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1、摘 要鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点，对于一个控制系统，若使得闭环系统是稳定的，则有必要在设计稳定化控制器的时候，考虑可能出现的不确定因素以及时间滞后因素，这就是线性不确定时滞系统的鲁棒控制器设计问题。本文的主要研究内容包括：首先综述了鲁棒控制理论的发展和线性矩阵不等式方法的发展现状；然后针对线性不确定系统和线性不确定时滞系统，研究这些系统的状态反馈鲁棒控制器的设计方法,基于线性矩阵不等式(LMI)和Lyapunov稳定性理论，研究线性不确定系统、线性不确定时滞无关系统以及线性不确定时滞相关系统的渐近稳定的充分条件，得到它们的鲁棒控制器设计方法，并根据设计实例进行了仿真研究，结果表明系统稳
2、定。关键词：鲁棒控制；不确定性；线性时滞系统；状态反馈AbstractRobust control is the focus in the research of Internationally controlled sector，for a control system, if makes its closed-loop system is stable, it will be necessary to consider the possible uncertain and time-delay factors when we design stability controllers. Th
3、is is design problem of linear uncertain time-delay systems robust controller.Summarily the contents of this paper are outlined as follows: first, it summarize the development of robust control theory and linear matrix inequality approach; then,for the linear uncertain system and the linear uncertai
4、n time-delay systems research the robust stability conditions and design technique of robust controller for these systems, base on the linear matrix inequality(LMI) and Lyapunov stability theory, a sufficient condition for linear uncertain system, linear uncertain delay-independent system and linear
5、 uncertain delay-dependent system to be asymptotically stable is presented, getting the design technique of their controller, and according to design examples and the simulation study ,the results show that the system is stable.Key words: robust control; uncertainty; linear time-delay system; state
6、feedback 目 录第1章 概 述11.1 时滞系统概述11.2 鲁棒控制理论概述21.3 本文研究的主要内容5第2章 预备知识62.1 线性矩阵不等式基础62.2 一些常用的基本引理102.3 本章小结11第3章 线性时滞系统时滞无关的状态反馈控制123.1 引言123.2 线性不确定系统的鲁棒控制器设计123.3 线性不确定时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计153.4 具有时滞项不确定的线性时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计193.5 本章小结23第4章 线性时滞系统时滞相关的状态反馈控制244.1 引言244.2 线性不确定时滞系统时滞相关鲁棒控制器设计244.3 本章小结30结 论31参考
7、文献32致 谢33附 录34第1章 概 述1.1 时滞系统概述时滞是客观世界和工程技术中普遍存在的问题。近年来对时滞系统的研究得到了众多学者的广泛关注，并取得了丰硕的成果。在实际系统如电子网络、微波振荡器、核反应堆、化学过程、手动控制、水力远程传送等过程中均存在时滞。引起时滞的主要因素：系统变量的测量、系统设备的物理性质、物质及信号的传递等。时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，且时滞的存在往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。正是由于时滞系统在实际中的大量存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的分析和综合一直是控制理论和控制工程领域中研究的一个热点问题1。目前关于时滞
8、系统的研究成果从结论的角度可分为两类：依赖于时滞的和不依赖于时滞的。在20世纪80年代以前，提出的关于时滞系统的结论基本上都是与时滞的大小无关的，也就是说在进行系统稳定性或其它性能研究时，不考虑时滞的大小，即对时滞不作任何限制，这样所得到的结论显然对于任意的时滞都是成立的。然而，许多实际系统中的时滞一般都是有界的，无穷时滞很少出现，当时滞有界时，或者时滞比较小时，是相当保守的，这类不考虑时滞大小的条件被称之为时滞无关条件。与之相对应，考虑了时滞大小对系统稳定性和性能的影响的条件，就称为时滞有关条件。研究时滞系统通常使用的工具主要有Riccati矩阵方程与线性矩阵不等式2。特别是线性矩阵不等式方
9、法的广泛应用，使得有关线性时滞系统的控制问题的研究得到了飞速发展。纵观时滞系统的研究和发展，有两条主要研究途径，即时域方法和频域方法两大类，采用频域法设计时滞系统的控制器随着系统维数的提高，系统特征方程的处理变得非常复杂，因此问题的处理的难度变得相当大，且对于时变时滞系统这类方法难于应用，因此近年来有关不确定时滞系统的结论基本上都是用时域的分析方法取得的。本论文也用时域的方法来研究不确定时滞系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器的综合问题。时域方法用的最多的是Lyapunov直接设计方法。从20世纪60年代开始，Lyapunov第二方法开始被用来处理线性系统的控制问题，接着该方法也很快被引入到时滞系
