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1、鲁棒控制线性时滞系统的鲁棒控制器设计论文与仿真 摘 要鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点对于一个控制系统若使得闭环系统是稳定的则有必要在设计稳定化控制器的时候考虑可能出现的不确定因素以及时间滞后因素这就是线性不确定时滞系统的鲁棒控制器设计问题本文的主要研究内容包括首先综述了鲁棒控制理论的发展和线性矩阵不等式方法的发展现状然后针对线性不确定系统和线性不确定时滞系统研究这些系统的状态反馈鲁棒控制器的设计方法基于线性矩阵不等式和Lyapunov稳定性理论研究的渐近稳定充分条件得到控制器设计方法AbstractRobust control is the focus in the research of
2、 Internationally controlled sectorfor a control system if makes its closed-loop system is stable it will be necessary to consider the possible uncertain and time-delay factors when we design stability controllers This is design problem of linear uncertain time-delay systems robust controllerSummaril
3、y the contents of this paper are outlined as follows first it summarize the development of robust control theory and linear matrix inequality approach thenfor the linear uncertain system and the linear uncertain time-delay systems research the robust stability conditions and design technique of robu
4、st controller for these systems base on the linear matrix inequality LMI and Lyapunov stability theory a sufficient condition for linear uncertain system linear uncertain delay-independent system and linear uncertain delay-dependent system to be asymptotically stable is presented getting the design
5、technique of their controller and according to design examples and the simulation study the results show that the system is stableKey words robust control uncertainty linear time-delay system state feedback 目 录第1章 概 述111 时滞系统概述112 鲁棒控制理论概述213 本文研究的主要内容5第2章 预备知识621 线性矩阵不等式基础622 一些常用的基本引理1023 本章小结11第3
6、章 线性时滞系统时滞无关的状态反馈控制1231 引言1232 线性不确定系统的鲁棒控制器设计1233 线性不确定时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计1534 具有时滞项不确定的线性时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计1935 本章小结23第4章 线性时滞系统时滞相关的状态反馈控制2441 引言2442 线性不确定时滞系统时滞相关鲁棒控制器设计2443 本章小结30结 论31参考文献32致 谢33附 录34第1章 概 述11 时滞系统概述1目前关于时滞系统的研究成果从结论的角度可分为两类依赖于时滞的和不依赖于时滞的在20世纪80研究时滞系统通常使用的工具主要有Riccati矩阵方程与线性矩阵不等式特别是线性
7、矩阵不等式方法的广泛应用使得有关线性时滞系统的控制问题的研究得到了飞速发展纵观时滞系统的研究和发展有两条主要研究途径即时域方法和频域方法两大类近年来有关不确定时滞系统的结论基本上都是用时域的分析方法取得的本论文也用时域的方法来研究不确定时滞系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器的综合问题时域方法用的最多的是Lyapunov直接设计方法从世纪年代开始Lyapunov第二方法开始被用来处理线性系统的控制问题接着该方法也很快被引入到时滞系统的分析设计中来逐渐成为人们手中处理时滞系统的有力武器因此Lyapunov方法在工业实际中有着广阔的应用前景控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统当今的自动控制技术
