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1、概率论与数理统计,数理学院应用 数学系,汪忠志,生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题-拉普拉斯,我又转念，见日光之下，快跑的人未必能赢，力战的未必得胜,智慧的未必得粮食，明哲的未必得资财，灵巧的未必得喜悦，所临到众人的，是在乎当时的机会.,退出,下页,上页,第四章 大数定律和中心极限定理,第三章 随机变量的数字特征,第五章 数理统计初步,第二章 随机变量及其分布,第一章 随机事件和概率,返回,下页,上页,第一章 随机事件和概率,二、重要公式与结论,三、典型例题分析与解答,一、主要内容及要求,一、主要内容及要求,1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、交、并、差、互不相容、对立
2、等关系和德摩根定律.会用事件的关系表示随机事件.,第一章 随机事件和概率,2)掌握概率的定义及性质，会求常用的古典概型中的 概率；,第一章 随机事件和概率,3)熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全概公式，事件的独立性及性质求概率。,第一章 随机事件和概率,二、重要公式与结论,1.,或,2.,A与B相互独立,第一章 随机事件和概率,3.,中有一组相互独,立,则其余三组也相互独立.,一般地,若,相互,独立,则,也相互独立.,其中f,g表示加、减、乘、取对立事件运算.,第一章 随机事件和概率,三、典型例题分析与解答,例1,设A、B是两个随机事件,则,分析:,由,A与B相互独立,第一章 随机事件和概率
3、,例2,设A、B的概率均大于零,且,则,(1)A与B互不相容;,(2)A与B互相对立;,(3)A与B相互独立;,(4)A与B互不独立.,第一章 随机事件和概率,分析:,由,设,则,例3,设A、B、C为三个随机事件,其中P(B)0,0P(C)1.且B、C相互独立.证明:,第一章 随机事件和概率,分析:,分析:,证:,由,第一章 随机事件和概率,例4,设X与Y相互独立,其中,则概率,分析:,第一章 随机事件和概率,注:,第一章 随机事件和概率,有100个零件,其中90个一等品,10个二等品,随机取2个安装在一台设备上,若2个零件中有i(i=0,1,2)个二等品,则该设备的使用寿命服从参数为=i+1
4、的指数分布,试求:(1)设备使用寿命超过1的概率;(2)若已知该设备的使用寿命超过1,则安装在该设备上的2个零件均为一等品的概率是多少?,例5,解:,设Bi=“任取两个零件中有i个二等品”,i=0,1,2,A=“设备的使用寿命超过1”,X=“设备的使用寿命”,则X的密度函数为:,第一章 随机事件和概率,(1)由全概率公式知:,(2)由贝叶斯公式知:,第一章 随机事件和概率,从0,1中随机地取两个数,求其积不小于3/16,其和不大于1的概率.,例6,解法一:,设所取的两个数为x,y,则样本空间为:,有利场合为:,第一章 随机事件和概率,第一章 随机事件和概率,第一章 随机事件和概率,第一章 随机
5、事件和概率,袋中有a 只白球，b 只红球，（1）从袋中不放回地取球 k 次,每次一只，求 第 k 次取得的是白球的概率（）,（2）从袋中不放回地将球一个个取出，直到剩 下的球的颜色都相同为止，求剩下的球都 是白球的概率,解(1)记事件 A 为第k 次取得白球,E:球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，重复 k 次,则,例7,解二 E1:球编号，任取一球，记下颜色，放在一边，将球全部取出进行排列,1:,上面两个解法都用排列计算,下面用组合计算,解三 E2:球不编号将a+b 个球有次序地排成一排，观察 a 个白球的排列位置，每种排法都是等可能的,2:,结论：无放回地取球,P(A)与 k 无关,解四
6、 把 a+b 个球编号，前a 个为白球,后b 个为红球.样本空间为,注 取样本空间为第 k 次摸出的球的全部可能的结果,这是本解法的关键.,形象地说,不从 摸球人 的角度看问题,而从球的角度看问题,看哪一个球在第 k 次被摸到.,这里的样本空间 是最小的了,它仅含 a+b 个样本点.若再减少一个样本点,就不能保证等可能性了.,设所求的事件为 B,此事件相当于“将球全部取出,最后 取得白球”这一事件，故,EXERCIES,C,一、主要内容及要求,三、典型例题分析与解答,返回,下页,上页,第二章 随机变量及其分布,二、重要公式与结论,一、主要内容及要求,1)掌握随机变量分布函数的定义:,2)会求离
