正弦稳态电路分析课件.ppt

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1、第4章 正弦稳态电路分析,4.1 正弦量的基本概念4.2 正弦量的相量表示法4.3 基尔霍夫定律的相量形式4.4 电路元件VCR的相量形式4.5 阻抗与导纳4.6 正弦稳态电路的相量分析4.7 正弦稳态电路的功率4.8 最大功率传递定理*4.9 应用性学习：日光灯电路与转换电路设计,重点：1.掌握阻抗、导纳的定义及其计算。2.掌握用相量法进行正弦稳态电路的分析及计算。3.了解及掌握正弦稳态电路中的功率分析与计算，包括有功功率、无功功率、视在功率、功率因数。4.了解及掌握正弦稳态电路中提高功率因数的意义及其方法。,三要素：角频率、振幅和初相位。,4.1 正弦量的基本概念,定义：随时间按照正弦或余

2、弦规律变化的物理量。,数学表达式为：,注意：,（1）计时起点不同，初相位不同。,（2）|。,（3）如果余弦波的正最大值发生在计时起点之后，则初相位为负；如果余弦波的正最大值发生在计时起点之前，则初相位为正。,（4）对任一正弦量，初相位可以任意指定，但同一电路中许多相关正弦量只能对于同一计时起点来确定各自的相位。,角频率：,周期：正弦量变化一周所需要的时间，用T表示，单位为s（秒）。,4.1.1 周期、频率和角频率,频率：正弦量每秒变化的次数，用f表示，单位为Hz（赫兹）。,幅值（振幅或峰值）：瞬时值中的最大值。Um、Im,有效值：让一个正弦交流电和一个直流电同时通过阻值相同的电阻，如果在相同的

3、时间内产生的热效应相同，则把该直流电的数值就定义为交流电的有效值。U、I,4.1.2 瞬时值、振幅和有效值,瞬时值：正弦量对应某一时刻的电压和电流的数值。i（t）、u（t）,热量,交流电流的有效值I也称为方均根值。,正弦电流的有效值与幅值的关系为,或者,正弦交流电的表达式也可以写作,注意,(1)工程上所说的正弦交流电压、电流一般均指有效值。但电力器件、导线、设备等的绝缘水平、耐压值指的是正弦电压、电流的最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,(2)测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数均为有效值。,【例】有一电容器，耐压值为250 V，问能否接在220 V的民用电源上？,解

4、 因为民用电是正弦交流电，U=220V，Um=380V，Um 250 V，可能击穿电容器，所以不能直接接在220 V的民用电源上。,单位：弧度或度,初相在主值范围内取值，即 i。,单位：弧度（rad）,2.初相位或初相（i）：t=0时刻的相位。,4.1.3 相位、初相位与相位差,1.相位（t+i）：反映了正弦量随时间变化进程的电角度。,相位差为：,3.相位差：表示两个同频率正弦量之间的相位关系,有两个同频率的正弦量：,相位差也是在主值范围内取值，即,注意：,两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数名、同符号，且在主值范围内比较。,1.j 0，u 领先(超前)i，或i 落后(滞后)u,2.j

5、 0，i 领先(超前)u，或u 落后(滞后)i,3.j=0，u与i同相,4.j=180o，u与i反相,5.=90，u与i 正交,【例】已知正弦电流波形如图所示，其中=103 rad/s。(1)写出正弦电流i(t)的表达式；(2)求正弦电流最大值发生的时间t1。,(1)(2)(3)(4),和,和,和,和,【例】计算下列两正弦量的相位差。,4.2 正弦量的相量表示法,4.2.1 复数与复数运算,(2)三角函数形式,a称为复数A的模,称为复数A的辐角,虚数的单位,(1)代数形式,复数A可以用下述几种形式来表示,(3)指数形式,根据欧拉公式,复数A写成指数形式,(4)极坐标形式,复数的加减运算：,几何