8、都是基于反馈的概念反馈理论的要素包括三个部分测量比较和执行这个理论和应用自动控制的关键是做出正确的测量和比较后如何才能更好地纠正系统80年代以来反馈控制理论获得了惊人的发展变得更加严密更加符合实际由此发展起来的鲁棒控制理论为处理不确定性提供了有效的手段鲁棒控制方面的研究始在过去的20年中鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点3-4鲁棒控制方法适用于稳定性和可靠性作为首要目标的应用同时过程的动态特性已知且不确定因素的变化范围可以预估飞机和空间飞行器的控制是这类系统的例子所谓是指控制系统在一定的参数摄动下维持某些性能的特性根据对性能的不同定义可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得
9、到的固定控制器称为鲁棒控制器由于工作状况变动外部干扰以及建模误差的缘故实际工业过程的精确模型很难得到而系统的各种故障也将导致模型的不确定性因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在如何设计一个固定的控制器使具有不确定性的对象满足控制品质也就是鲁棒控制成为国内外科研人员的研究课题鲁棒控制的早期研究主要针对单变量系统SISO 在微小摄动下的不确定性具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析然而实际工业过程中故障导致系统中参数的变化这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法其设计
10、目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小的必须满足的要求一旦设计好这个控制器它的参数不能改变而且控制性能能够保证控制系统在其特性或参数发生摄动时仍可使品质指标保持不变的性能鲁棒性原是统计学中的一个专门术语20世纪70年代初开始在控制理论的研究中流行起来用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性在实际问题中系统特性或参数的摄动常常是不可避免的产生摄动的原因主要有两个方面一个是由于量测的不精确使特性或参数的实际值会偏离它的设计值标称值另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移因此鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题也是一切类型的控制系统的设计中所必须考虑的一个基
11、本问题对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统所涉及的领域包括稳定性无静差性适应控制等鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性频率域内表征控制系统稳定性裕量的一种性能指标和不变性原理自动控制理论中研究扼制和消除扰动对控制系统影响的理论有着密切的联系内模原理把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理的建立则对鲁棒性问题的研究起了重要的推动作用当系统中存在模型摄动或随机干扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为鲁棒控制早期的鲁棒控制主要研究单路系统频率特性的某些特征或基于小摄动分析上的灵敏度问题系统鲁棒可追溯到无穷小分析的思想例如微分方程解在给定区间的任意小
12、变化依赖于初值和方程系数的充分小变化再如偏微分方程中的适定性研究计算方法中关于误差的灵敏性等鲁棒控制问题事实上最初在具有摄动的精确系统的大增益反馈器设计有所体现这一思想最早研究可追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计思想由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系基于上述思想设计的控制系统往往是动态不稳定的1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲线的频域稳定性判据使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化1945年Bode讨论了单输入单输出 SISO 反馈系统的鲁棒性提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定性范围并引入微分灵敏度函数来衡
