数列-第一轮复习.doc

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1、第一轮复习 数列【考向指引】 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，故而在高考中占有重要地位。从近几年的高考试题来看，数列部分的复习备课应注意以下几点：1、 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，应切实注意与的关系。2、 探索性问题在数列中考察较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给予证明。探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求。3、 等差、等比数列的基本知识为必考内容，这类考题有容易题、中等题，也有难题。4、 求和问题也是常见的试题类型，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和。

2、5、 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点。6、 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点，今后在这方面还会体会的更突出。7、 数列与新增内容（如程序框图）等综合体也应引起高度重视。第一讲 数列的概念一、 考点解读1、 数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。各项一次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第项，数列的一般形式可简记为，其中是数列的第项。注意：（1） 数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成的两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列。（2） 定义中并没有规定数列中的数

3、必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现。2、 数列的分类（1） 根据数列的项数分有穷数列：项数有限的数列。无穷数列：项数无限的数列。（2） 按照数列的每一项的值随项数变化的情况分 递增数列，递减数列，常数列，摆动数列3、 数列与函数的关系数列可以看成以自然数集或者其有限子集为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值。4、 数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。注意：（1） 并不是所有数列都能写出其通项公式。（2） 一个数列的通项公式有时是不唯一的。（3） 数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是

4、该数列中的一项。5、 数列的三种表示形式列举法，通项公式法和图象法二、 典例根据有限项抽象数列的通项公式1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1） 3，5，9，17，； （2）；（3）0,1,0,1，； （4）2，-6,12，-20,30，.由数列的前项和给出的递推式变形2、 数列的前项和为，且，求数列的通项公式。用累加、累乘法探求数列的通项公式3、 已知数列满足：。（1） 求数列的通项公式；（2） 这个数列从第几项开始及其后面各项均小于？ 已知递推关系求指定项4、 已知数列满足：，若，则m所有可能的取值为 。三、 练习1、 数列的一个通项公式是 。2、 *已知数列中

5、，则等于 。3、 若数列前项和，则等于 。4、 若是数列前项和，则= 。5、 已知数列中，则此数列的通项公式为= 。6、 数列 满足，求数列的通项公式。第二讲 等差数列一、 考点解读1、 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。2、 等差数列的通项公式：通项公式的变形形式：或（其中是常数）3、 计算公差的几种基本方法： 4、 等差中项：若等等差数列，那么A叫做的等差中项。5、 基本性质：在等差数列中，若，则6、 等差数列的前项和公式1：。 公式2： 公式3：，当公差时，是一个常数项为零的二次式。二、

6、 典例等差数列求解的基本方法：还原基本量1、 等差数列中，（1） 已知，求；（2） 已知，求的值。 等差数列性质的运用2、 已知函数，等差数列的公差为2，若，则 。*等差数列概念的运用3、 递增数列1，5，7，11，13，17，包含所有既不能被2整除又不能被3整除的正整数，求此数列的第100项。等差数列应用问题4、 在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成，如图所示，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块石板，共有9圈。问：（1） 第9圈共有多少块石板？（2）

7、 不包括天心石，9圈共有多少块石板？等差数列前项和运用5、 设等差数列的前项和，若，则= 。等差数列的概念的运用6、 在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和。等差数列前项和的最值问题7、 已知数列是一个等差数列，且。（1） 求的通项；（2） 求前项和的最大值。 等差数列综合问题8、 设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和，满足。（1） 若，求；（2） 求的取值范围。三、 练习1、 已知数列前项和，则此数列 （ ）A、是等差数列， B、是等比数列，C、非等差数列， D、非等比数列，2、 数列是等差数列，则此数列的通项公式为 （ ）A、 B、C、或 D、或3、 在等差

8、数列中，若，则等于 （ ）A、-6 B、4 C、-2 D、04、 设，且两数列和均为等差数列，那么的值是 （ ）A、 B、 C、 D、5、 成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，则这四个数是 。6、 在等差数列中，则= 。7、 等差数列中，求此数列的通项。8、 一个等差数列共项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数为（ ）A、14 B、16 C、18 D、209、 等差数列的前项和为，且，则= 。10、 在等差数列中，则此数列前项和为的最小值为 。11、 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求

9、公差。第三讲 等比数列一、 考点解读1、 等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，即：。2、 等比数列的通项公式：。3、 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列。4、 等比中项：为与的等比中项。即。5、 等比数列的性质：若，则。6、 等比数列的递增性：当时，是递增数列；当时，是递减数列。7、 等比数列的前n项和公式：当时，或 当时，二、 典例等比数列基本公式的运用1、 已知等比数列前三项的和为3，如果将第三项减去9则这三项又分别是一个等差数列的第一项、第四项和第七项，求数列的通项公式。构造辅

