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1、出海捕鱼问题The Problem of Fishing 届 系专 业 学 号学生姓名 指导教师完成日期 年 月 日摘 要本文主要考虑出海捕鱼的最优问题，出海捕鱼追求的是最大产量或最优效益，为了使生态环境不受到破坏，同时实现捕鱼业的持续收获，首先要考虑鱼的自然增长率和捕捞率的关系，据此建立三种模型一、产量模型，即追求鱼的最大产量，利用常微分方程解出稳定情况下渔场的鱼量及最大持续产量；二、效益模型：效益模型又分为不考虑银行利率等影响模型和考虑银行利率等影响模型；模型与产量模型相似，在控制捕捞强度下求出利润最大时的稳定鱼量及单位时间的持续产量，模型在模型的基础上引入折扣因子，从经济学上考虑长期效益
2、，通过解欧拉方程求最优鱼量和持续捕捞量，最后在边际损失和边际得益平衡时得到最大效益。三、捕捞过度模型，通过比较单位捕捞费用、贷款实际利率和鱼的售价方面的关系分析资源枯竭的问题最后通过比较上述模型得出最优模型关键词：鱼的自然增长率 捕鱼强度 捕捞系数 持续产量 最优效益AbstractThe paper main consideration the optimalization problem of goes to sea to catches fish, The pursue of go to sea catches fish is the greatest output or the mos
3、t superior benefit, In order to cause the ecological environment do not be destructed, simultaneously realizes catching fish industry continues sustained yield, Must consider fishs natural increase rate and the fishing rate relations, according to the above explanation establishes three kind of mode
4、ls. First, the output model, the goal of this model is fishs greatest output, Using the differential equation solves the fishery fish quantity and the most great sustained production in the stable situation; The second model is benefit model: The benefit model divides into two；One do not consider th
5、e influence of bank rate model I ，the other considers the influence of bank rate model II; The model I is similar with the output model，with the control of fishing intensity they want to get the stable fish quantity and the sustained production, The model II introduces the discount factor at the bas
6、e model,It considers the long-term benefit from the economic, By the solution of Euler equation gets the most superior fish quantity and continous fishing quantity, Finally obtains the largest benefit when the boundary loss and the boundary achieves the balance. Third, over fishing model, Compared w
