(概然)速率的物理意义是：在温
16、度T的平衡态下，速率在p附近单位速率区间内的的分子数最多。,(c)曲线下面积的物理意义,在速率区间1 2 内的分子数占总分子数的百分比。,37,整个曲线下的面积,即,这一关系式称为分布函数f()的归一化条件。归一化条件的物理意义是：分子速率在0间的概率是1。,38,二.三种统计速率,1.最可几(概然)速率p与分布函数f()的极大值对应的速率。,由极值条件df()/d=0可以得到,(8-10),39,解 速率区间+d 内的分子数:dN=Nf()d 速率区间+d 内的分子速率之和:dN=N f()d 速率区间1 2内分子速率之和:,速率区间1 2内的分子数:,于是速率区间1 2 内分子的平均速率为
17、,例8-9 求速率区间1 2 内分子的平均速率。,40,速率区间0内分子(全体分子)的平均速率为,完成积分，求得平均速率为,2.平均速率,41,3.方均根速率,与求平均速率类似：,于是方均根速率为,42,例8-10(1)n f()d 的物理意义是什么？(n是分子的数密度),n f()d 表示单位体积中，速率在+d 内的分子数。,(2)写出速率不大于最可几速率p的分子数占总分子数的百分比：,(f()d 速率区间+d 内的分子数占总分子数的百分比。此题区间:0 p),=42.9%,43,例8-11(1)图8-10中是同温度下，H2和O2 的麦克斯韦速率分布曲线，由图可知，H2的最可几速率为 m/s
18、;O2的最可几速率为 m/s。,4000,1000,1.03kg/m3,44,例8-12 图8-11中是某种气体在不同温度下的麦克斯韦速率分布曲线，已知T2T1。由图可知，随着温度的升高，曲线高度降低了，这是为什么？,答：当温度升高时,气体分子的速率普遍增大,速率分布曲线上的最大值也向量值增大的方向迁移,即最可几(概然)速率增大了;但因曲线下总面积,即分子数的百分率的总和是不变的,因此分布曲线在宽度增大的同时,高度降低,整个曲线显得较为平坦些。,45,解(1)由归一化条件:,46,N,47,8-7 玻耳兹曼分布定律,玻耳兹曼从理论上导出:在温度为T的平衡态下,气体分子处在坐标区间(x x+dx
19、,y y+dy,z z+dz)和速度区间(x x+dx,y y+dy,z z+dz)内的分子数为,1.玻耳兹曼分布律,式中:no表示势能EP为零处单位体积中的分子数，E=Ek+Ep是分子的总能。,特点：几率因子 决定着分子的分布。,48,设处于能态E1,E2(E1 E2)上的分子数分别为N1，N2，根据玻耳兹曼分布律，有,由于E2 E1,所以N2N1。即：通常温度下,处于低能态的分子数总是多于处于高能态的分子数。也就是说,按统计分布来看,分子总是优先占据能量较低的状态。这叫正常分布。,49,+,+,将上式对所有可能的速度积分,可得坐标区间(x x+dx,y y+dy,z z+dz)内的分子数:
20、,2.重力场中粒子按高度的分布,50,两边除以dxdydz,并将Ep=mgz代入得,上式称为等温气压公式。Po=nokT为z=0处的压强。将上式取对数,可得,在坐标区间(x+dx,y+dy,z+dz)内的分子数为,51,例8-14 飞机起飞时,压强po=1atm、温度t=27C;当压强变为p=0.8atm时，飞机的高度是多少？,解 由公式：,代入R=8.31,T=300,Mmol=2910-3,g=9.8,得,Z=1.96km。,52,*8-8 分子碰撞与平均自由程,在室温下,气体分子以每秒几百米的平均速率运动着。这样看来,气体中一切过程都应在一瞬间就会完成，但实际情况并不如此。例如，打开香水瓶后,香味要经过几秒到几十秒的时间才可能传到几米远的地方。这是为什么呢?这是由于分子间存在频繁的碰撞(每秒钟要碰撞约上百亿次！)，结果使分子走过一条艰难曲折的道路。,事实上,气体中发生的过程都取决于分子间碰撞的频繁程度。因而,对碰撞问题的研究具有重要意义。,53,平均碰撞频率每个分子在1秒内与其他分子的平均碰撞次数。,自由程分子在连续的两次碰撞之间,作惯性支配的自由运动所通过的路程。平均自由程自由程的平均值。可以证明：平均自由程为,式中：d为分子的有效直径，n为分子数密度。显然，平均碰撞频率为,54,解(1),=5105pa,(2),=445,=170108(次/秒),=每秒170亿次！,