7、散型随机变量的分布函数;会求离散型随机变量的分布率.,第二章 随机变量及其分布,3)掌握连续型随机变量概率密度的性质:会确定密度函数中的未知参数;掌握分布函数与概率密度的关系,会运用概率密度求连续型随机变量取值落在实轴某一区间上的概率.,第二章 随机变量及其分布,4)掌握二项分布的概率背景,即会把实际问题中服从二项分布的随机变量构设出来,运用有关公式求概率.若 X 表示n重贝努里试验中成功出现的次数,则 X B(n,p).,5)掌握泊松分布:,第二章 随机变量及其分布,6)掌握均匀分布:X U a,b,7)掌握指数分布:,第二章 随机变量及其分布,8)掌握正态分布及其性质,理解一般正态分布函数
8、与标准正态分布函数的关系,会查表求概率,正态变量的线性变换仍然是正态变量.,第二章 随机变量及其分布,第二章 随机变量及其分布,9)掌握二维离散型随机变量分布率的定义;会求二维离散型随机变量的分布率;10)掌握二维连续型随机变量概率密度的性质,会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在平面某一区域上的概率.,第二章 随机变量及其分布,11)掌握二维均匀分布的定义及性质.,12)会求边缘分布率和边缘概率密度.,第二章 随机变量及其分布,13)掌握随机变量独立性的充分必要条件:,第二章 随机变量及其分布,15)会求二维离散型随机变量和连续型随机变量的极值分布。,14)掌握正态分布的性质:,第二章
9、随机变量及其分布,二、重要公式与结论,1.,特别地,第二章 随机变量及其分布,2.,注:,若X1,X2不相互独立,则k1X1+k2X2不一定服,从正态分布.,3.,X与Y相互独立,且分别服从a,b与c,d上的均匀,分布.,第二章 随机变量及其分布,4.,第二章 随机变量及其分布,三、典型例题分析与解答,例1,设X为随机变量,若矩阵,的特征值全为实数的概率为0.5,则,(1)X服从0,3上的均匀分布;,(3)X服从参数为1的指数分布;,(4)XN(1,2).,第二章 随机变量及其分布,分析:,由题设,故应选(4).,例2,设X、Y相互独立,且均服从正态分布,第二章 随机变量及其分布,分析:,由题
10、设,即a-b=1,故应选(2).,例3,设,分布函数为F(x),则对,任意实数x,有:,分析:,第二章 随机变量及其分布,注:,若(X,Y)服从密度为f(x,y)的分布,则,例4,设X、Y为相互独立同分布的连续型随机,变量,证明:,证:,设X的分布函数为F(x),概率密度为f(x).,由题设,可设Y的分布函数为F(y),概率密度为f(y),则,(X,Y)的联合概率密度为:f(x,y)=f(x)f(y).故,第二章 随机变量及其分布,第二章 随机变量及其分布,例5,设X、Y相互独立,其中,而Y服从参数为1的指数分布,则PX-Y0=,分析:,解:,第二章 随机变量及其分布,注:,先求出Z=g(X,
11、Y)的值域c,d,则,第二章 随机变量及其分布,例6,设(X,Y)在区域,上服从均匀分布,求Z=(X+Y)2的概率密度.,分析:,Z=(X+Y)2的值域为:0,16.,(将(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)代入确定).,解:,(X,Y)的联合概率密度为:,第二章 随机变量及其分布,第二章 随机变量及其分布,故分布函数为:,从而概率密度函数为:,第二章 随机变量及其分布,例7,设X在满足P(X=0)=1,Y为任一随机变量,则,X与Y相互独立.,分析:,X与Y相互独立,第二章 随机变量及其分布,证:,第二章 随机变量及其分布,总之,对于任意x、y恒有:,即X与Y相互独立.,注:,讨论随