7、ith the unit expense,the loan real interest rate and fishs selling price，then analysis the exhaustion of resources 。At the end get the optimized model.Key words：the natural increasing rate fishing intensitythe coefficient of fishing the sustained yield the largest benefit目 录 绪 论11.1 课题研究的目的和意义11.1.1
8、 当前海洋的生态情况11.1.2 相应的政策和措施21.2 论文中涉及的部分知识点21.2.1 方程的平衡点及稳定性21.2.2 变分法简介32 出海捕鱼的数学模型52.1 产量模型52.1.1 产量模型52.1.2 产量模型62.1.3 产量模型82.1.3 两个模型的比较112.2 效益模型112.2.1 效益模型112.2.2 效益模型122.3 捕捞过度模型132.3.1 过度捕捞模型132.3.2 捕捞过度模型142.4 模型小结163 关于捕鱼模型的展望16参 考 文 献17致 谢18 绪 论1.1 课题研究的目的和意义1.1.1 当前海洋的生态情况海洋是生物资源宝库.据生物学家统
9、计，海洋中约有20万种生物，其中已知鱼类约1.9万种，甲壳类约2万种许多海洋生物具有开发利用价值，为人类提供了丰富食物和其他资源世界海洋浮游植物产量5000亿吨，折合成鱼类年生产量约6亿吨假如以50%的资源量为可捕量，则世界海洋中鱼类可捕量约3亿吨 但是近几年来我国海洋生物资源出现严重的衰退，渔业资源过度捕捞是我国渔业资源衰退的主要原因之一中国有句古话，授之以鱼不若授之以渔.讲的是与其给予物质帮助，不如传授生存的技巧古人以鱼和渔来作比喻，显示了水产资源和水产捕捞与人类的密切关系自有人类以来，渔、猎、采摘就是食物来源的重要途径 时至今日，海洋所能够提供的已经接近极限世界渔业和水产养殖状况的报告指
10、出，由于人类科技的进步，和需求量的不断增加，占全球面积70%的海洋中，只有3%海洋资源处于未开发状态21%的渔业资源可以少量提高捕捞量而52%的资源目前处于充分开发状态，16%的资源处于过度开发状态，7%的资源遭到完全破坏，仅有1%的资源从衰竭状态开始恢复报告指出，渔获量最高的十种资源中，有七种处于完全开发或过度开发状态捕捞量的增加可能导致严重的生物学、经济学和社会问题东北大西洋、地中海和黑海以及西北大西洋、东南大西洋、东南太平洋和南大洋被确认为受损害最严重的区域 据文汇报20日报道，东海区近年的渔获量约在600万吨以上，与上世纪七八十年代300-500万吨的资源评估量相比，整个海区的渔业资源
11、看似增加了，但乐观的数字背后却隐含着危机首先，渔捞量的增长相当程度上是由于捕捞强度的加大，以及作业渔场范围的扩大大量幼鱼还未长到成熟就沦为人们的盘中餐与渔业产量逐级提高相反，东海区的鱼类种类明显减少据统计，本次调查捕获的鱼类种类为397种，仅相当于历史记录数760种的52.2%这说明，东海区渔业资源虽处于历史最高水平之中，但总体状况却趋于衰退，并正朝着继续衰退的方向发展众多的海洋大国将触角深向大洋深处，对海洋资源的保护迫在眉睫 1.1.2 相应的政策和措施世界粮农组织渔业委员会官员认为，恢复被破坏的资源，实际上首先应该避免目前认为还处于健康状态的资源遭到破坏报告呼吁大量减少过度开发资源的捕捞或
12、采取临时性的禁渔，同时采取措施恢复遭到破坏的鱼类栖息地强烈呼吁各国遵循可持续发展提出的目标，到2015年将资源恢复到健康水平这些措施对保护生态环境平衡起了很大的作用我国也对渔业资源管理采取了价格机制和计划机制相结合的手段，尤其是对近海渔业资源采取了计划控制措施其公共政策归纳为五个方面第一，征收渔业资源增殖保护费，专门用于增殖和保护渔业资源.收费不可能高到可以实现资源再生产的程度。第二，捕捞能力控制，第三，入渔权的控制和分配，第四，渔业资源修复和培育，主要手段包括海洋伏季休渔和春季禁渔制度，第五，污染治理与食品安全大量政策的实施在一定程度上遏制了渔业资源枯竭的态势1.2论文中涉及的部分知识点1.