13、量参数摄动下的系统性能世纪年代初Cruz和Perkins将单输入单输出系统的灵敏性分析思想推广到多输入多输出 MIMO 系统引入灵敏度矩阵来衡量系统的闭环和开环性能这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形尚属于灵敏度分析的范畴并只是停留在理论上尚不能在实际的生产过程中得以应用在实际生产过程中系统的参数摄动往往由于各种原因会在较大的范围内发生变化早期的理论研究不能解决实际中出现的这种情况为适应社会的发展和解决生产过程中出现的问题现代鲁棒控制理论得以应运而生在鲁棒控制理论建立过程中Zames于1963年提出的小增益原理影响深远这一原理为鲁棒稳定性分析莫定了基础至今仍是
14、频域分析非结构不确定性系统鲁棒稳定性的基本工具鲁棒控制理论这一术语首次由Davsion在1972年提出在世纪年代末和年代初人们从实际与理论两个方面越来越深刻的认识到棒控制理论具有的特殊的实践和理论意义从而鲁棒控制扩展到许多领域得到迅速发展并取得了令人瞩目的成果随着科技的进步和社会的发展微机的应用为控制论的飞速发展提供了极大的方便也正是微机的广泛应用现代控制理论才有今天可喜的成果鲁棒控制理论发展到今天已经形成了很多引人注目的理论其中控制理论是目前解决鲁棒性问题最为成功且较完善的理论体系系统的分析方法和控制器的设计大多是基于数学模型而建立的而且各类方法已经趋于成熟和完善然而系统总是存在这样或那样的
15、不确定性在系统建模时有时只考虑了工作点附近的情况造成了数学模型的人为简化另一方面执行部件与控制元件存在制造容差系统运行过程也存在老化磨损以及环境和运行条件恶化等现象使得大多数系统存在结构或者参数的不确定性这样用精确数学模型对系统的分析结果或设计出来的控制器常常不满足工程要求近些年来人们展开了对不确定系统鲁棒控制问题的研究并取得了一系列研究成果反馈控制系统设计的基本要求包括稳定性渐调节动态特性和鲁棒性等四个方面 1 稳定性它是控制系统设计的最基本要求并意味着控制系统从工作点附近任意初始状态出发的轨迹在时间趋于无穷时收敛于工作点 2 渐调节它意味着对于一类给定的目标输入和外部扰动一个反馈控制系统必
16、须能够保证即保证控制系统的稳态误差为0渐调节的特性反映了控制系统的稳态性能 3 动态特性它是指反馈控制系统的动态性能必须满足一组给定的设计指标 4 鲁棒性它是指当不确定性在一组给定的范围内发生变化时必须保证反馈控制系统的稳定性渐调节和动态特性不受影响一个反馈控制系统是鲁棒的或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性就是指这个反馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性渐调节和动态特性保持不变的特性即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力鲁棒性又可以分为鲁棒稳定性鲁棒调节和鲁棒动态特性 1 鲁棒稳定性是指在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性 2 鲁棒渐调节是指在一组不确
17、定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐调节功能 3 鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性即要求动态特性不受不确定性的影响一个反馈控制系统的设计问题就是根据给定的控制对象模型寻找一个控制器以保证反馈控制系统的稳定性使反馈控制系统达到期望的性能并对模型不确定性和扰动不确定性具有鲁棒性具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统抓住不确定性变化的范围界限并在这个范围内进行最坏情况下的控制系统设计这就是鲁棒控制系统设计的基本思想在时间域中研究参数不确定系统的鲁棒分析和综合问题的主要理论基础是Lyapunov稳定性理论早期的一种主要方法是Riccati方程处理方法它是通过将系统的分析和综合问题转化成一个Riccat
18、i型矩阵方程的可解性问题进而应用求解Riccati方程的方法给出系统具有给定鲁棒性能的条件和鲁棒控制器的设计方法尽管Riccat方程处理方法可以给出控制器的结构形式便于进行一些理论分析但是在实施这一方法之前往往需要设计者事先确定一些待定参数这些参数的选择不仅影响到结论的好坏而且还会影响到问题的可解性但在现有的Riccati方程处理方法中还缺乏寻找这些参数最佳值的方法参数的这种人为确定方法给分析和综合结果带来了很大的保守性另一方面Riccati型矩阵方程本身的求解也还存在一定的问题目前存在很多求解Riccati型矩阵方程的方法但多为迭代方法这些方法的收敛性并不能得到保证世纪年代初随着求解凸优化问
