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1、数学建模方法及其应用,韩中庚 编著,数 学 建 模 教 学 片,第六章 层次分析方法,设计制作：,主要内容,第六章 层次分析方法,3,2023年3月21日,层次分析(AHP)方法的一般介绍；,层次结构与比较矩阵构造方法；,权向量的确定方法；,比较矩阵的一致性检验方法；,案例分析：合理分配住房问题。,引例：一类综合评价问题,购买笔记本电脑,4,2023年3月21日,一、问题的提出,引例2：一类选优排序问题,在任何一个单位(如院校、科研单位等)都有根据某些条件对所属人员进行选优的问题，如职称评定、选调职级、教学成果奖、科研成果奖等。为了使选优的结果更合理、更科学、更具有广泛的民主性，以某院校选优的
2、实际问题为背景来分析研究这一问题,5,2023年3月21日,一、问题的提出,引例3：选拔优秀队员问题,现假设有20名队员准备参加竞赛，根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比赛。选择队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩、智力水平、动手能力、写作能力、外语水平、协作能力和其它特长。每个队员的基本条件量化后如下表所示。问题：在20名队员中选择18名优秀队员参加竞赛.,6,2023年3月21日,一、问题的提出,7,2023年3月21日,引例3：选拔优秀队员问题,层次分析法（Analytic Hierarchy Process）：一种定性和定量相结合的、系统化的、
3、层次化的分析方法,特点：将半定性、半定量问题转化为定量问题的行之有效的一种方法，使人们的思维过程层次化,用途：通过逐层比较多种关联因素为分析评估、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据，它特别适用于那些难于完全用定量方法进行分析的复杂问题,8,2023年3月21日,一、问题的提出,二、层次分析的一般方法,分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构，一般层次结构分为三层:目标层、准则层、方案层。,构造两两比较矩阵：对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则(目标)的重要性进行两两比较。,由比较矩阵计算被比较因素对每一准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验。,计算方案层对目标层的组合权重
4、，并进行排序。,9,2023年3月21日,1、建立层次结构图,最高层为目标层(O),中间层为准则层(C),最低层为方案层(P).,10,2023年3月21日,二、层次分析的一般方法,2、构造两两比较矩阵,11,2023年3月21日,二、层次分析的一般方法,12,2023年3月21日,2、构造两两比较矩阵,13,2023年3月21日,2、构造两两比较矩阵,3、相对权重向量确定方法,14,2023年3月21日,二、层次分析的一般方法,15,2023年3月21日,3、相对权重向量确定方法,16,2023年3月21日,3、相对权重向量确定方法,4、判断矩阵的一致性检验,通常情况下，由实际得到的判断矩阵
5、不一定是一致的，即不一定满足传递性和一致性。事实上，也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致的，即不一致的程度应在容许的范围内。,17,2023年3月21日,二、层次分析的一般方法,18,2023年3月21日,4、判断矩阵的一致性检验,5、组合权重和组合一致性检验,19,2023年3月21日,二、层次分析的一般方法,20,2023年3月21日,5、组合权重和组合一致性检验,三、案例分析:合理分配住房问题,许多单位都有一套住房分配方案,一般是不同的。某军事院校现行住房分配方案采用“分档次加积分”的方法,其原则是:“按职级分档次，同档次的按任职时间先后排队分配住房,任职时间相同时再考虑其它条件
6、(如工龄、爱人情况、职称、年龄大小等）适当加分，从高分到低分依次排队”我们认为这种分配方案仍存在不合理性。,1.问题的提出,21,2023年3月21日,三、案例分析:合理分配住房问题,根据民意测验,百分之八十以上人认为相关条件为职级、任职时间(任副处时间)、工龄、职称、爱人情况、学历、年龄和奖励情况要解决的问题：请你按职级分档次，在同档次中综合考虑相关各项条件给出一种适用于任意N人的合理分配住房方案 用你的方案根据表中的40人情况给出排队次序，并分析说明你的方案较原方案的合理性,22,2023年3月21日,三、案例分析:合理分配住房问题,23,2023年3月21日,三、案例分析:合理分配住房问
7、题,24,2023年3月21日,该问题是一半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，可以利用层次分析法对此作出决策 鉴于原来的按任职时间先后排队的方案可能已被一部分人所接受，从某种意义上讲也有一定的合理性,三、案例分析:合理分配住房问题,2.模型的分析,25,2023年3月21日,现在提出要充分体现重视人才、鼓励先进等政策，但也有必要照顾到原方案合理的方面，如任职时间、工作时间、年龄的因素应重点考虑.于是,可以认为相关的八项条件在解决这一问题中所起的作用是不同的,应有轻重缓急之分,2.模型的分析,26,2023年3月21日,假设八项条件所起的作用依次为任职时间、工作时间、职
8、级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况.这样能够符合大多数人的利益 由上面的分析，首先将各项条件进行量化，为了区分各条件中的档次差异，确定量化原则如下：,2.模型的分析,27,2023年3月21日,任职时间、工作时间、出生年月均按每月0.1分计算；职级差为1分,8级(处级)算2分,9级（副处级）算1分；职称每差一级1分,初级算1分,中级算2分,高级算3分；学历每差一档差1分,中专算1分,大专、本科、硕士、博士、博士后分别算2、3、4、5、6分;爱人情况:院外算1分,院内职工算2分,院内干部算3分；对原奖励得分再加1分,2.模型的分析,28,2023年3月21日,2.模型的分析,29,20
9、23年3月21日,2.模型的分析,30,2023年3月21日,三、案例分析:合理分配住房问题,(1)题中所述的相关的八项条件是合理的，有关人员均无异议；(2)八项条件在分房方案中所起的作用依次为任职时间、工作时间、职级、职称、爱人情况、学历、出生年月、奖励情况；(3)每个人的各项条件按统一原则均可量化，而且能够充分反映出每个人的实力；(4)在量化有关任职时间、工龄、年龄时，均计算到1998年5月,3.模型的假设,31,2023年3月21日,如下图:,三、案例分析:合理分配住房问题,4.模型的建立与求解,(1)建立层次结构,32,2023年3月21日,层次结构图如下：,4.模型的建立与求解,33
10、,2023年3月21日,4.模型的建立与求解,34,2023年3月21日,4.模型的建立与求解,35,2023年3月21日,4.模型的建立与求解,36,2023年3月21日,4.模型的建立与求解,37,2023年3月21日,4.模型的建立与求解,38,2023年3月21日,4.模型的建立与求解,39,2023年3月21日,三、案例分析:合理分配住房问题,5.40人的排队,40,2023年3月21日,5.40人的排队方案,41,2023年3月21日,利用层次分析法给出了一种合理的分配方案，用此方案综合40人的相关条件得到了一个排序结果 从结果来看，完全达到了问题的决策目标，也使得每个人的特长和优势都得到了充分的体现既照顾到了任职早、工龄长、年龄大的人，又突出了职称高、学历高、受奖多的人，而且也考虑了双干部和双职工的利益 每一个单项条件的优势都不是绝对的优势因此，这种方案是合理的，符合绝大多数人的利益,三、案例分析:合理分配住房问题,6.模型的结果分析,42,2023年3月21日,6.模型的结果分析,43,2023年3月21日,6.模型的结果分析,44,2023年3月21日,谢谢你的使用！,设计制作：,