13、2.1 方程的平衡点及稳定性设有微分方程 （1-1）右端不显含自变量，代数方程 （1-2）的实根称为方程(1-1)的平衡点，它也是方程(1-1)的解. 如果从所有可能的初始条件出发，方程(1-1)的解都满足 （1-3）则称平衡点是稳定的；否则称是不稳定的. 判断平衡点是否稳定通常有两种方法：利用定义(1-3)式称为间接法：不求方程1-1的解，因而不利用(1-3)式的方法称为直接法.下面介绍直接法将在做泰勒展开，只取一次项，方程1-1近似为 （1-4）（1-4）称为（1-1）的近似线性方程，也是（1-4）的平衡点，关于点的稳定性有如下结论，若，则对(1-1)和(1-4)都是稳定的;若，则对(1-
14、1)和(1-4)都是不稳定的.1.2.2 变分法简介泛函的变分法同函数的微分一样，函数的微分是线性主部，泛函的变分是泛函增量的线性主部，作为泛函的自变量，函数在的增量记作也称为函数的变分，由它引起的泛函增量记作如果可以表示为其中是的线性项，是的高阶项，则称为泛函在的变分，记作，用变动的代替就有.泛函变分的一个重要性质是它可以表示为对参数的导数： (1-5)1.极值与变分利用极值的表达式1-5可以得到泛函极值和变分的关系,若在达到极值，则因为任意给定的，是变量的函数，该函数在处达到极值，根据函数极值的必要条件知2.欧拉方程泛函极值的必要条件讨论最简泛函在固定端点条件下取得极值的必要条件，设泛函和
15、端点的条件表示为 (1-6)， (1-7)其中具有二阶连续偏导数，容许函数集为满足的二阶可微函数集合.引理 设是内的连续函数,若对于任意的充分光滑函数满足=0,有0则在内.欧拉方程的推导:设泛函(1-6)在取得极值，满足(1-7),记满足按照泛函极值与变分的关系有 (1-8)对于(1-6)表示的计算 (1-9)对右端第二项作分部积分并利用得代入(1-9)式并根据(1-8)式有因为是任意的由引理立刻得到 (1-10)(1-10)称为欧拉方程，是在取得极值的必要条件.2 出海捕鱼的数学模型考察出海捕鱼问题，因为鱼量在天然环境下按一定的规律增长，如果捕捞量恰好等于增长量，那么鱼量保持不变，这样捕捞量
16、就可以持续.分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大，最后研究捕捞过度的问题我们从产量和效益着手建立模型，分析如何控制捕捞强度实现产量最大和效益最高.假设船队出海对某渔场捕鱼，由于渔场有其自身的限制，所以我们假设其有最大容量，与人口的增长模型相似这样便于模型的假设和建立2.1 产量模型2.1.1 产量模型记时刻t渔场为，关于的自然增长和人工捕捞作如下假设：1. 在无捕捞条件下的增长服从Gompertz规律，即 是固有增长率，是环境容许的最大鱼量，用表示单位时刻的增长量.2. 单位时间的捕捞量（既产量）与渔场鱼量成正比，比例常数表示单位时间捕捞可以进一
17、步分解为，称捕捞强度，用可以控制的参数譬如出海渔船数量来度量，称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率，于是单位时间的捕捞量为根据以上假设并记假设，得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程 并不需要解上述方程以得到的动态化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量与保持稳定的条件，即时间足够长以后渔场鱼量的趋向，并由此确定最大持续产量.为此可以直接求方程的平衡点并分析其稳定性.令得到两个平衡点, 不难算出,由上可知，点稳定,即为平衡点，进一步讨论渔场鱼量稳定在的前提下，如何控制捕捞强度使持续产量最大的问题.把代入中可以得到模型的建立是在不破坏鱼群的基础上，所以易知，求的最大值，用微分法可以得到，当时，达到最大，此时的