19、题的内点法的提出线性矩阵不等式再一次受到控制界的关注并被应用到系统和控制的各个领域中许多控制问题可以转化为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题由于有了求解凸优化问题的内点法使得这些问题可以得到有效的解决1995年MATLAB推出了求解线性矩阵不等式问题的LM工具箱从而使得人们能够更加方便和有效地来处理求解线性矩阵不等式系统进一步推动了线性矩阵等式方法在系统和控制领域中的应用线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多不足线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件因此可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解正是这种凸约束条
20、件使得在控制器设计时得到的不仅仅是一个满足设计要求的控制器而是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到一个控制器即可以得到满足设计要求的一组控制器这一性能在求解系统的多目标控制问题时是特别有用的本主要介绍线性矩阵不等式的一些基本概念求解线性矩阵不等式的主要算法以及应用线性矩阵不等式来解决系统与控制问题时要用到的一些基本结论com 线性矩阵不等式的表示式近年来线性矩阵不等式被广泛用来解决系统与控制中的一些问题随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出MATLB软件中LMI工具箱的推出线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视应用线性矩阵不等式来解决系统与控制问题已成为这些领域中的一大研究热点线性矩
21、阵不等式 LMI 具有如下形式 2-1 其中是个实数变量称为是线性矩阵不等式 的决策变量是由决策变量构成的向量称为决策向量是一组给定的实对称矩阵式 2 中的不等号指的是矩阵是负定的即对所有非零的向量或的最大特征值小于零看成是从到实对称矩阵集的一个映射则可以看出并不是一个线性函数而只是一个仿射函数因此更确切地说不等式 2-1 应该称为一个仿射矩阵不等式但由于历史原因目前线性矩阵不等式这一名称已被广泛接受和使用如果在 2-1 式中用代替 则相应的矩阵不等式称为非严格的线性矩阵不等式显然多个LMI可用一个LMI表示即等价于对二次非线性矩阵不等式通过Schur补引理13可以转化为LMI从而推广LMI在
22、控制理论研究中应用范围其基本思想是若则等价于本节介绍三类标准的性矩阵不等式问题在MATLAB的LMI工具箱中给出了这三类问题的求解器假定其中的和是对称的矩阵值仿射函数是一个给定的常数向量 可行性问题 LMIP 对给定的线性矩阵不等式检验是否存在使得成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题如果存在这样的则该线性矩阵不等式问题是可行的否则这个线性矩阵不等式就是不可行的特征值问题 EVP 该问题是在个线性矩阵不等式约束下求矩阵的最大特征值的最小化问题或确定问题的约束是不可行的它的一般形式是这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题这也是LMI工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式广义特征
23、值问题 GEVP 在一个线性矩阵不等式约束下求两个仿射矩阵函数的最大广义特征值的最小化问题对给定的两个相同阶数的对称矩阵和对标量如果存在非零向量使得则称为矩阵和的广义特征值矩阵和的最大广义特征值的计算问题可以转化成一个具有线性矩阵不等式约束的优化问题事实上假定矩阵是正定的则对充分大的标量有随着减小并在某个适当的值将变为奇异的因此存在非零向量使得这样的一个就是矩阵和的广义特征值根据这样的思想矩阵和的最大广义特征值可以通过求解以下的优化问题得到当矩阵和是的一个仿射函数时在一个线性矩阵不等式约束下求矩阵函数和的最大广义特征值的最小化问题的一般形式如下通常在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式通
24、过下面Schur补引理可以转化为线性矩阵不等式这也是线性矩阵不等式在控制理论研究中能得到广泛应用的主要原因之一下面给出Schur引理的具体描述 com Schur补引理 假设对称矩阵并且可以进行以下分块其中是维的假定非奇异则称为是在中的Schur补那么以下三个结论等价 上述结论中的所有不等式都是严格不等式如果遇有非严格的不等式则用到下列推广了的Schur补引理 引理22 假设对称矩阵并且可以进行以下分块分块定义同引理21则等价于下述三个约束条件 注意到引理21的 2 式和 3 式中的第二个不等式以及式后两个不等式均为非线性矩阵不等式因此以上的等价关系说明了应用矩阵的Schur补性质一些非线性矩
25、阵不等式可以转化成线性矩阵不等式从而利用现有的软件MATLAB中的LMI工具箱可以直接对问题求解 线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多不足线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件因此可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解正是这种凸约束条件使得在控制器设计时得到的不仅仅是一个满足设计方法的控制器而且是从约束条件的任意一个可行解都可以得到的一个控制器即可以得到满足设计要求的一组控制器 1 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式 2 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息 3 修改现有的线性矩阵不等式系统 4 求解三个一般的线性矩阵不等式问题 5 验证结
