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1、学员学术研讨会论文数学学年论文关于多项式插值法的分析探讨摘 要：本文在简要介绍了有关插值法的一些基本概念的基础上，详细介绍了Lagrange插值公式、 Newton基本插值公式、分段插值以及三次样条插值公式并深入探讨了各种插值公式的适用范围及其优劣性关键词：插值法 插值函数 插值多项式 插值公式 一、引言在科学研究和工程中，常常会遇到计算函数值等一类问题，然而函数关系往往是很复杂的，在实际问题中，有时只能给出函数在平面上的一些离散点的值，而不能给出函数的具体解析表达式，或者函数的表达式过于复杂而难以运算.例如，根据观测或实验得到一系列的数据，确定了与自变量的某些点相应的函数值，而要计算未观测到
2、的点的函数值，这时我们需要用近似函数来逼近函数.在数学上常用的函数逼近的方法有：（1）插值 （2）一致逼近 （3）均方逼近或称最小二乘法本文主要讨论用插值逼近函数的方法.什么是插值？简单的说，就是用给定的未知函数的若干函数值的点构造的近似函数，要求与在给定点的函数值相等，则称函数为插值函数.下面我们给出插值函数的一般定义：定义：为定义在区间上的函数,为上n+1个互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数满足：则称为关于节点在上的插值函数，称点为插值节点.这样，对函数在区间上的各种计算，就用插值函数的计算取而代之.构造插值函数需要关心下列问题：（1） 插值函数是否存在？（2） 插值函数是否唯一
3、？（3） 如何表示插值函数？（4） 如何估计被插函数与插值函数的误差？本文主要对以下几种插值做一下分析探讨：（1）插值（2）插值（3）分段插值（4）三次样条插值.二、插值对于插值函数，我们通常可以选择多种不同的函数类型，但由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，我们常选用代数多项式作为插值函数.首先我们来看这样一个问题：给定两个插值点其中怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值.下面先用待定系数法构造插值直线.设直线方程为将分别代入直线方程，得 , 当时,因所以方程组有解，且解唯一.这也表明，平面上两个点有且仅有一条直线通过，用
4、待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和唯一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量大且不便向高阶推广，故这种构造方法不宜采用.当时，若用两点式表示这条直线，则有： 这种形式称为插值多项式. 记 称为插值基函数，计算的值,可知在插值多项式中，可将看作两条直线与的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位是平等的.如果我们给定三个插值点，其中互不相等，那么该怎样构造函数的二次（抛物线）插值多项式呢？仿照线性插值的插值，我们可设 为二次函数对来说，要求是它的零点，因此可设同理也有相应形式.将分别代入，可得 有一般地，当给定n+1个互不相同的插值节点时，就可得出函数的n次插
5、值多项式: 下面我们以定理的形式来给出插值多项式的误差估计.设在区间上有直到n+1阶导数，是上n+1个互异节点，满足的n次插值多项式，则对，有，其中，且依赖于三、插值插值多项式的优点是格式整齐和规范，它的缺点是计算量大且没有承袭性，当需要增加插值节点时，不得不重新计算所有插值基函数，所以我们再来引进具有承袭性的插值多项式.先来介绍一下差商运算.一阶差商：函数值的差与自变量的差之比值，记为 而称为关于点的二阶差商.一般地，k阶差商为： 我们知道差商的值只与节点有关而于节点的顺序无关，所以有： 如果给定，其中互不相同，那么如何来构造n次插值多项式？由一阶差商的定义得类似地，由二阶差商至n阶差商的定
6、义可得到下列方程组 解这个方程即得 为不高于n次的多项式，可验证，称是过n+1个插值点的n阶插值多项式. 为插值多项式的误差.由插值多项式的唯一性知，拉格朗日插值多项式与插值多项式完全相同，只是表达形式不同，因此得到它们的误差也应完全相等，故当时，有 四、分段插值在构造插值多项式时，适当提高插值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度，但不能因此认为插值多项式的次数越高越好，例如我们所熟悉的龙格现象就说明了这一点.既然增加插值节点并不能提高插值函数的逼近效果，那么采用分段插值的效果又如何呢？例如，当给定了n+1个点上的函数值后，若要计算点处函数值的近似值，可先选取两个节点与，使，然后在小区间
7、上作线性插值，即得 这种分段低次插值叫分段线性插值.类似地，为求的近似值，也可选取距点最近的三个节点进行二次插值，即取 这种分段低次插值叫分段二次插值，为了保证是距点较近的三个节点，可通过下面方法确定: 五、三次样条插值分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现等优点，但它只能保证各小段曲线在连接点上的连续性，却不能保持整条曲线的光滑性，对一些实际问题，不但要求一阶导数连续，而且要求二阶导数连续.为了克服上述缺点，我们考虑使用逐段表示成低次多项式的光滑函数作为的插值函数，这将是我们要介绍的样条插值函数.给定区间上个节点和这些点上的函数值，若函数满足：（1） 在每个子
8、区间上是不高于三次的多项式（2） 在上连续（3） 满足插值条件，则称为函数关于节点的三次样条插值函数.要在每个子区间上构造三次多项式共需要个条件，由插值条件提供了个条件,用每个内点的关系建立条件 又得到了个条件，再附加两个边界条件，即可唯一确定样条函数了.设，由于在上为线性函数，故在上做的分段线性插值函数： 令，得到对积分两次有将代入可解出 在每个小区间上具有不同的表达式，但由于在整个区间上是二阶光滑的，故有 列出每一个关系式，再经计算得 其中由得到个未知数的个方程组，现补充两个边界条件，使方程组只有唯一解，下分三种情况讨论边界条件：（1） 给定的值（时称为自然边界条件）,此时阶方程组有个未知量，即（2） 给定的值，它们分别代入在中的表达式，得到另外两个方程： 于是需要解阶方程组 （3） 被插函数以为基本周期时，即，即，即此时化为个变量，个方程的方程组.本文简要介绍了几个常用的插值方法：插值，插值，分段插值以及三次样条插值，并分别介绍了各自的适用范围以及优劣性.插值法是一个古老而实用的数值方法，它为今后学习数值微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分析奠定了基础.姓名：蔡巍 程磊单位：陆军航空兵学员九队联系人电话：877815