6、意义：,复数的乘、除运算：,几何意义：,复数的相等：,注意：两个复数可比较相等，但是不能比较大小。,实部与实部相等，虚部与虚部相等；或模与模相等，辐角与辐角相等。,任意复数 乘以 等于把复数G逆时针(或顺时针)旋转一个角度，而它的模不变。,旋转因子,【例】计算 复数,解,解：,【例】计算 复数,欧拉公式,则复函数,正弦电压,4.2.2 正弦量的相量表示法,定义,则正弦电压可表示为：,正弦电流也可表示为,当频率一定时，正弦量与相量有一一对应的关系：,注意：,相量只是表征正弦量但并不等于正弦量。,相量在复平面上的图形称为相量图,注意：只有相同频率的正弦量才能画在同一张相量图上。,(2)正弦量的微分

7、是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量i的相量 乘以j。,(3)正弦量的积分为同频率的正弦量，其相量等于原正弦量i的相量 除以j，即模为，相位滞后于相量。对i的n重积分的相量为,同频率正弦量的相量运算,（1）同频率正弦量的代数和依然是同频率的正弦量。,【例】已知电流i1=10sin(314t+60)A，i2=4cos(314t+60)A，试写出电流的相量，并画出它们的相量图。,解：,i1=10sin(314t+60)A i2=10cos(314t 30)A,故i1、i2的相量表示为：,【例】已知两个同频率的正弦电压相量,和,其频率f=50 Hz，求u1和u2的时域表达式。,解：,【例】已知电

8、流 和，求电流i1+i2。,解：,正误判断,1.已知：,？,有效值,？,3.已知：,复数,瞬时值,j45,？,最大值,？,？,负号,在时域电路中，对于任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和恒为零。,KCL的时域表示式为,KCL的相量形式为,4.3 基尔霍夫定律的相量形式,4.3.1 KCL的相量形式,KVL的相量形式为,KVL的时域表达式为,4.3.2 KVL的相量形式,对于电路的任一闭合回路，各支路电压的代数和等于零。,正弦电流,根据欧姆定律,又,4.4 电路元件VCR的相量形式,4.4.1 电阻元件VCR的相量形式,大小关系,相位关系,电流相量

9、为,电压相量为,相量形式有,【例】把一个10 的电阻元件接到频率为50 Hz，电压有效值为10 V的正弦电源上，求通过电阻的电流有效值为多少？若保持电压值不变，将电源频率改变为5000 Hz，这时的电流有效值又为多少？,解 因为通过电阻的电流与电源频率无关，所以电压有效值保持不变时，电流有效值相等，即,时域关系,又,4.4.2 电感元件VCR的相量形式,大小关系,相位关系,电流相量为,电压相量为,相量形式有,感抗：,量纲：,欧姆（）,感纳：,量纲：,西门子（S）,当=0时（直流）,L=0，UL=0，电感相当于短路,当 时,L，IL=0，电感相当于开路,解 当f=50 Hz时,当f=5000 H

10、z时,【例】把一个10 mH的电感元件接到频率为50 Hz，电压有效值为10 V的正弦电源上，求通过电感元件的电流有效值为多少？若保持电压值不变，将电源频率改变为5000 Hz，这时的电流有效值又为多少？,时域关系：,又,4.4.3 电容元件VCR的相量形式,大小关系,相位关系,电流相量为,电压相量为,相量形式有,容抗：,量纲：,欧姆（）,容纳：,量纲：,西门子（S）,当=0时（直流）,iC=0，电容相当于开路,当 时,uC=0，电容相当于短路,【例】把一个25 F的电容元件接到频率为50 Hz，电压有效值为10 V的正弦电源上，求通过电容元件的电流有效值为多少？若保持电压值不变，将电源频率改