12、机变量X与Y的相互独立性通常转化,分布函数来讨论:,例8,设二维随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,0),则,解:,由二维正态分布的性质可知:,XN(0,1),YN(0,1),且X与Y相互独立.,故:,第二章 随机变量及其分布,返回,下页,上页,第三章 随机变量的数字特征,二、重要公式与结论,三、典型例题分析与解答,一、主要内容及要求,EXERCISES,一、主要内容及要求,1)熟练掌握期望定义和性质.,第三章 随机变量的数字特征,2)会求随机变量函数的数学期望.,设 Y=g(X),g(x)是连续函数,第三章 随机变量的数字特征,3)熟练掌握方差的定义和性质.,4)熟记两点分布、二项分布、泊
13、松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值.,第三章 随机变量的数字特征,5)掌握协方差和相关系数的定义,不相关的定义及独立与不相关的关系.,COV(X,Y)=E(X EX)(Y-EY)=E XY EX EY,称 X,Y 不相关。,若X，Y 独立，则 X,Y 不相关。(反之，不然）,第三章 随机变量的数字特征,二、重要公式与结论,1.,或,2.,或,3.,特别地,若(X,Y)的概率密度f(x,y)仅在D上非零,则:,第三章 随机变量的数字特征,第三章 随机变量的数字特征,三、典型例题分析与解答,例1,设某一机器加工一种产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次,每次随机抽取5件产品进行
14、检验,若发现次品多于1件,就要调整机器,求一天中调整机器次数Y的概率分布及Y2的数学期望EY2.,分析:,令A=“机器需要调整”,若p=P(A),则,设X=“取出的5件产品中的次品数”,则,第三章 随机变量的数字特征,于是,即 YB(4,0.082),其分布率为:,第三章 随机变量的数字特征,例2,设A、B相互独立,且P(A)=P(B)=0.5.定义:,试求:,解:,由题设易知:,又A、B相互独立,相互独立.,第三章 随机变量的数字特征,从而易求得:,故(X,Y)的联合分布率为:,第三章 随机变量的数字特征,(2)由(1)易求得X+Y的概率分布为:,第三章 随机变量的数字特征,(3)由题设易知
15、X,Y的概率分布分别为:,又由(1)易求得XY的概率分布为:,第三章 随机变量的数字特征,第三章 随机变量的数字特征,例3,设(X,Y)在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三,角形区域G上服从均匀分布,U=X+Y,求D(U).,分析:,这是一个求二维随机变量(或叫两个随机变量)的函数U=X+Y的方差问题,因为已知联合密度,故最简单的做法是直接用函数期望公式计算.为了比较还另给出了两种解法.,解法一:,三角形区域:,于是(X,Y)的联合密度为:,第三章 随机变量的数字特征,解法二:,三角形区域:,于是(X,Y)的联合密度为:,第三章 随机变量的数字特征,以f1(x)表示X的概率密度,
16、则,同理可得:,第三章 随机变量的数字特征,现在求X和Y的协方差:,于是,第三章 随机变量的数字特征,解法三:,三角形区域:,于是(X,Y)的联合密度为:,以f(u)表示U=X+Y的概率密度,则:,当u2时,显然有 f(u)=0;,当1u2时,有:,第三章 随机变量的数字特征,由随机变量之和的概率密度公式有:,故随机变量U的概率密度为:,第三章 随机变量的数字特征,例4,设(X,Y)在,上服从均匀分布,Z=(Y-X)2,求E(Z)和D(Z).,解法一:,正方形区域:,于是(X,Y)的联合密度为:,第三章 随机变量的数字特征,解法二:,正方形区域:,于是(X,Y)的联合密度为:,第三章 随机变量
17、的数字特征,因此X、Y相互独立且都服从0,1上均匀分布.,第三章 随机变量的数字特征,解法三:,正方形区域:,于是(X,Y)的联合密度为:,因此X、Y相互独立且都服从0,1上均匀分布.,第三章 随机变量的数字特征,例5,设,分析:,解:,由题设,第三章 随机变量的数字特征,于是,第三章 随机变量的数字特征,某流水作业线上生产的每个产品为不合格的概率是p,当生产出k个不合格品时,即停工检修一次,试求在两次检修之间所生产的产品总数的数学期望和方差.,例6,解:,设X表示两次检修之间所生产的产品数,Xi表示生产出第i-1个不合格品后至出现第i个不合格品时所生产的产品数,则有:,第三章 随机变量的数字特征,第三章 随机变量的数字特征,第三章 随机变量的数字特征,第三章 随机变量的数字特征,EXERCISES,