26、果LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式式中是具有一定结构的矩阵变量左右外因子和是具有相同维数的给定矩阵左右内因子和是具有相同分块结构的对称块矩阵LMI工具箱提供了用于求解如下三个标准问题的线性矩阵不等式求解器 1 可行性问题 LMIP 对应的求解器函数feasp 的一般表达式如下tminxfeas feasp lmisysoptionstarget 求解器feasp 是通过求解如下的一个辅助凸优化问题来求解线性矩阵不等式系统limisys的可行性问题 2 特征值问题 EVP 对应的求解器函数Mincx 的一般表达式如下coptxopt mincx lmisysoptionsxi
27、nittarget 求解器Mincx 求解的优化问题如下这是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最小化优化问题 3 广义特征值问题 GEVP 对应的求解器函数gevp 的一半表达式如下loptxopt gevp lmisysnlfcoptionslinitxinittarget 对于给定的两个相同阶数的对称矩阵和标量如果存在非零向量使得则称为是矩阵和的广义特征值求解器gevp 给出了优化问题的全局最小值lopt和决策向量的最优解xopt控制系统中的一些性能指标稳定性判据可以转化为LMI的以上三类标准问题其原因是一方面Lyapunov方法易得到凸的或拟凸的条件另一方面LMI本身能表示范围广
28、泛的不同类凸约束引理 为适维的常数矩阵并且是适维的单位矩阵则存在使得下式成立引理 com 给定适当维数的矩阵和其中对称的则对所有满足的矩阵成立当且仅当存在一个常数使得引理23 对给定的对称矩阵其中是rxr维的以下三个条件是等价的 1 2 3 在一些控制问题中经常遇到二次型矩阵不等式其中是给定的适当维数的常数矩阵是对称矩阵变量则应用引理23可以将可行性问题转化成一个等价的矩阵不等式是适维矩阵是适维单位阵是同维向量则下式成立其中com com如果令则23 本章小结本章主要介绍了线性矩阵不等式的一些基础知识以及MATLAB LMI工具箱在本章中列出了一些常用的引理也对文中要用的矩阵不等式做了归纳总结
29、并给出了证明第3章 线性时滞系统时滞无关的状态反馈控制31 引言近年来不确定系统的研究涌现出许多的成果在实际控制系统中不确定性和时滞性是不可避免的它们的存在往往是导致整个系统不稳定的内在因素这类问题的本质是带摄动的无穷维问题所以不确定性的滞后控制系统的镇定研究就比较困难而实际系统设计时通常又不能无条件地用无滞后的不确定系统线性系统的摄动抑制及时滞抑制是系统鲁棒性研究中一类很重要的问题在实际系统分析及综合中具有重要意义因此下面分别对不确定系统和具有时滞的不确定系统的鲁棒控制器设计进行研究32 线性不确定系统的鲁棒控制器设计在鲁棒控制中不确定动态系统的概念是相当重要的为了进行有效的控制系统设计一个
30、复杂的动态系统必须用一个相对简单的模型来描述而这样一个简化模型和实际对象之间的差距称为模型不确定性除了在模型简化中可能带来模型的不确定性外对系统某些特性或环节缺乏足够的了解 即难以建模的部分 由于系统环境的变化元器件的老化某些物理参数的漂移或随时间的未知变化等因素所带来的系统行为的变化也可能导致模型不确定性的产生因此就要设计一个控制器使不确定系统具有稳定性本节主要是在系统的状态反馈中加入了不确定的系数从简单的线性不确定系统着手来进行理论的推导和验证推导出来的理论又通过一个实际的例子进行了验证与仿真不仅证明了定理的正确性而且通过理论分析和实例表明设计的状态反馈控制器还具有一定的鲁棒性即在受到一定
31、的不确定干扰时系统仍是稳定的com 问题描述考虑如下形式的线性不确定系统 3-1 其中是系统的状态向量是系统的控制输入是具有适当维数的已知常数矩阵是适当维数的不确定矩阵函数表示了系统模型中的参数不确定性假定所考虑的参数不确定性是参数有界的且具有以下的形式其中是适当维常数矩阵为未知的Lebesgue可测矩阵函数且满足取状态反馈控制律如下 3-2 在反馈控制律 3 的作用下com 主要结果和推导过程定对于给定线性不确定无时滞系统 31 存在线性状态反馈 3-2 使得闭环系统是二次稳定的充分条件是存在适当的正数正定对称矩阵以及矩阵使得如下线性矩阵不等式成立 3-3 证明定义如下Lyapunov函数函
