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1、数形结合思想在解题中的应用 摘 要 数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，将数量关系与直观的图形的相互转化来解决数学问题。数形结合方法是数学解题中常用的思想方法。它被广泛地应用于解决数学问题之中。数形结合方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的。本文阐述数形结合在中学数学中的应用，并结合适当的例题来加以说明。关键词 数形结合思想 解题 应用 抽象 直观Several form combining the application in problem solving thinking Abstract Several form combining, is accordi
2、ng to the fractal number and the corresponding relation between the quantity relationship, with intuitive graphic conversion to solve mathematics problems. Several form combining method is used in mathematics problem-solving thought method .It is widely used in solving mathematical problems. Several
3、 form combining method can make complex problem is simplified, abstract problem specific, achieve the purpose of solving problems. This paper describes Shuoxingjiege Mathematics in secondary schools, combined with appropriate examples to illustrate.Keywords Several form combining ideas problem-solvi
4、ng application目 录一、前言5二、正文6（一）解决实数比较大小问题6（二）解决集合问题6（三）解决函数问题7（四）解决方程与不等式的问题9（五）解决三角函数问题11（六）解决线性规划问题12（七）解决数列问题14（八）解决解析几何问题14（九）解决立体几何问题16三、结束语18四、参考文献19五、致谢20前 言数与形是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两部分，但是数与形是有联系的，这种联系就被称之为数形结合。我国著名数学家华罗庚曾指出：数形结合百般好，隔裂分家万事非，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数
5、形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种重要的数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种基本形式，一方面是对“形”的问题，引用坐标系或者寻找数量关系式。在解析几何中就常常利用数量关系去解决图形问题。另一方面是对于数量间的关系问题，分析其几何意义。数形结合在解题过程中应用十分广泛，如利用数轴解决实数比较大小，解决集合问题，求函数的值域和最值问题，解方程和解不等式问题，三角函数问题，
6、解决线性规划问题，解决数列问题，解决解析几何问题中都有体现。正 文数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程。“数无形时不直观, 形无数时难入微” 。华罗庚先生恰当地指出了 “数” 与 “形” 的相互依赖、相互制约的辩证关系, 是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。然而，我们知道数形结合在中学教材中都有广泛的应用。比如：实数、集合问题、函数、方程、不等式、线性规划、数列及解析几何等等。 本文就针对数形结合思想在数学
7、解题中的应用简单谈一下自己的看法。下面，就结合例题，对此做一个系统的分析。(一)、实数比较大小例1、（2004年陕西省中考题2题）如图1，若数轴上的两点A、B表示的数分别是a、b，则下列结论正确的是（ ） 图1 （A） （B） (C) (D) 解：观察图1，可知,. .选（A）评注：利用数轴将实数和直线上的点建立一一对应的关系(二)、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例2、已知集合 A=|a，易得出经过B、C、D三点。利用抛物线的对称性确定的对称轴为x=0，的对称轴经过C点，则可推出D点坐标。再利用图象上点的坐标应满
8、足函数解析式，则可构造关于a、c的方程组，求出待定系数的值。解：（1） （2）|BO|=|AO| 的对称轴 b=0 B（1,0）、C（3,y） 又 |BC|=|DC| 的对称轴经过C点，且D（5,0） 将B（1,0） 代入，得a+c=0 (1) 将D（5,0） 代入，得25a+c+8=0 (2) 解(1)、(2)可得 ， 评注：观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论。这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面。利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项
9、重要内容。例4、已知二次函数若,则的值是( ) A、正数 B、负数 C、零 D、符号与有关 解：根据所给条件，画出图象，分析出m的范围，问题便得到解决。 , 对称轴为直线，且有. 由如下图4所示，可得, , . 故应该选 A 图4 评注：本题不仅需要对二次函数的性质能够灵活应用，借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法，而且能将函数图象的几何特征与数量特征紧密结合联系起来进行研究，体现了数形结合的特征与方法。恰当使用数形结合思想，不仅轻易直观地发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，很大程度上简化了解题过程。(四)、解决方程与不等式的问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点
10、问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例 5、方程的解得个数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、3错解：在同一个坐标系中，画出函数和的图象，由图5可知，两图象只有一个交点，所以，选B. 图5分析：此题由于草图粗糙而导致误判，事实上，考察函数和的增长“速度”变化，由图6可知，它们有2个交点。故正确答案应为C 图6评注：上例说明熟悉函数解析式与熟悉函数图象性质同样重要，熟练而正确地勾画出图象的轮廓是数形结合的基础例6、若在（0，）内恒成立，则m的取值范围是_解：原不等式可变为，令，若，如图7所示，显然要使不等式在（0，）内恒成立时不
