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1、中考数学压轴题专练 二次函数压轴题综合考点一：距离之和最小问题1.如图，抛物线y=x2+bx2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值解：（1）b = 解析式y=x2-x-2. 顶点D (, -).（2）当x = 0时y = -2, C（0，-2），OC = 2。B (4,0) OA = 1, OB = 4, AB = 5. ABC是直角三角形.（3）作出点C关于x轴的对称点C，则C（0，2），OC=2，连接CD交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段
2、最短可知，MC + MD的值最小。解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.EDy轴, OCM=EDM,COM=DEM COMDEM. ，m =解法二：设直线CD的解析式为y = kx + n ,则，解得n = 2, . . 当y = 0时， ， . .2.（2016河池第26题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D（1）请直接写出点A，C，D的坐标；（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得CDE的周长最小，求点E的坐标；（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，
3、请说明理由解析：（1）当中y=0时，有，解得：=3，=1，A在B的左侧，A（3，0），B（1，0）当中x=0时，则y=3，C（0，3）=，顶点D（1，4）（3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：，解得：，直线AC的解析式为y=x+3假设存在，设点F（m，m+3），AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）：当PAF=90时，P（m，m3），点P在抛物线上，解得：m1=3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，5）；当AFP=90时，P（2m+3，0）点P在抛物线上，解得：m3=3（舍去），m4=1，此时点P的坐标为（1，0）；当APF=90时，P（m，0），点P在抛物线上，解得：m
4、5=3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）综上可知：在抛物线上存在点P，使得AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，5）或（1，0）3.（2016铜仁第25题）如图，抛物线（a0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P在抛物线的对称轴上，当ACP的周长最小时，求出点P的坐标；（3） 点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的RtDNM与RtBOC相似，若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）由于抛物线 （a0）经过A（-1，0），B（2，0）两点，因此把A、B两点的
5、坐标代入 （a0），可得：；解方程组可得：，故抛物线的解析式为：，=，所以D的坐标为（，）（2）如图1，设P（，k），C（0，1），A（-1，0），B（2，0），A、B两点关于对称轴对称，连接CB交对称轴于点P，则ACP的周长最小设直线BC为y=kx+b，则：，解得：，直线BC为：当x=时，=，P（，）；（3）存在如图2，过点作NFDM，B（2，0），C（0，1），OB=2，OC=1，tanOBC=，tanOCB=2，设点N（m，），FN=|m|，FD=|=|，RtDNM与RtBOC相似，MDN=OBC，或MDN=OCB；当MDN=OBC时，tanMDN=，m=（舍）或m=或m=，N（，）或（
6、，）；当MDN=OCB时，tanMDN=2，m=（舍）或m=或m=，N（，）或（，）；符合条件的点N的坐标（，）或（，）或（，）或（，）考点：二次函数综合题；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题4（2016湘西州第26题）如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BDDE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得BDM的周长为最小，并求BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线
7、的图象上，是否存在一个点P，使得PAD的面积最大？若存在，请求出PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由（2）如图1所示；BDDE，BDE=90BDC+EDO=90又ODE+DEO=90，BDC=DE0在BDC和DOE中，BDCDEOOD=AO=1D（0，1）（4）如图3所示：过点F作FGx轴，垂足为G考点二：最大长度问题5如图，已知抛物线与轴交于A (4,0) 和B(1,0)两点，与轴交于C点（1）求此抛物线的解析式；（2）设E是线段AB上的动点，作EF/AC交BC于F，连接CE，当CEF的面积是BEF面积的2倍时，求E点的坐标;xyOBCA（3）若P为抛物线上A、C两点间的
8、一个动点，过P作轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标解：（1）故所求二次函数的解析式为（2）SCEF=2 SBEF, EF/AC, ,BEFBAC, 得E点的坐标为(,0).（3）的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值，此时点的坐标为（2，3）6.（2016巴彦淖尔第24题）如图所示，抛物线经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作ACx轴，交直线y=2x2于点C，且直线y=2x2与x轴交于点D（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；（2）求点A关于直线y=2x2的对称点A的坐
9、标，并判断点A是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值解：（1）把点O（0，0），A（6，0）代入，得：，解得：，抛物线解析式为当x=6时，y=262=10，当y=0时，2x2=0，解得x=1，点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）；（2）过点A作AFx轴于点F，点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在RtACD中，CD=，点A与点A关于直线y=2x2对称，AED=90，SADC=AE=510，解得AE=，AA=2AE=，DE=，AED=AFA=90，DAE=AAF，