32、数两边同时对求导有下式成立令则因为则com应用Schur补引理得 3-4 比较可知线性矩阵不等式 3 与不等式 3 等价因此系统 31 是稳定的考虑系统 31 具有如下的各矩阵参数已知矩阵已经给定要求设计一个状态反馈控制器使得被控系统稳定并且具有一定的鲁棒性且仿真出来系统的状态阶跃响应图解利用MATLAB的LMITOOLlmiedit函数 所编程序如附录中的 附录1 即附录1中ew值 由MATLAB的1中所计算得的增益值输入在图中的Matrix Gain中选取一定值运行即得如下所示的系统状态阶跃响应图图3-2 系统的状态阶跃响应从仿真图中可以看到系统的响应随着时间的增大而趋近于稳定这就说明由本
33、方法得到的能保证闭环系统具有一定的鲁棒性一类是与时滞大小无关的系统稳定条件另一类是系统时滞相关稳定的判别准则时滞无关的稳定判别准则的主要特点是简洁实用本节的主要工作是提出线性时滞系统的一些与时滞无关的稳定设计理论分析和实例表明研究结果具有十分重要的理论意义和实用价值com 问题描述考虑具有如下形式的线性不确定系统 3-5 其中是系统的状态向量是系统的控制输入是具有适当维数的已知常数矩阵为时滞参数值是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵假定所考虑的参数不确定性是参数有界的且具有以下的形式其中是适当维常数矩阵为未知的Lebesgue可测矩阵函数且满足取状态反馈控制律如下 3-6 在反馈控制律 3
34、 的作用下com 主要结果和推导过程com对于给定线性不确定时滞系统 3 存在线性状态反馈 3 使得闭环系统是二次稳定的充分条件是存在适当的正数正定对称矩阵以及矩阵使得如下线性矩阵不等式成立 3-7 证明定义如下Lyapunov函数函数两边同时对求导有下式成立因为则com将其代入则变成我们可以令即得要证明只需要证明即可在的左右两边同时乘以再令可以得到 3-8 对于不等式 3-8 应用Schur补引理即得 3-9 比较可知线性矩阵不等式 3 与不等式 3 等价因此系统 3 是稳定的考虑系统 3 具有如下的各矩阵参数 已知矩阵已经给定要求设计一个状态反馈控制器使得被控系统稳定并且具有一定的鲁棒性且
35、仿真出来系统的状态阶跃响应图解利用MATLAB的LMITOOLlmiedit函数 所编程序如附录中的 附录2 所示运行程序解得 即附录2中ew值 由MATLAB的2中所计算得的增益值输入在图中的Matrix Gain和Matrix Gain1中选取一定值运行即得如下所示的系统状态阶跃响应图图3-4 系统的状态阶跃响应时滞d 05图3-5 系统的状态阶跃响应时滞d 10在系统取不同的时滞常数值的情况下从仿真图3-4和 3-10 其中是系统的状态向量是系统的控制输入是具有适当维数的已知常数矩阵为时滞参数值是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵假定所考虑的参数不确定性是参数有界的且具有以下的形式其
36、中是适当维常数矩阵为未知的Lebesgue可测矩阵函数且满足取状态反馈控制律如下 3-11 在反馈控制律 3 的作用下com 主要结果和推导过程定对于给定线性不确定时滞系统 3 存在线性状态反馈 3 使得闭环系统是二次稳定的充分条件是存在适当的正数正定对称矩阵以及矩阵使得如下线性矩阵不等式成立 3-12 证明定义如下Lyapunov函数函数两边同时对求导有下式成立因为则com将其代入则变成 可以令即得要证明0只需要证明即可在的左右两边同时乘以再令 3-13 对于不等式 3-13 应用Schur补引理即得 3-14 比较可知线性矩阵不等式 3 与不等式 3 等价因此系统 3 是稳定的考虑系统 3
37、 具有如下的各矩阵参数已知矩阵已经给定要求设计一个状态反馈控制器使得被控系统稳定并且具有一定的鲁棒性且仿真出来系统的状态阶跃响应图解第一步利用MATLAB的LMITOOL工具可以解得未知矩阵 即lmiedit函数 所编程序如附录中的 附录3 所示运行程序解得 即附录3中ew值 由MATLAB的SIMULINK工具箱在状态反馈控制规律的作用下的系统的方块图图3-6 状态反馈控制系统的方块图由附录3中所计算得的增益值加在图中的Matrix Gain和Matrix Gain1中选取一定的时滞值即得如下所示的系统状态阶跃响应图图3-7 系统的状态阶跃响应时滞d 05图3-8 系统的状态阶跃响应时滞d
38、10在系统取不同的时滞常数值的情况下从仿真图3-7和3-8中可以看到系统的响应随着时间的增大而趋近于稳定并且稳定时间基本相同这就说明由本方法得到的状态反馈控制律能保证闭环系统具有一定的鲁棒性35 本章小结本节针对一类不确定线性时滞系统即在系统矩阵具有不确定性且具有时滞环节的系统中给出了使与时滞无关的系统稳定的充分条件通过求解线性矩阵不等式获得了使闭环系统稳定的状态反馈控制器为解决实际应用提供了一种可行的设计方案并且通过仿真验证了结论的正确性具有一定的理论意义及实际价值在323334节中对于线性不确定系统进行状态反馈鲁棒控制器的基于稳定的直接法给出了控制作用下的闭环系统稳定的充分条件并且通过实际