18、平衡点为，此时单位时间最大产量为.由上面可知此模型当捕捞率等于增长率时，可以获得最大持续产量.2.1.2 产量模型模型的假设与上面相似，只是增长规律不同，假设在无捕捞条件下的增长服从Logistic规律，即 (2-1) (2-2)是固有增长率，是环境容许的最大鱼量，用表示单位时刻的增长量.得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程 (2-3)令得到两个平衡点, (2-4)不难算出,所以若捕捞率小于固有增长率，即 (2-5)有，故点稳定，点不稳定；若捕捞率大于固有增长率则相反. 为捞率，是最大的增长率，上述分析表明只要捕捞适度（） ，就可使渔场鱼量稳定在，从而获得持续产量；而当捕捞过度时（），渔场鱼量将减
19、至，当然谈不上获得持续产量了.进一步讨论渔场鱼量稳定在的前提下，如何控制捕捞强度使持续产量最大的问题，用图解法可以非常简单地得到结果.根据(2-1)、(2-2)式作抛物线和直线，如图 图2-1注意到在原点的切线为，所以在条件(2-5)下必与有交点，的横坐标就是稳定平衡点.根据假设2，点的纵坐标为稳定条件下单位时间的持续产量，由图知道，当与在抛物线顶点相交时可获得最大的持续产量，此时的稳定平衡点为 (2-6)且单位时间的最大持续产量为 (2-7)因为捕捞系数会随着捕捞强度的增大而减少，假设捕捞系数与捕捞强度的关系为即单位强度的捕鱼量随着船数的增多而减少，由（2-4）式不难算出保持渔场稳定在的捕捞
20、强度为 (2-8)综上所述，产量模型的结论是将捕捞强度控制在 ，或者说使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时，可以获得最大的持续产量.分析两模型的建立计算时,可以看出鱼群增长在Logistic定律时更贴近于实际中的情况，为了方便建立模型和计算，以下我们都设鱼群增长服从Logistic规律.2.1.3 产量模型在产量模型基础上，引入一个实际中较常用到的模型，根据国家资源部规定每年都有禁渔期和捕捞期，并且对渔网的大小也规定，这样就是为了保护幼鱼，防止捕捞过度造成资源枯竭。由于渔场的边界难以控制，最大容量也就难以测得，但是在限定容量里鱼群的数量增多，则鱼的死亡率就会增大，下面的模型就引入鱼的年龄大小和成活
21、率，死亡率等.假设（1）某种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，4龄鱼.各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；（2）平均每条4龄鱼的产卵量为；3龄鱼的产卵量为，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼；成活率（1龄鱼条数与产卵总数之比）；（4）假设只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。（5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之内的变化是连续的； 4龄以上的鱼全部死亡；（6）捕捞速率正比于各龄鱼群的条数.建立一个产量模型求取每年的持续最优捕鱼量.无捕捞时鱼的自然增长模型为：，=1，2，3，4；，=0，1，2，其中，并且可得当投入固定捕捞强度时鱼群
22、的增长和捕捞模型为， (2-9) ， (2-10) ，=1，2，3 (2-11)， (2-12)， (2-13)根据上述的假设及分析，运用伯努力方程的解法，我们可以知道：1. 鱼群的增长规律 =1，2，3 (2-14) (2-15) (2-16)其中0.4493，=1， 2. 捕捞量单位时间内第龄鱼的捕捞量为第年全年第龄鱼的捕捞量为于是第年总的捕捞量为3. 可持续捕捞模型可持续捕捞意味着由于自然死亡和捕捞使鱼群减少，而通过产卵繁殖补充，使得鱼群在每年初开始捕捞时保持平衡不变，这样捕捞策略可以年复一年的持续下去，可持续捕捞的鱼群数应该是(2-14),(2-15)和(2-16)式的平衡解，即模型不
23、依赖时间的解（=0，1，2，3，4）求解(2-14),(2-15)和(2-16)得，=1，2，3即， (2-17) (2-18) (2-19)将(2-17)代入(2-19)得代入(2-18)式有求解可得代入(2-17)式可得，.其中。当时，即意味着捕捞过度，致使鱼群灭绝，当时，为过度捕捞强度，因此，可以在范围内找产量最大捕鱼策略，在可持续捕捞条件下第龄鱼的年捕捞量为，=3，4由此可算出整年的捕捞总量.2.1.3 两个模型的比较模型,模型和模型中都考虑了产量最大的问题，模型对模型的假设更为详细，对鱼的大小，年龄，成活率，死亡率等都做了具体的假设，比模型,较为完善更贴近实际应用；但是由于各类鱼的年