11、变为5000 Hz，这时的电流有效值又为多少？,解 当f=50 Hz时,当f=5000 Hz时,4.4.4 受控源VCR的相量形式,指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？,在电阻电路中：,在电感电路中：,在电容电路中：,【练习】,在关联参考方向下，R、L、C各元件电压电流的相量形式方程为,电阻,电感,电容,4.5 阻抗与导纳,4.5.1 基本元件VCR的统一相量形式,阻抗，单位：欧姆（）,导纳，单位：西门子（S）,输入阻抗（或等效阻抗）：,4.5.2 无源单口网络的等效阻抗与导纳,阻抗的模：,阻抗角,Z称为单口网络的阻抗，又称为复阻抗,R=ReZ是等效阻抗的电阻分量,X=ImZ是等效阻抗的电抗

12、分量,R、X、|Z|、Z之间的关系为,阻抗三角形表示了阻抗模、阻抗角、电阻、电抗之间的关系,当X 0时，,电流滞后电压，整个电路呈感性。,当X 0时，,电流与电压同相位，整个电路呈阻性,电流超前电压，整个电路呈容性,当X=0 时，,对于R、L、C串联的正弦稳态电路来说，X=XL XC。,导纳：,单位：西门子（S）,导纳的模：,导纳角：,代数形式：,G、B、|Y|、Y之间的关系为,导纳三角形表示导纳模、电导、电纳、导纳角之间的关系,注意：,(1)单口网络N0的阻抗或导纳是由其内部的参数、结构和正弦激励源的频率决定的。,(2)单口网络N0中有受控源时，可能会出现|Z|90或|Y|90。,(3)单口

13、网络N0的两种参数Z和Y可以等效互换。,Z和Y互为倒数，其极坐标形式表示的互换条件为,等效互换常用代数形式。阻抗Z变换为等效导纳Y为,导纳Y变换为等效阻抗Z为：,一般情况下，,，,【例】图中有二个阻抗Z1=(6.16+j9)和Z2=(2.5j4)，它们串联后接在 的电源上，试求电流和各个阻抗上的电压 和。,解:,【例】图中有二个阻抗Z1=(3+j4)和Z2=(8j6)，它们并联后接在 的电源上，试计算电路中的电流、和。,解:,，,正误判断,？,？,？,？,在RLC串联电路中，,？,？,？,？,？,？,？,？,？,？,下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？,思考,思考,下列各图中给定的电路电流

14、、阻抗是否正确？,1.图示电路中,已知,电阻电路中,正弦稳态电路中,KCL：,KCL：,KVL：,KVL：,VCR：,VCR：,电阻电路中所有的定理、公式和分析方法，都可推广应用于正弦稳态电路的相量模型之中。,4.6 正弦稳态电路的相量分析,用相量法分析正弦稳态电路时的一般步骤如下：,(1)画出与时域电路相对应的电路相量模型，其中正弦电压、电流用相量表示。元件用阻抗（或导纳）表示。,(2)仿照直流电阻电路的分析方法，根据相量形式的两类约束，建立电路方程，用复数的运算法则求解方程，求解出待求各电流、电压的相量表达式。,(3)根据计算所得的电压、电流相量，变换为时域中的实函数形式。,【例】如图所示

15、电路中，,，R=30，L=0.12 H，C=12.5 F，求电压uad和ubd。,解 图(a)所示电路相对应的相量模型如图(b)所示。,4.6.1 简单正弦稳态电路的分析,根据元件的VCR的相量形式有,根据KVL，有,因此：,【例】已知图示正弦交流电路中交流电流表的读数分别为：A1为5 A，A2为20 A，A3为25 A，求：(1)图中电流表A的读数。(2)如果维持A1的读数不变，而把电源的频率提高一倍，再求电流表A的读数。,解法一(1)由于为并联，设元件上的电压为,可得,根据KCL得,因此总电流表A的读数为7.07 A,(2),设,当电流的频率提高一倍时，由于,不变，因此各元件上电压,保持不