10、助数列解题2、 数列的各项均为正值，对任意的，都成立，求数列的通项公式。等差数列与等比数列的关系3、 已知数列是等差数列，已知（1） 求证数列是等比数列；（2） 求数列的通项公式。 等比数列综合问题4、 已知，点（）在函数的图象上，其中（1） 证明数列是等比数列；（2） 设，求及数列的通项。等比数列基本运算5、 在等比数列中（1） 已知，求和的值；（2） 已知，求和的值。 等比数列性质的运用6、 已知等比数列中（1） ，求项数n和公比。（2） ，求的值。 等比数列应用问题7、 已知某市2008年底人口数为100万，人均住房面积40平方米，如果该市每年人口增长率为2%，每年平均新建住房面积20万

11、平方米，试求导2012年底人均住房面积。（精确到1平方米，参考数据：）等比综合问题8、 已知数列为等差数列，公差，其中恰为等比数列，若，求的值。三、 练习1、 等比数列中，表示前项的积，若，则 （ ）A、 B、 C、 D、2、 已知数列满足，则下列结论正确的是 （ ）A、数列是等差数列 B、数列是等比数列C、数列可能是常数列 D、数列不可能是常数列3、 等差数列中，成等比，那么该等比数列公比的值为 。4、 已知等比数列满足，则等于 。5、 设等比数列的公比为，前n项和为，若成等差数列，则的值是 。6、 等差数列公差不为0，且是等比数列的相邻三项，若，求数列的通项公式。7、 一个等比数列前n项的

12、和为，前2n项之和，则等于 。8、 已知等比数列的前n项和，则等于 。9、 在等比数列中，则等于 。10、 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为？11、 已知等比数列的公比为，前n项的和为，且成等差数列。（1） 求；（2） 求证：成等差数列。第四讲 数列求和问题一、 考点解读数列求和是数列部分的一个重要内容，常见的数列求和方法有如下几种：1、 公式求和法直接运用等差或等比数列的求和公式求和，运用等比求和公式时注意对于公比是否等于1的讨论，另外还有两条公式偶尔也会用到：， 2、 分组求和法将原数列中的每一项分拆成两项或多项，或者将原数列中的多项合并为一项，而将原数列转化成为多个或

13、一个可以求和的数列。3、 倒序相加求和法4、 错位相减求和法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。5、 裂项相消求和法如果一个数列的各项均能化为两项之差，而前面项的减数恰好与后面项的被减数相同，一减一加，中间项被消去，那么求原数列的各项之和就可以达到化简的目的。二、 典例运用公式求和1、 设是一次函数，成等比数列，求的值。特殊公式和分组求和2、 求和：倒序法求和3、 已知函数，其图象经过点。（1） 求实数的值并证明；（2） 若数列中，记其前n项和为，求的值。 错位法求和4、 已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4.（1） 求数列的通项公式；（2） 设，求数列的前n项和。

14、裂项法求和5、 已知等差数列满足：，的前项和为。（1） 求及；（2） 令，求数列的前项和。三、 练习1 设等比数列的前项和为，若，则= （ ） A、3 B、2 C、 D、2 等差数列中，等比数列中，则等于 （ ） A、 B、 C、 D、无法确定3 求和：= 。4 数列的通项为，前项的和为，则= 。5 设等差数列的前项的和为，若，求的值。6 在数列中，且，求此数列前100项的和。第五讲 数列综合问题一、 考点解读通常我们所遇到的数列问题往往不是单纯的等差或等比，很多时候需要将两个数列综合考虑，比如某些数列可以既是等差又是等比，又或者某个等比数列的某些项可以成为等差数列的项。数列作为一种特殊的函数

15、往往能够和其他的数学知识结合在一起，比如数列与函数、不等式等章节的结合，以及周期数列的有关问题。二、 典例等差等比的简单综合1、 已知公差大于0的等差数列满足，又依次成等比数列，求数列的通项公式。三角形中的等差等比问题2、 已知中，三内角的度数依次成等差数列，三边依次成等比数列。求证：是等边三角形。存在性问题与分类讨论思想3、 是否存在互不相等的三个实数，使它们同时满足以下三个条件：； 成等差数列； 将适当排列后成等比数列。 函数中的数列问题4、 设一次函数，数列中，点（-1,0），在函数的图象上。（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列，求数列的前项和。 数列与不等式5、 已知函数的图象过点

16、（4，），（5,1）（1） 求函数的解析式；（2） 记，是正整数，是数列的前项和，解关于的不等式。 探索性问题6、 首项为，公差为的整数等差数列满足下列两个条件： ；满足100的的最小值是15。试求公差和首项的值。三、 练习1、 若成等差数列，成等比数列，成等差数列，则成 （ ）A、等差数列 B、等比数列 C、既是等差又是等比数列 D、以上答案都不是2、 为各项都大于零的等比数列，公比，则 （ ）A、 B、C、 D、的大小不确定3、 已知数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列。（1） 求数列的通项；（2） 求数列的前项和。4、 设曲线在点（1,1）处的切线与轴的交点的横坐标为，令，求的值。5、 已知函数，且成等差数列。（1） 求实数m的值；（2） 若是互不相等的正数，且成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论。第六讲 数列应用问题一、 考点解读二、 典例三、 练习