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1、,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,在这些数字特征中，最常用的是,数学期望、方差、协方差和相关系数,第一节 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：,我们来看一个引例.,例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.,可
2、以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),若统计n天 ,这是以频率为权的加权平均,当N很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为,这是以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .,定义1 设X是离散型随机变量，它的分布律是: PX=xk=pk , k=1,2,请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。数学期望简称期望，又称为均值。,若级数,绝对收敛，,则称级数,即,的和为随机变量X的数学期望，记为 ,例1,问谁的水平较高？,例2,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型
3、随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即,请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,例3,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是
4、X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,(1) 当X为离散型时,它的分布律为P(X= xk)=pk ;,(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若,定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数),该公式的重要性在
5、于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。,例4,例4: 设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).,解,例5:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试求E(XY)和EX .,解,四、数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,（诸Xi相互独立时）,请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)
6、不一定能推出X,Y 独立,解 由题意,于是,例8 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立),按题意,第二节 方差,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a
7、,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,一、方差的定义,记为D(X)或Var(X)，即,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,若X的取值比较分散，则方
8、差D(X)较大.,若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；,因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量。,X为离散型，分布律PX=xk=pk,由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望 .,二、方差的计算,X为连续型，X概率密度f(x),计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望性质,例1,设随机变量X具有(01）分布，其分布律为,求D(X) .,解,由公式,因此,0-1分布,例2,解,X的分布律为,
9、上节已算得,因此,泊松分布,例3,解,因此,均匀分布,例4,设随机变量X服从指数分布,其概率密度为,解,由此可知,指数分布,例5:设随机变量X概率密度为f(x),求D(X).,解,于是,D(X)=E(X2)-E(X)2=1/6,三、方差的性质,1. 设C 是常数, 则 D(C)=0 ;,2. 若 C 是常数, 则 D(X+C)=D(X) , D(CX)=C2 D(X) ;,3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),4. D(X)=0 PX= C=1 ,这里C=E(X),特别如果 X,Y 相互独立, 则,此性质可以推广到有限多个相
10、互独立的随机变量之和的情况.,下面我们证明性质3,证明,若 X,Y 相互独立, 由数学期望的性质4得,此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.,例6 设XB(n,p)，求E(X)和D(X).,则 是n次试验中“成功” 的次数,解,XB(n,p),“成功” 次数 .,则X表示n重伯努利试验中的,于是,i=1,2，n,由于X1,X2, Xn 相互独立,= np(1- p),E(Xi)= p,D(Xi)=,p(1- p) ,例7,解,于是,例如,例8,解,由于,故有,四、切比雪夫不等式,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X 集中在期望
11、附近的可能性越大.,证,我们只就连续型随机变量的情况来证明.,第三节 协方差及相关系数,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,量E X-E(X)Y-E(Y) 称为随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X
12、)Y-E(Y) ,1.定义,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y),4. 随机变量和的方差与协方差的关系,特别地,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为
13、了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数 .,二、相关系数,为随机变量 X 和 Y 的相关系数 .,在不致引起混淆时，记 为 .,存在常数 a,b(b0），,使 PY= a + b X=1，,即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.,相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.,o,X,Y,o,o,o,X,X,X,Y,Y,Y,01,-10, =1, =-1,相关情况示意图,若=0, 则称 X和Y 不相关.,由于当X 和Y 独立时，Cov(X,Y)= 0.,故,= 0,但其逆不真, 请看下例.,即X与Y 不相关.,事实上，X的密度函数,例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布
14、, 而Y=cos X,不难求得,因而 =0，,即X和Y不相关 .,但Y与X有严格的函数关系，,即X和Y不独立 .,续,解: X与Y的分布律分别为,于是,解,同理可得 E(Y)=0,于是,第四节 矩、协方差矩阵,一、 原点矩 中心矩,定义 设X和Y是随机变量，若,存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩,存在，称它为X的k阶中心矩,可见，均值 E(X) 是X一阶原点矩，方差 D(X),是X的二阶中心矩。,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.,称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩.,称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩.,可见，,二、协方差矩阵,将二维随机变量（X1,
15、X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,类似定义n 维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵,三、n 元正态分布的概率密度,f (x1,x2, ,xn),则称 X 服从 n 元正态分布.,其中C是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.,|C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵，,x 和 是 n 维列向量， 表示X 的转置.,设 =(X1,X2, ,Xn)是一个n维随机向量,若它的概率密度为,n元正态分布的几条重要性质,1. X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布,若 X=(X1, X2 , , Xn) 服从 n 元正态分布，,Y1,Y2, ，Yk是Xj（j=1,2,n）的线性函数，,则 (Y1,Y2, ，Yk) 也服从多元正态分布.,2. 正态变量的线性变换不变性.,3. 设(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，则,“X1,X2, ,Xn相互独立”,等价于,“X1,X2, ,Xn两两不相关”,