16、变。但由于频率发生了变化，因此感抗与容抗相应地发生了变化。此时有,解法二 利用相量图求解。,为参考相量,根据元件电压、电流的相位关系知,总电流相量与三个元件的电流相量组成了一个直角三角形。因此电流表A的读数为,(1)频率为时，,(2)频率为2时，,【例】如图所示电路中电流表的读数为：A1=8 A，A2=6 A，试求：(1)若Z1=R，Z2=jXC，则电流表 A0的读数为多少？(2)若Z1=R，Z2为何参数，电流表 A0 的读数最大？I0max=？(3)若Z1=jXL，Z2为何参数，电流表 A0的读数最小？I0min=？(4)若Z1=jXL，Z2为何参数，可以使电流表A0=A1读数最小，此时表A

17、2=？,解(1)设以元件两端的电压相量为参考相量，画相量图如图(b)所示，则：,(2)总电流的有效值为两个分支路电流有效值之和，达到最大值：,(3)总电流的有效值为两个分支路电流有效值之差，达到最小值：,(4)Z1=jXL是电感元件，所以当Z2是电容元件且I2=16 A时，满足,【例】如图所示，已知电源电压,求电源电流i(t)。,解 电压源电压的相量为：,解：设,根据元件电压和电流之间的相量关系得：,【例】如图所示电路中I1=I2=5 A，U=50 V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。,令上面等式两边实部等于实部，虚部等于虚部得：,解：根据KVL有,【例】图(a)所示电路为阻容移相

18、装置，要求电容电压滞后电源电压60，问R、C应如何选择。,因此，若要电容电压滞后电源电压60，需满足,对结构较为复杂的电路，可以进一步应用电阻电路中的方程分析法、线性叠加与等效变换等方法进行分析。,【例】电路如图所示，其中r=2。求解i1(t)和i2(t)。已知uS(t)=10cos(103t)V。,4.6.2 复杂正弦稳态电路的分析,解：作相量模型如图(b)所示。其中,网孔电流相量方程为：,故得,解 采用导纳表示各元件，得节点的节点电压相量方程为,【例】电路相量模型如图所示。试列出节点电压相量方程。,节点：,解 作相量模型如图(b)所示，设想端钮上外接电压源,令5个元件的连接点为a，则节点电

19、压相量方程为,【例】单口网络如图所示，试求输入阻抗及输入导纳。,又,联立上述二式，得：,可得,【例】求图(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。,解 戴维宁等效电路的开路电压 和戴维宁等效阻抗Z0的求解方法与电阻电路相同。,由图(a)可知,又有,可按图(b)求解等效阻抗,由图(b)得,解得,【例】求图所示电路中的电流iL。电压源uS=10.39 sin(2t+60)V，电流源iS=3 cos(2t 30)A。,解：电路中的电源为同一频率，则有,(1)用节点电压法求解，列写方程为,可解得,(2)用网孔电流法求解，列写方程为,(3)用叠加定理求解。,单独作用,单独作用,(4)用戴维宁等效电路求解。,端

20、口的开路电压,为,端口的等效阻抗Z0为,解得,4.7.1 瞬时功率和平均功率,设正弦稳态电路的电压、电流分别为,4.7 正弦稳态电路的功率,网络N0吸收的瞬时功率为,式中，=u i。,第一项始终大于零，表示网络吸收的功率；第二项为两倍电压或电流频率的正弦量，代表电源和端口之间来回交换的能量，这是由于网络中存在储能元件的缘故。,当u、i同号时，瞬时功率p 0，说明电路在这期间吸收能量，能量从电源输送入电路；,当u、i异号时，瞬时功率p 0，说明电路在这期间释放能量，电源和电路间形成能量往返交换的现象。,平均功率（有功功率）：瞬时功率在一个周期内的平均值，用大写字母P表示,有功功率表示单口网络实际