24、龄是葛布相同的，所以在实际应用中要根据实际情况计算；另外两个模型中没有考虑鱼的售价及出海费用等的一系列问题，因此，出海捕鱼采用此策略是不可取的，下一步建立根据费用等方面建立效益模型.2.2 效益模型2.2.1 效益模型出海捕鱼从经济角度看不应追求产量最大，而应考虑效益最佳.如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且简单地假设：鱼的销售单价为常数，单位捕捞强度（如每条出海鱼船）的费用为常数，那么单位时间的收入和支出分别为 (2-20)单位时间的利润为 (2-21)假设捕捞系数，在稳定条件 下，以(2-4)代入(2-21)式得 (2-22)用微分法容易求出使利润达到最大的捕捞强度
25、为 (2-23)将代入(2-4)式可得最大利润下的渔场稳定鱼量及单位时间的持续产量为 (2-24) (2-25)将(2-23)-（2-25）式与产量模型中的（2-6）-（2-8）式相比较可以看出，在最大效益原则下捕捞强度和持续产量均有所减少，而渔场稳定鱼量有所增加，并且减少或增加的比例随着捕捞成本的增长而变大，随着销售价格的增长而变小，这显然是符合实际情况的.2.2.2 效益模型上面的效益模型是以计划捕捞（或称封闭式捕捞）为基础的，即渔场单独的经营者有计划地捕捞，可以追求最大利润，但是如果有众多盲目的捕捞者，即使有微薄的利润，经营者也会去捕捞，这样随着鱼的价格和捕捞成本的变动，鱼量将会迅速减少
26、，出现捕捞过度，甚至导致鱼群种类的灭绝.建立效益模型决定出海捕鱼的最佳时机及捕捞强度，除了要对鱼群的生长规律及出海的渔船数量和捕捞率做简单假设外，还要考虑鱼的售价和渔船的费用，银行贷款利率、通货膨胀率等因素.这就需要我们引入折扣因子，折扣因子是贷款利率和通货膨胀率之差.效益模型假设如下:1渔场鱼量的自然增长服从Logistic 规律，单位时间捕捞量取决于渔场鱼量的大小，记做，于是在捕捞条件下满足 (2-26) (2-27)，仍是固有增长率和最大容量2折扣因子为，鱼的单价为，在渔场鱼量为水平下，单位捕捞量的费用为，为减函数. 模型的目标函数是开发渔业资源的长期效益，因为单位时间的捕捞量为 ，在折
27、扣因子下单位时间的利益为 ；所以长期效益可以表示为 (2-28)将方程(2-27)代入(2-28)式得 (2-29)问题归结为求使达到最大，并由此可确定单位时间最优捕捞量 .最优解应满足欧拉方程，即化简后可得 (2-30)当给定费用函数并将(2-27)式的代入(2-30)以后，(2-30)式是关于的代数方程，故由此求得的最优解是一个常数，从而单位时间捕捞量也为常数值，即我们得到是最优持续产量.为了对(2-30)确定的最优解给出经济学上的边际解释，记 (2-31)则(2-30)式可以表示为 (2-32)又因为 所以2-30等价于 (2-33)可以看出，当最优解为常数时，(2-31)式定义的是单位
28、时间利润，而则是渔场鱼量增加一个单位（相当于捕捞量减少一个单位）引起的损失.故(2-33)式左端是按折扣因子折算到后的边际损失. （2-33）式右端显然是单位捕捞量所得的利润（时），即得边际利益.（2-33）式表明，最优解在边际损失被边际得益平衡时取得.2.3 捕捞过度模型过度开发造成资源枯竭是可再生资源面临的严重问题，人们盲目的追求自己眼前的利益，在很大程度上破坏了生态平衡，为了长久的利益，也为了生态环境的平衡，我们研究一下捕鱼过度的问题，以及如何防止这种现象的发生.2.3.1 过度捕捞模型我们讨论达到最优持续产量时，渔场中的鱼量水平及可能出现的资源枯竭，在中假设捕捞费用与渔场中的鱼量成反比