11、可能的。从而就有，如图8所示，时，。要使，在0,内恒成立，须综上所述， 图7 图8评注：将不等式转化为函数, 利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。(五)、解决三角函数问题有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。例7、（2009.上海理）当时，不等式成立，则实数的取值范围是_解析：设 （）则 （）则 在 上恒成立.设,如图9， 图9 需函数在0,上的图象在函数的图象的上方， 例8、当函数（）取最小值时，的值所在的区间是（ ） A、（0，） B、（，） C、（，） D、（，）解：如果将和看作单
12、位圆上的横、纵坐标，那么，此函数就大体上是某种类型的直线的斜率.则此函数可以表示为，因为 ，所以，坐标为(，)的点A在单位圆上，于是的集合意义为上半圆周上的点A与点B(3,0)连线斜率的2倍，如图10所示， 图10易见这种直线与轴正半轴的夹角均大于，又正切函数在区间(,)上是增函数。故为使斜率最小，直线的倾斜角亦尽可能小，不难看出，当AB 为单位圆的切线时，其倾斜角最小，如图10所示，此时， 所以应该选B. 评注：在这里把函数最值问题转化为直线斜率的最值问题，利用直线和圆的图 求解。(六)、解决线性规划问题线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想
13、的应用。例9、预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌、椅各买多少才行？分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解解题中应当注意到问题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设解：设应买张桌子，把椅子，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为 由 解得 A点的坐标为(,) 由 解得 B点的坐标为(，) 所以满足约束条件的可行域是以A(,),B(,),(0,0)为顶点的区域,如图11 图11 由图形可知，目标
14、函数Z=x+y 在可行域内的x的最优解为25，但是要注意到，故取y=37.答：应买25张桌子，37把椅子。评注：确立目标函数后，通过图形，大大的简化了计算。需注意的是，在实际问 题中，必须考虑自变量的实际意义。(七)、解决数列问题数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。例10、等差数列中,前m项的和，求的值。解法一：代入等差数列的求和公式，则由，可得m+=n+因为,所以=0解法二：因为， 且mn，所以=(m+n)=(m+n)=0 解法三：由， 由此想
15、到将其看做一个二次函数，不妨设A0，而 y = Ax+Bx的图像是一个过坐标原点的抛物线，则由S= S( mn)可知，该抛物线的对称轴方程是x = ，易知,抛物线和x轴的一个交点是原点,另一交点的横坐标是(m + n)，故S=0 。评注：解法一利用了前n项和公式，这种做法容易想到,但比较繁琐。而解法三用到了数形结合,很明显简化了计算过程。同时，这也培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。(八)、解决解析几何问题解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。例11、E是正方形ABCD外
16、接圆弧上的任一点，求证：， 证明：在和中，如图12，由余弦定理得： 由得： EA、EC是方程 的两根 由韦达定理得： , 待添加的隐藏文字内容3 图12 评注：以数助形主要是解决一类在图形上无法直观看出或作出所需的结论，要通过一定的代数推理与计算，方能准确求得结果例14、已知点A(1,2)，F为椭圆的右焦点，P为椭圆上的动点，当|PA|+|PF|取最小值时，求P点的坐标. 解：椭圆方程为，, 又A(1,2)是椭圆内部的点，椭圆的右准线方程为：过点P作PQ于点Q，如图14所示，由椭圆第二定义知，即当且仅当 P、A、Q三点共线时，有最小值过A作AB，AB与椭圆的交点即为所求.显然，代入椭圆方程可求
17、 当取最小值时，点P的坐标为(,2) 图13(九)、解决立体几何问题立体几何研究的是几何中的点、线、面的性质及其相互关系，可用坐标的方法将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 例13、在底面是直角梯形的四棱锥中，,面ABCD,SA=AB=BC=1，AD=,求平面SCD与SAB所成二面角的大小. 解：如图14，建立空间直角坐标系，则：A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(,0,0), S(0,0,1), .设 为平面SCD的一个法向量，则 ,且 即 令，则平面SAB,为平面SAB的一个法向量，平面SAB与平面SCD所成的二面角为锐二面角，故平面SAB与平面SCD所成的二面角的大
18、小为. 图14结束语数形结合的思想是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。在解题方法上，“数”和“形”的相互转化，从而使问题化难为易，化繁为简，从而达到解决问题的目的。对于数形结合思想应用的广泛性及优点，我们已从前面的分析总结中得以知晓。因此，在做题的过程中，我们应注意以下几点：(1) 要善于观察图形，对图形中蕴含的数量关系要有一定的熟悉,以便为解题做准备；(2) 正确绘制图形，尽量清楚地反映图形中相应的数量关系；（3）把握“数”和“形”的对应关系，以“形”感知“数”，以“数”认知“形”；(4)在实际问题中，必须考虑实际意义。然而，我们知道，数形结合方法也有它的弊端，它最大的缺点
19、是图象总有局限性，如果图形绘制的不够准确，常常引起误解或漏解因此，我们在用数形结合分析问题时，应尽可能地伴以严密的逻辑推理，使掌握方法和发展能力有机地结合起来此外，我认为，在教学中，我们要注重数形结合思想方法的培养,而在培养数形结合思想的过程中, 我们要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题时，让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用,需要注意以下几点： 1、要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义；2、恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；3、养成
20、结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深对数形结合思想方法的理解和运用。数形结合思想的自学运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼 ,不如授之以渔” ，方法的掌握、思想的形成 ,才能最终使学生受益终生。参考文献1罗定汨.数形结合法速解不等式题 J.第二课堂(高中版), 2007,(10).2任娜.数形结合法在三角函数中的应用J.中学生时代,2005,(20).3薛金星:中学教材全解.高中数学必修1M.西安:陕西人民教育出版社,2008.4薛金星:高中数学基础知识手册M.北京:北京教育出版社,2006.5马景从.浅谈数形结合在解题中的应用J.新疆教育学报, 1996,(04).6王春潮.解析几何中求最值问题的常用方法 J.今日科苑,2007,(18).7刘雨智.浅谈数形结合在解题中的应用J.各界(科技与教育),2009,(02). 8叶柏团.浅谈数学思想方法在数列解题中的应用J.福建教育学院报,2003(6)9曾剑华.浅淡数形结合在函数教学中的应用J. 科技创新导报, 2009,(14).10高慧明.数形结合法的妙用J.中学生数理化(高二版)，2007(06)