21、消耗的功率。单位：瓦（W）,cos称为电路的功率因数（为单口网络的电压、电流的相位差），常用表示，即=cos,也称为功率因数角,纯电阻电路,电压与电流同相，cos=1,纯电感电路,电压超前电流90,纯电容电路,电流超前电压90,cos=0,若网络内含有受控源，则有功功率可能为负。,有功功率满足功率守恒定律，即任一正弦稳态电路各元件（或支路）吸收的有功功率之和恒等于零，即,【例4 27】在图所示正弦稳态电路中，已知电源电压，求电路吸收的平均（有功）功率。,解 解法一 利用通用公式求解。先求单口网络的等效阻抗,端口的电压相量为,端口总电流,解法二 平均功率等于等效阻抗实部（等效电阻）消耗的功率,解

22、法三 平均功率等于网络中各电阻元件消耗的有功功率之和,无功功率：,反映电路中电感、电容等储能元件与外电路或电源之间进行能量交换的情况。,Q表示电路中储能元件与外电路或电源间能量交换的最大速率,4.7.2 无功功率和视在功率,对于感性负载，0，故Q 0；,对于容性负载，0，故Q 0。,单位：乏（var）,电阻=0 Q=0,电感=90,电容=90,单口网络为R、L、C串联电路，无功功率为,无源单端口网络：,无功功率也满足功率守恒定律，即任一正弦稳态电路各元件（或支路）吸收的无功功率之和恒等于零，即,视在功率：单口网络的电压有效值U和电流有效值I的乘积，用大写字母S表示，单位：伏安（VA）。,P、Q

23、、S三者也构成了直角三角形关系，称为功率三角形。,阻抗三角形、电压三角形和功率三角形都是相似三角形。,注意：视在功率不满足功率守恒定律。即,【例4 28】如图所示正弦稳态电路中，已知,求电路的有功功率P、无功功率Q、视在功率S、功率因数cos。,解：设,支路电流为,方法一：,方法二,(1)电源设备的容量不能充分利用,若用户：则电源可发出的有功功率为：,若用户：则电源可发出的有功功率为：,而需提供的无功功率为:,所以 提高 可使发电设备的容量得以充分利用,功率因数低带来的问题：,4.7.3 功率因数的提高,（2）增加线路和发电机绕组的功率损耗,(费电),设输电线和发电机绕组的电阻为:,所以提高

24、可减小线路和发电机绕组的损耗。,功率因数cos 低的原因,日常生活中多为感性负载-如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。,40W220V白炽灯,40W220V日光灯,供电局一般要求用户的 否则受处罚。,常用电路的功率因数,提高功率因数的措施:,必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。,在感性负载两端并电容,提高功率因数的原则：,方法一：并联电容值的计算,相量图:,又由相量图可得：,即:,结论,并联电容C后：,(3)电路总的有功功率不变,因为电路中电阻没有变，所以消耗的功率也不变。,方法二,并联电容并不消耗P，由图并联C前后的功率三角形可得,并联电容前的无

25、功功率为,并联电容后的无功功率为,由以上三式可得,【例4 29】图所示电路，已知f=50 Hz、U=220 V、P=10 kW，线圈的功率因数cos=0.6，采用并联电容方法提高功率因数，问要使功率因数提高到0.9,应并联多大的电容C，并联前后电路的总电流各为多大？如将 cos从0.9提高到1，问还需并多大的电容？,解：由于,并联电容C为：,未并电容时，电路中的电流为,并联电容后，电路中的电流为,并联电容后，S、I都减小了，这样既提高了电源设备的利用率，也减少了传输线上的损耗。,功率因数从0.9提高到1，所需增加的电容值为,可见，cos 1时再继续提高，则所需电容值很大，就显得不经济了，所以一