39、的仿真实例对所设计的控制器进行了验证结果表明设计的状态反馈控制器具有很好的鲁棒性 4-1 其中是系统的状态向量是系统的控制输入是具有适当维数的已知常数矩阵为时滞参数值是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵假定所考虑的参数不确定性是参数有界的且具有以下的形式其中是适当维常数矩阵为未知的Lebesgue可测矩阵函数且满足取状态反馈控制律如下 4-2 在反馈控制律 的作用下com 主要结果和推导过程定对于给定线性不确定时滞系统 1 存在线性状态反馈 使得闭环系统是二次稳定的充分条件是存在适当的正数正定对称矩阵矩阵使得如下线性矩阵不等式成立 4-3 其中证明由于即将其代入系统 4 则系统可表示成定义
40、如下Lyapunov函数分别对求导根据引理25得对求导对求导则得其中则等价于上式等价于 4-4 其中若式 4-4 成立则存在不为零的适维向量使得下式成立 4-5 不等式 4-5 与下式等价 4-6 其中假设并利用Schur补引理不等式 4-7 与线性矩阵不等式 4-3 等价有如下形式 4-7 其中 证毕com 仿真实例考虑系统 具有如下的各矩阵参数已知矩阵已经给定要求设计一个状态反馈控制器使得被控系统稳定并且具有一定的鲁棒性且仿真出来系统的状态阶跃响应图解第一步利用MATLAB的LMITOOL工具可以解得未知矩阵 即lmiedit函数 所编程序如附录中的 附录4 所示运行程序解得由MATLAB
41、的图4-2 系统的状态阶跃响应从仿真图中可以看到系统的响应随着时间的增大而趋近于稳定这就说明由本方法得到的控制能保证闭环系统具有一定的鲁棒性并且通过实际的仿真实例对所设计的控制器进行了验证结果表明设计的状态反馈控制器具有很好的鲁棒性LMI 本文的主要研究工作概括如下 1 对于时滞系统和鲁棒控制理论进行了概述讲述了什么是时滞系统什么是系统的鲁棒性鲁棒理论的历史和发展鲁棒控制器的设计方法等并且介绍了线性矩阵不等式的一些相关知识本论文中所要用到的引理也进行了描述 2 对于线性不确定无时滞系统和线性不确定时滞无关系统进行状态反馈鲁棒控制器的设计基于线性矩阵不等式方法 LMI 和Lyapunov稳定性原
42、理给出了系统稳定镇定的设计并且针对实例进行了仿真验证 3 为了克服不依赖时滞的结果在某些情况下存在的局限性如可能无法得知时滞变化率而只知道系统的时滞范围的情况因而对线性不确定时滞系统的时滞相关鲁棒镇定问题进行了研究通过利用LMI方法给出了系统鲁棒控制器存在的充分条件克服了以往通过求解Riccati方程或不等式时有大量的参数和正定矩阵需要预先调整的缺点并对结果进行了仿真研究参考文献1 俞立鲁棒控制线性矩阵不等式处理方法M北京清华大学学研大厦清华大学出版社20021-20158-207 2 申铁龙控制理论及应用M北京清华大学校内清华大学出版社1996年1-653 钟麟王峰MATLAB仿真技术与应用
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44、state delayJ200133 9 1657-1662 9 Nian XiaohongRobust stability for a tape of uncertain time-delay systemsJ 2000Vol21No410 郭丽梅罗大庸年晓红不确定线性时滞系统的鲁棒镇定控制器设计J长沙铁道学院学报2003年第21卷 第2期11 蒋培刚苏宏业锗健线性不确定时滞系统的时滞依赖鲁棒镇定方法研究JControl and decisionVol14 No212 邵克勇黄伟东于树花高立群一类线性组合系统的稳定性J大庆石油学院学报第26卷 第1期13 Yu LiChu JianAn LM
45、I approach to guaranteed cost control of linear uncertain time-delay systemsJAutomalica199935 6 1155-115914 郑连伟郭立山刘晓平具有状态和控制时滞的不确定线性系统的鲁棒镇定J东北大学学报 自然科学版 2001年第22卷 第3期致 谢历时十五周的毕业设计结束了对于设计及论文的完成我要衷心感谢我的导师韩巍老师从论文选题到行文思路的具体安排研究以及论文初稿的写作这期间韩老师都给予了我无比细致的指导在我的学习期间他是我获得深思熟虑的意见和概念清晰的见解的来源他不惜花费自己时间对本论文提出许多意见和
46、建议给了我持久不断的鼓励在写作过程中韩老师经常询问我的写作进度和遇到的困难并及时帮我解决学习过程中遇到的难题帮我开拓思路转换思维方式通过这次毕业设计使我从韩老师身上学到了许多专业方面的知识严谨的治学态度动手能力教会了我许多在课堂上学不到的知识在此我表示最诚挚的谢意在学习期间和毕业设计期间我还得到了自动化系其它老师关爱和帮助受益良多是你们的不倦指导和热情帮助伴我走过求学的四年在此我也要深深的谢谢你们另外在毕业设计论文的写作过程中还得到了很多同学的帮助在此对他们表示感谢感谢所有关心过我支持过我的老师和同学本篇论文从选题初稿调试修改到最终的完成凝聚着我和多位老师的心血但毕竟学识有限理论功底不足在此恳请各位老师和同学对本文的不足之处批评指正附 录附录 1MATLAB程序如下所示m文件a 0 1 00 -1 10 0 -5b 0 0 1e 03 0 00 03 00 0 03f 1 0 0 0 1 0 0 0 1I 1 0 00 1 0 0 0 1setlmis x lmivar
