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1、 2014届本科毕业论文(设计)题目：完全四点形和完全四线形的调和性质及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班 学生姓名：指导教师： 答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处目 录引言11 完全四点形和完全四线形的介绍11.1 完全四点形11.2 完全四线形22 完全四点形和完全四线形的调和性质22.1 完全四点形的调和性质22.2 完全四线形的调和性质32.3 其它一些性质和定理43 完全四点形和完全四线形的调和性质的应用举例54 总结9参考文献10致谢11完全四点形和完全四线形的调和性质及其应用摘要:本文对完全四点形和完全四线形的调和性质进行了归纳整理，并从初
2、等几何与高等几何之间的本质联系出发，主要讨论了完全四点形和完全四线形的调和性质应用于初等几何中某些问题的作用，以达到化难为易，拓广解题思路，并进一步获得某些初等几何命题的推广，以更加充实和完善初等几何的内容。关键词：完全四点形；完全四线形；调和性。完全四点形和完全四线形的调和性质及其应用引言高等几何作为一门几何课程，有着自身特殊的作用，它对初等几何的教学，研究有着具体的指导意义。高等几何为我们提供解决初等几何问题的思想方法，对于我们思考和解决问题有重要的指导作用。本文仅利用完全四点形和完全四线形的调和性质解决几种常见的初等几何问题。完全四点形和完全四线形的调和性质是射影几何的重要不变性，不变量
3、的研究是几何学的中心内容之一，它们在初等几何中有广泛的应用，利用完全四点形和完全四线形的调和性质可以比较简捷地解决一些初等几何中的共点，共线问题；中点问题；平分角度问题；线段相等及平行问题；作图问题等1 完全四点形和完全四线形的介绍下面我们先对完全四点形和完全四线形给简单的定义，认识一下它们的图形并且它们之间的关系。1.1 完全四点形平面上四点每三点不共线与每两点连线构成的图形称为完全四点形。这四点叫做顶点，每两点连成的六条直线叫做边。不通过共同顶点的边叫做对边，共有三组对边，对边的交点叫做对边点，三对边点不共线，它们构成的三点形叫做对边三点形。图1在完全四点形中：四个顶点 ：；六条边：，；
4、三组对边：与，与，与；三个对边点：；是对边三点形；三条对角线：对边点的连线。1.2 完全四线形平面上四直线每三线不共点与每两直线交点构成的图形称为完全四线形。这四线叫做边，每两线交得的六点叫做顶点。不在共同边上的顶点叫做对顶点，共有三组对顶点，对顶点的连线叫做对顶线，三组对定线不共点，它们构成的三线形叫做对顶三线形图2在完全四线形中：四条边 ： ，；六个顶点 ：，；三对顶点 ：与，与，与；三条对顶线：；是对顶三线形；三个对角点（对顶线的交点）：，。从完全四点形和完全四线形的定义和图形可以看出它们是一对对偶图形。它们的调和性质也是对偶的，下面进一步来看一下它们的调和性质。2 完全四点形和完全四线
5、形的调和性质2.1 完全四点形的调和性质性质1 设，是完全四点形 的一对对边，它们的交点是对边点，若与其它二对边点的连线是，则有，=1。证明:如图3,令交,于.以点为射影中心,将四点投射到直线上,得四点,则有=。同理,以为摄影中心，将四点投射到直线上，得四点则有=。可得=。 ttssLQMPYZXDCBA 图3又因为=，于是有=1。但，所以=1。由此得到，=1。性质2 在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。如图3中=1, = 1等。性质3 在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是顶点，另一对点偶里
6、，一个点是对边点，另一个点是这个边与对边三点形的边的交点。 如图3中=1, = 1等。 2.2 完全四线形的调和性质性质1 设，是完全四线形的一对对顶点，它们的连线是对顶线，与其它二对顶线的交点是，则有，=1。性质2 在完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束，其中两直线是对顶线，另两条直线是此顶点与第三条对顶线上两对顶点的连线。如图2中=1等。 图4性质3 在完全四线形的每个顶点上有一组调和共轭线束，其中两条边是过此点的两边，在另一对线偶里，一条是对顶线，另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。 如图2中=1等。2.3 其它一些性质和定理下一我们认识一下它们的其它一些性质，及其解