26、般功率因数没有必要提高到1。,解(1)电源提供的电流为,电源的额定电流为,I IN,【例4 30】已知电源UN=220 V、=50 Hz、SN=10 kVA、cos=0.5，向PN=6 kW、UN=220V的感性负载供电，求(1)该电源供出的电流是否超过其额定电流？(2)如并联电容C将cos提高到0.9，电源是否还有富裕的容量？,(2)如将cos提高到0.9后，电源提供的电流为,I IN，因此还有能力再带负载。所以提高电网功率因数后，将提高电源的利用率。,1.假设R、L、C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？,2.RLC串联电路的 是否一定小于1？,4.在RLC串联电路中，当LC时，u

27、超前i，当LC时，u滞后i，这样分析对吗？,设一个单口网络的端口电压u和电流i（取关联参考方向）的相量分别为,其电压相量,与电流相量,的共轭相量,的乘积定义为该网络所吸收的复功率:,复功率的单位与视在功率的单位一致，为VA。,4.7.4 复功率,将电压相量及电流相量代入，有,复功率的概念不仅适用于单个电路元件，也适用于任何一段电路。,复功率可以表示为,同理,可以证明，电路的复功率也是守恒的，即满足,【例4 31】求图所示电路中电源发出的有功功率P、无功功率Q、视在功率S和电路的功率因数。已知,解：,视在功率S为,相位差和功率因数分别为,有功功率P为,无功功率Q为,解 根据功率表和电流表读数，可

28、求得电阻R为,【例4 32】如图是一个测量电感线圈参数R和L的实验电路（工频），测得电压表、电流表、功率表的读数分别为U=50 V，I=1 A，P=30 W，求R和L的值。,利用电压表和电流表的读数，可求得电感线圈阻抗的模,电源频率为50 Hz，故,解 设电压相量,对于支路1，有,【例4 33】图所示电路，已知R1=6、R2=4、XC=8、XL=3，电源电压U=220 V，求各支路及总电路的有功功率、无功功率及总电路的功率因数，并讨论功率守恒情况。,对于支路2，有,对于总电路，有,讨论在什么条件下负载能够获得最大功率的问题,根据戴维宁等效定理，可以将一个实际问题简化为一个含源单口网络向无源单口

29、网络输送功率的问题来进行研究,4.8 最大功率传递定理,设Z0=R0+j X0，Z=R+j X，则负载吸收的有功功率为,如果R和X可为任意值，而其它参数不变时，那么获得最大功率的条件为,有,当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能够获得最大功率。这种情况下负载与电源的匹配称为共轭匹配，又称最佳匹配。此时最大功率为,在有些情况下，负载常常是电阻性设备，即负载为一纯电阻。此时负载电阻满足什么条件能获得最大功率呢？,设Z=R，则负载吸收的有功功率为,当改变R时，对功率P求导，即可获得最大值的条件为,当负载阻抗为纯电阻时，负载获得最大功率的条件是负载电阻与电源内阻抗的模相等。,uS=10,cos1

30、05t V,(1)当RL=5 时，试求其消耗的功率。(2)当RL等于多少时，能获得最大功率？最大功率是多少？(3)若在RL两端并联一电容C，问RL和C等于多少时，能与内阻共轭匹配？并求负载吸收的最大功率。,【例4 34】电路如图所示，其中R和L为电源内部电阻和电感。已知R=5，L=50 H，,解 电源内阻抗为Z=R+j X=(5+j5)。,(1)当RL=5 时，电路中的电流为,负载RL消耗的功率为,(2)当,，即,时能获得最大功率,电路中的电流为,RL消耗的功率为,(3)当负载与内阻共轭匹配时，能获得最大功率。在负载端并联一电容后，负载阻抗变化为,当,时，负载获得最大功率，即,此时电路中的电流为,此电流相量为流过电容C和负载电阻并联电路的电流。负载获得的最大功率为,解 应用戴维宁定理，先求负载阻抗 ZL左边电路的等效电路,等效阻抗,等效电源,【例4 35】电路如图所示，求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率。,因此，当 时，负载获得最大功率,等效电路如图(b)所示。,谢谢观看,