10、ADEAAF，解得AF=4，AF=8，OF=86=2，点A坐标为（2，4），当x=2时，y=，A在抛物线上（3）点P在抛物线上，则点P（x，），设直线AC的解析式为y=kx+b，直线A经过A（2，4），C（6，10）两点，解得：，直线AC的解析式为，点Q在直线AC上，PQAC，点Q的坐标为（x，），PQAC，又点Q在点P上方，l=（）（）=，l与x的函数关系式为l=，（2x6），l=，当x=时，l的最大值为考点三：最大面积问题7、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QA
11、C的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代中得 抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 直线BC与的交点即为Q点， 此时AQC周长最小 C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 Q(1，2)（3）答：存在理由如下：设P点 若有最大值，则就最大，当时，最大值最大 当时，点P坐标为8.（2016通辽第26题）已知抛物线经过A（1，0），B（4，
12、0），C（0，2）三点（1）请直接写出抛物线的解析式（2）连接BC，将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线交于点D，求点D的坐标（3）在（2）中的线段AD上有一动点E（不与点A、点D重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，AFD的面积最大？求出此时点E的坐标和AFD的最大面积解析：（1）抛物线经过A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x4），C（0，2）在抛物线上，2=a1（4），a=，抛物线的解析式为y=（x+1）（x4），即；（2）设直线BC解析式为y=kx2，B（4，0），4k2=0，k=，直线BC解析式为，直线BC平移，使其经过点
13、A（1，0），且与抛物线交于点D，直线AD解析式为，联立，解得：（舍）或，D（5，2）；（3）A（1，0），D（5，2），以AD为底，点F到AD的距离越大，三角形ADF面积越大，作lAD，当l与抛物线只有一个交点时，点F到AD的距离最大，设l的解析式为，联立转化为关于x的方程为：，=44（2n4）=0，n=，直线l的解析式为，x=1，将x=1代入得，y=2，F（1，2），E（1，1），EF=3，SAFD的最大面积=EF|xExA|+EF|xDxE|=32+34=9考点：二次函数综合题；最值问题；动点型；压轴题9.（2016绥化第28题）如图，抛物线经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于
14、点C（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的A，请判断A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线解析式为；（2）相交，理由：过A作ADBC于点D，如图1，A与BC相切，AD为A的半径，由（1）可知C（0，），且A（1，0），B（5，0），OB=5，AB=OBOA=4，OC=，在RtOBC中，由勾股定理可得BC=，ADB=BOC=90，ABD=CBO，ABDCBO，即，解得AD=，即A的半径为，1，A与y轴相交；（3
15、）C（0，），可设直线BC解析式为y=kx，把B点坐标代入可求得k=，直线BC的解析式为，过P作PQy轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，设P（x，），则Q（x，），PQ=（）（）= =，SPBC=SPCQ+SPBQ=PQOE+PQBE=PQ（OE+BE）=PQOB=PQ=，当x=时，SPBC有最大值，此时P点坐标为（，），当P点坐标为（，）时，PBC的面积有最大值10.（2017贵州安顺第26题）如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M
16、，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）解析：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21， 抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，PC=，CPM为等腰三角形， 有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，
17、交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大11.（2017泸州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足DBA=CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC，
18、y轴与点E、F，若PEB、CEF的面积分别为S1、S2，求S1-S2的最大值解析：（1）抛物线解析式为y=-；（2）当点D在x轴上方时，过C作CDAB交抛物线于点D，如图1，A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，四边形ABDC为等腰梯形，CAO=DBA，即点D满足条件，D（3，2）；当点D在x轴下方时，DBA=CAO，BDAC，C（0，2），可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，直线AC解析式为y=2x+2，可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，直线BD解析式为y=2x-8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，D（-5，-1
19、8）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）过点P作PHy轴交直线BC于点H，如图2，设P（t，-t+2），由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=-，H（t，-），PH=yP-yH=- = -，设直线AP的解析式为y=px+q，解得，直线AP的解析式为y=（-t+2）（x+1），令x=0可得y=2-t， F（0，2-t），CF=2-（2-t）=t，联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，S1=PH（xB-xE）=（-t2+2t）（5-），S2=，S1-S2=（-t2+2t）（5-）-，=-t2+5t=-（t-）2+，当t=时，有S1-S2有最大值，最大值为考点：二次函数综合题.