7、决问题的过程中我们用到的一些定理。由于它们的相互对偶性，下面只讨论完全四点形的性质：定理2.3.1 完全四点形的三个对边点不共线。 证明：如图5，因每三点不共线，故总可以选择它们的射影坐标，使+=0.因此，对角点有坐标：=+=，=+=，=+=。若共线,则存在不全为零的使得(+(+ (+=0。或 + + +=0。但不共线，故+= +=+=0，从而 ，=0，这说明不共线 。 图5 图6定理2.3.2 若=1，且,则，是的内外角平分线。证明：如图6,以,分别为轴，轴建立平面直角坐标系，即：=0；：=0，设：=， ：=， =1，=1。故= 1，=。从而直线，与的夹角相等，所以是的外角平分线。再由，可知
8、是的内角平 分线。定理2.3.3 一线段的中点就该线段两端点所定的第四调和点为这直线的无穷远点,即=1。反之,若,=1,则必为线段的中点.3 完全四点形和完全四线形的调和性质的应用举例上面我们已看过完全四点形和完全四线形的定义,图形,并且作为它们的调和性质的一些有关的定理。下面我们进一步利用其性质来解决一些常见的初等几何问题,看一下其性质在实际问题的应用.例1:求证三角形三中线共点.已知:中,分别为的中线，求证:共点.证明 如图7，设交于，交于,由于，交于无穷远点，在完全四点形中，由调和性质可得，=1，故为的中点，从而和重合。即共点。图7例2 四边形的对边与交于，与交于，直线平行于四边形的对角
9、线，求证：另一对角线平分线段.证明：如图8，设平行线与交于，与交于，视四边形为完全四点形，则为完全四点形的对边三点形的一条边，由完全四点形的性质2，易得，=1中点。故为线段的中点，从而对角线平分线段。 图8例3 设是梯形，是两腰所在直线的交点，过两对对角线的交点因底边的平行线与相交于，试证：=1。证明：如图9，连接，分别与梯形的上下两底与相交于于点和，是完全四线形，是它的对角线，由完全四线形的调和性质可得 =1。又，故以为射影中心，将四点投射到直线上得四点=。这样=1。 ECHDGFBIA图9例4：设已知直线上三点，求做点使=1。 解：如图10，过各任一作一直线交于点，在上任取一点，连接和，与
10、相交于，连接和相交于，连接和与已知直线交于点，点为所求点，则=1。图10图11例5 已知线束中的三直线求作直线，使=1 解：如图11，设线束中心为，以直线分别截于 点，在直线上任取一点，连接交于，连接交于，连接交于点，则直线为所求，从而AB,CD= =1。例6 已知是的外交平分线，求作其内角平分线。解：1用不过的任一直线截分别交于,2过任作一直线分别交于 3连接交于， 4连接，它即为所求作的直线。图12例7已知线段及其中点，是线段外的一点，求作：过点且平行于的直线。解：1连接，并延长，在其上取点，2连接，与交于，3连接，与交于，4连接，则直线为所求作的直线。这是因为：=，则，=1，但是的中点，
11、故是无穷远点，即。图13lPRQSDBCADBCA图12eORSPQCBA图134 .总结完全四点形和完全四线形的调和性质来解决初等几何问题，降低了解决问题的难度，命题证明思路清晰，过程简洁，注重揭示高等几何与初等几何的内在联系，这样可以扩大我们的知识领域，拓宽我们的视野，有助于站在新的高度上，深入地理解初等几何，提高解决问题的能力。参考文献1 罗崇善，庞朝阳，田玉屏.高等几何M.第二版.北京:高等教育出版社，2006.2 张永顺，金成相.高等几何M.第一版.辽宁:人民出版社，1984.3 梅向明，刘增贤，王汇淳，王智秋.高等几何M.第二版.北京:高等教育出版社，2000.4 梅向明，刘增贤.
12、高等几何学习指导与习题选解M第一版.北京:高等教育出版社，2003.5 朱德祥，朱维宋.高等几何M.第二版.北京:高等教育出版社，2007.6 罗崇善，邓纯江，周开瑞M.第一版.四川:科学技术出版社，1987.7 梁林,袁丽晴,马嘉芸.高等几何中完全四点(线)形的调和性质应用于初等几何中某 问题的初探J楚雄师范学院学报,第17卷 第3期,20002.06.8 秦进,罗德芳.完全四点形的调和性质在初等几何中的应用J遵义师范学院学报,第 10卷 第2期,2008.04. 9 张晓林.完全四点(线)形的调和性质在初等几何中的应用J高师理科学刊,第23卷 第3期,2003.08.致谢大学五年很快就要结
13、束了，在这宝贵的五年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，吐尔洪江老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助。同时我要感谢我大学五年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊。到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对吐尔洪江老师表示最诚挚的谢意和祝福！