29、，即： (2-34)即渔场中鱼量越少，捕捞越困难，捕捞费用越多.在捕捞量与成正比的情况下是不考虑折扣因子时单位捕捞过度的费用.将（2-34）和（2-27）代入(2-30)式，化简后的到关于的二次方程 (2-35)方程的正根为 (2-36)记 (2-37)其中，是渔场鱼量的最优水平，是费用价格比（相对于）可以假设1,是折扣因子与鱼的固有增长率之比,称为生物经济增长率,它们都是无量纲量.（2-36）式可以记做可以看出最优策略相对水平只依赖于两个参数和1当时，即时，.将（2-37）代入可知2变大时，递减，当时，3若，即，则.如果又有即，则.表明当捕捞费用极低而实际利率（即折扣因子）很高时（与相比）将
30、诱使经营者“竭泽而渔”，转而投资其它产业.2.3.2 捕捞过度模型实际上费用不会趋向零.时上叙模型的的假设也不合实际，因为按照这个假设，当时将导致，现在我们假设另一个捕捞费用函数 (2-38)其中表示资源将要枯竭时单位捕捞量的费用.我们来看方程看其是否有的解假设 (2-39) (2-40)将(2-27)式表示的代入(2-39)得 (2-41)是一条斜率大于零且的直线，如图2-2若及的表达式知故存在使，且当时；又因为 ，由(2-40)式可知（）， (2-42)由此可画出的示意图图2-2直线与曲线必相交，交点的横坐标为方程的根，而，所以在最大效益下渔场的稳定鱼量恒大于零，即鱼的售价小于最高成本则在
31、最大效益下不会导致资源枯竭.同样可知若，且，则最大效益将导致资源枯竭.这个结果表明，当鱼的售价较高（相对于成本），贷款实际利率较高（相对于鱼的固有增长率）时，将诱使经营者肆意捕捞，导致资源枯竭.2.4 模型小结 论文中共涉及到三大模型，：产量模型、效益模型、过度模型，这三个模型，从不同的角度，逐步完善了捕鱼策略.从模型可以看出无论产量最大还是效益最大,都不一定是最好的,如果一味的追求效益,而导致资源的枯竭,那么无论效益有多大,都毫无用处,因为资源的枯竭,意味着生态的失调,这样导致的可能是整个生物圈的瘫痪.所以,出海捕鱼最重要的是维持生态平衡的基础上适当的追求最大效益.3 关于捕鱼模型的展望虽然
32、渔业资源具有再生的特性，但是当捕捞量超过渔业资源的再生能力的时候，所面临的状况就是资源的逐渐枯竭甚至是物种的灭绝很多国家目前存在的近海无鱼可打的状况，就是过量捕捞带来的恶果，而不断壮大的远洋捕捞能力，又将这种危机带到了深海地区我们希望建立更为完善的捕鱼捕鱼模型，来解决现在的鱼荒问题.首先，出海捕鱼涉及到公海捕鱼时，应该考虑各个国家的捕捞强度不同及利率不同等的问题，这样可以不仅保持生态的基础上各自获得最大效益，还可以避免各国之间的纠纷；另外，由于不同鱼的繁殖速度、成长速度均有不同，针对这一特点可以对不同的鱼类制定不同的捕捞策略。这样我们就可以使海洋逐步恢复到原有的繁荣。参 考 文 献1 姜启源编
33、，数学模型，第二版，北京，高等教育出版社.2 韩中庚编,数学建模方法及其应用， 解放军信息大学.3 阮炯编，差分方程和常微分方程，复旦大学数学系出版.4 刘来福编，数学模型与数学建模，北京师范大学出版社.5 张国权编，数学实验， 科学出版社.6 白凤山等编，数学建模，哈尔滨工业大学出版社.7 王怀柔编, 常微分讲义，人民教育出版社.8 潭永基编, 数学模型, 复旦大学出版社.9 王能超编, 数值分析简明教程, 高等教育出版社.10 蔡常丰编，数学模型建模分析，北京科学出版社.11 应用社学学报, 中国数学会主办出版.12 R . Harberman:：mathematical Models .
34、 Prentice Hall，Englewood Cliffs.13 Frederic Y.M.Wan:：mathematical Models and their analysis. Harper & Row ,Publisher，Inc. Now York.14 WILLIAM F.LUCAS, 朱煜民译,微分方程模型，国防科技大学出版社15 Walter Rudin ，数学分析原理，机械出版社.16 17 致 谢首先感谢数理系所有领导和老师四年来的关心和教导，让我不仅在学业上获得丰收，更使我学会了许多为人处世的道理，让我对即将踏入社会工作充满了信心在这篇论文的撰写过程中，张保才老师给予极大的帮助郭志芳老师为这篇论文提出了明确的指导思想和写作要求，细心地指导了论文的书写另外，陈庆辉老师在论文的编写方面也给予了很大的帮助，在此，我深切感谢郭志芳老师为我的毕业论文所付出的心血和所做的大量工作再一次向四年来为我们的成才而的辛勤工作的系领导和老师以及辅导员孙海召致以诚挚的谢意！
