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1、 矩阵初等变换的若干应用Some applications of elementarytransformation of matrix 专 业: 数学与应用数学作者: 指导老师: 学校二一 摘 要本文介绍了矩阵初等变换在高等代数中的一些应用, 总结了其在求矩阵和向量组的秩、求逆矩阵、化二次型为标准形、求解矩阵方程以及求一元多项式最大公因式中的应用.关键字: 初等变换; 秩; 逆矩阵; 标准形; 矩阵方程; 最大公因式 Abstract In this paper, we introduce some applications of elementary transformation of ma
2、trix in algebra, and summarizes the applications of elementary transformation of matrix in the rank of a matrix and vector, the inverse matrix, changing quadratic form as the standard form, solving the matrix equation and the monadic polynomial greatest common factor. Keywords: elementary transforma
3、tion; rank; inverse matrix; standard form; matrix equation; greatest common factor 目 录摘 要IABSTRACTII0 引言11 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念12 用初等变换求矩阵和向量组的秩23 用初等变换法求逆矩阵34 用初等变换化二次型为标准形45 用初等变换求解矩阵方程55.1 当,可逆时线性矩阵方程的解55.2 当,不可逆时线性矩阵方程的解66 用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法8参考文献110 引言矩阵理论是代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用. 在矩阵的应用中,
4、矩阵的初等变换起着关键作用. 关于矩阵初等变换的应用, 前人已经得出了很多有价值的结论, 本文在前人理论的基础上对矩阵的初等变换在代数中的若干应用进行了一些讨论. 归纳了初等变换在求矩阵和向量组的秩, 矩阵的逆, 化二次型为标准形, 线性矩阵方程的解以及求一元多项式的最大公因式等方面的应用.1 矩阵的初等变换与初等矩阵的基本概念 我们先来看看有关矩阵初等变换和初等矩阵的相关知识:(1) 对矩阵施以以下三种变换, 称为矩阵的初等变换: (i) 交换矩阵的两行(列);(ii) 以一个非零数乘矩阵的某行(列);(iii) 矩阵的某行(列)加上另一行(列)的倍.(2) 矩阵的初等变换用如下形式表示:
5、(i) 交换矩阵的第行(列)与第行(列): 或;(ii) 非零常数乘矩阵的第行(列): 或; (iii) 矩阵的第行(列)加上第行(列)的倍: 或.(3) 初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵, 共3类:(i)交换的第行与第行(或第列与第列)得到的初等矩阵;(ii)（或）用数域中的非零数乘的第行(或第列)得到的初等矩阵;(iii)把的第行的倍加到第行(或第列的倍加到列)得到的初等矩阵.2 用初等变换求矩阵和向量组的秩 由于初等变换不改变矩阵的秩, 且任意一个矩阵均可以经过一系列行初等变换化为梯形矩阵; 因此, 我们要确定一个矩阵的秩, 首先要用行初等变换将其化为梯形矩阵,
6、然后再由梯形矩阵的秩确定原矩阵的秩.例1 设, 求矩阵的秩.解 因此矩阵的秩为3.如果我们要求向量组的秩, 可以把每一向量作为矩阵的一行, 从而向量组就转化为了一个矩阵, 使求向量组的秩转化成求矩阵的秩, 自然使问题简单化了.例2 求向量组, , , , 的秩. 解 以为列, 构造矩阵, 再对进行行初等变换, 化为梯形矩阵: 因此, 矩阵的秩是4, 从而向量组的秩也是4.3 用初等变换法求逆矩阵 如果是阶可逆矩阵, 我们将与并排放到一起, 形成一个的矩阵, 因为, 所以对矩阵作一系列行初等变换, 将其左半部分化为单位矩阵, 这时右半部分就是.例3 设，求.解 .因此, .同理, 如果是阶可逆矩
7、阵, 我们将与并列放到一起, 形成一个 的矩阵, 因为, 所以对矩阵作一系列列初等变换, 将其上半部分化为单位矩阵, 这时下半部分就是. 用初等变换法求逆矩阵是一种通用而较简便的方法. 正确地选择和使用它们能更快更好地解决各类求逆矩阵问题.4 用初等变换化二次型为标准形对任意二次型一定存在可逆非退化线性替换将其化为标准形, 即为对称矩阵找一个可逆矩阵, 使得为对角矩阵, 而可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积, 所以存在初等矩阵有， 从而有是一个对角矩阵.由上式可得到用初等变换法化二次型为标准形的步骤如下:首先, 写出二次型的矩阵, 构造矩阵, 然后对矩阵每进行一次行初等变换后, 就对进行一次
8、同样的列初等变换, 当矩阵化为对角矩阵时, 单位矩阵将化为可逆矩阵, 此时, 最后得到可逆矩阵和非退化线性变换, 在这个变换下二次型化为标准形.例4 化二次型为标准形, 并写出所用的非退化线性替换. 解 题中二次型的矩阵为, 由上面的初等变换法化二次型为标准形的步骤可知:=,从而非退化线性替换为, 原二次型化为.在运用矩阵初等变换来化二次型为标准形的关键: 对矩阵进行的行初等变换和列初等变换必须是一致的.5用初等变换求解矩阵方程5.1当,可逆时线性矩阵方程的解我们知道的解为. 实际上就是计算形如的矩阵乘积, 因为, 所以经过行初等变换可使化为, 也即对矩阵作初等行变换, 当处变成单位矩阵时,
9、处得到的矩阵就是.例5 求解矩阵方程, 其中，.解 ,因此 .5.2 当,不可逆时线性矩阵方程的解当,不可逆时我们将要用到新的初等变换法来解这种矩阵方程.定理 5.2.1 如果矩阵方程有解, 且可逆矩阵使, 那么该矩阵方程的通解为, 其中为的前行组成的矩阵, 中的元素可以任意取值. （证明见参考文献5）以上定理可给出求解矩阵方程的具体方法:（1）把,放到一起, 组成一个矩阵, 然后对其做初等行变换, 使得经过行变换后得到矩阵, 其中是上阶三角矩阵, 从而可确定矩阵和矩阵的秩, 判断方程是否有解, 同时取的前面行作成, 它满足, 且为的前行. （2）如果上述方程有解, 则对作初等列变换. 经过列
10、变换后变成其中, 必有.（3）从而由定理5.2.1可知，的通解公式为.例6 设, ,求矩阵方程的通解.解 根据求解矩阵方程的步骤, 首先将放到一起, 组成一个矩阵, 如下: ,然后对其作一系列初等行变换, 使得为上三角矩阵, 即.很明显, 矩阵和矩阵的秩都是2, 故该方程有解.取=, 有=, 接下来对作初等列变换, 经过列变换后我们可得到.从而, 由定理5.2.1知, 该方程的通解为 ,其中是任意的矩阵.矩阵方程的通解公式和解法与上面类似（详见参考文献2或5）, 应用矩阵的初等变换来求解矩阵方程具有很大优点, 不但通俗易懂, 而且容易掌握.6 用初等变换讨论一元多项式最大公因式的求法求一元多项
11、式最大公因式的方法, 目前最常用的方法是辗转相除法和因式分解法. 下面给出用矩阵及其初等变换来求一元多项式的最大公因式, 而且方便快捷.定理 6.1 设, 令, 则对实施一系列初等列变换后得, 此时, 且是与的最大公因式.证明 若不全为零, 则必有一个次数相对较低的多项式, 不妨设为, 对进行初等列变换, 第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上, 消去的最高项, 由于的次数有限, 重复上述过程, 必然出现矩阵中第一行只有一个非零元, 而其它均为零的情形, 即. 以上对所实施的变换, 即存在初等矩阵, 使得.因而, , , 即.设矩阵的逆矩阵为, 显然也是初等矩阵, 由于. 因而, 即, 于是,
12、 , 从而是与的公因式, 从而可知: 是与的最大公因式.例7 求, , 其中, . 解 因为, 所以, 且同时还满足.上述方法可灵活运用, 不一定必须用次数最低的多项式去消其它多项式. 也可以用次数较高的多项式去消次数更高的多项式, 以达到逐渐消去各多项式最高项, 使第一行只剩下一个非零元素的目的. 以上方法只讨论了列的情形, 行的情形与列相同, 此时, 行初等变换的结果是第一列只剩下一个非零元素, 该元素即为多项式的最大公因式（详见参考文献2）.对于求两个多项式的最大公因式, 辗转相除法是一种比较好的方法, 但对于求多个多项式的最大公因式, 辗转相除法在理论上可行, 在实际操作中却是非常繁琐
13、的. 本文介绍的方法, 对求多个多项式的最大公因式是一种行之有效的方法.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪教授表示衷心的感谢!参考文献1 北京大学数学系. 高等代数(第3版)M. 北京: 高等教育出版社, 2003.2 王文省, 姚忠平. 初等变换的思想方法在高等代数中的应用J. 聊城师范学报(自然科学版) 2003, 13 ( 3 ) .3 樊恽, 钱吉林等. 代数学词典M. 武汉: 华中师范大学出版社, 1994.4 钱吉林. 线性代数概论M. 武汉: 华中师范大学出版社, 2000.5 林亨成, 陈群. 矩阵的初等变换在线性代数中的一些应用J. 成都教育学院学报, 2006
14、, 91 92.6 戴天时, 陈殿友. 大学数学线性代数M. 北京: 高等教育出版社, 2004.7 赵树嫄. 线性代数(3版)M . 北京: 中国人民大学出版社, 2005. 061.8 Bebiano, Newdevelopmentsb on the Marcus-Oliveira conjecture N. Linear Algebra Applic, (1994)197-198, 793-803.9 Fuchs, The explicit inverse of the stiness matrix M.B., Int.J.Solids Struct, 29(1992), 2101-2113. 10 N. H. Scott, A New Canonical Form for Complex Symmetric Matrices, Proc. R. Soc. Lond. A 1993 441, 625-640.