10、统的分析设计中来，逐渐成为人们手中处理时滞系统的有力武器。因此，Lyapunov方法在工业实际中有着广阔的应用前景。1.2 鲁棒控制理论概述1.2.1 鲁棒控制基本概念控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统，当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分：测量、比较和执行。这个理论和应用自动控制的关键是，做出正确的测量和比较后，如何才能更好地纠正系统。80年代以来，反馈控制理论获得了惊人的发展，已经变得更加严密，更加符合实际，由此发展起来的鲁棒控制理论为处理不确定性提供了有效的手段。鲁棒控制方面的研究始于20世纪60年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究
11、热点3-4。鲁棒控制方法适用于稳定性和可靠性作为首要目标的应用，同时过程的动态特性已知且不确定因素的变化范围可以预估。飞机和空间飞行器的控制是这类系统的例子。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。由于工作状况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制，成为国内外科研人员的
12、研究课题。鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统(SISO)在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析5。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动。因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法。其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小的必须满足的要求，一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。鲁棒控制理论所要研究的问题不外乎两大方面，即分析和综合。在分析方面要研究的是：当系统存在各种不确定性及外加干扰时，系统性能变
13、化的分析，包括系统的动态性能和稳定性等。在综合方面要研究的是：采用什么控制结构、用什么设计方法可保证控制系统具有更强的鲁棒性，包括如何对付系统中存在的不确定性和外加干扰的影响，并且鲁棒稳定性是一类具有非常重要的实用价值的稳定特性。大量的实际应用要求即使在如上所述的条件下控制律依然可以保证系统的稳定，即所谓的鲁棒镇定。因此，线性不确定系统的鲁棒控制研究具有较高的实用价值，对于实际控制系统的设计和应用更具有指导意义。除了不确定性，时滞也是系统设计分析中需要注意的一个重要因素。任何系统中，物质和能量的传输都需要时间，因此时滞是过程的固有特性，是不可避免和普遍存在的6。而它所产生的一个后果就是，当控制
14、参数已经变化时，被控量并不立即变化，而是要延迟一段时间才开始变化。随着控制系统变得越来越复杂，控制精度的要求越来越高，时滞已经不能在分析设计时加以忽略，而是要建立明确的时滞微分方程以作为更为精确的数学模型。因而时滞系统的研究不仅仅在于理论上巨大意义，还在于实际控制系统设计和应用的迫切需要。1.2.2 鲁棒控制理论的历史和发展控制系统在其特性或参数发生摄动时仍可使品质指标保持不变的性能。鲁棒性原是统计学中的一个专门术语，20世纪70年代初开始在控制理论的研究中流行起来，用以表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。在实际问题中，系统特性或参数的摄动常常是不可避免的。产生摄动的原因主要有两个方面，一
15、个是由于量测的不精确使得特性或参数的实际值会偏离它的设计值(标称值)，另一个是系统运行过程中受环境因素的影响而引起特性或参数的缓慢漂移。因此，鲁棒性已成为控制理论中的一个重要的研究课题，也是一切类型的控制系统的设计中所必须考虑的一个基本问题。对鲁棒性的研究主要限于线性定常控制系统，所涉及的领域包括稳定性、无静差性、适应控制等。鲁棒性问题与控制系统的相对稳定性(频率域内表征控制系统稳定性裕量的一种性能指标)和不变性原理(自动控制理论中研究扼制和消除扰动对控制系统影响的理论)有着密切的联系，内模原理(把外部作用信号的动力学模型植入控制器来构成高精度反馈控制系统的一种设计原理)的建立则对鲁棒性问题的
16、研究起了重要的推动作用。当系统中存在模型摄动或随机干扰等不确定性因素时能保持其满意功能品质的控制理论和方法称为鲁棒控制。早期的鲁棒控制主要研究单回路系统频率特性的某些特征，或基于小摄动分析上的灵敏度问题。在经典控制理论中，被控对象的频率特性是设计控制系统的主要依据，整个系统的性能指标也是通过引入控制器来整定开环系统频率特性的方法而实现的。由于被控对象的频率特性通常是靠实验测试等手段获得的，因此，不可避免地带有不确定性。这就导致经典控制理论设计的控制器，在很大程度上必须依靠现场调试，才能获得满意的控制性能。而基于状态方程等数学模型为主要设计依据的现代控制理论，则依靠线性代数、微分几何以及最优化方
17、法等严谨的数学工具，采用数学解析的手段来设计控制系统。同理，通常用机理推导和模型辨识等手段得到的数学模型同样带有不确定性。系统鲁棒控制理论也可追溯到无穷小分析的思想，例如微分方程解在给定区间的任意小变化依赖于初值和方程系数的充分小变化，再如偏微分方程中的适定性研究、计算方法中关于误差的灵敏性等。鲁棒控制问题事实上最初在具有摄动的精确系统的大增益反馈器设计有所体现。这一思想最早研究可追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计思想7。由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，基于上述思想设计的控制系统往往是动态不稳定的。1932年Nyquist提出了基于Nyqui
18、st曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。1945年Bode讨论了单输入单输出(SISO)反馈系统的鲁棒性。提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定性范围，并引入微分灵敏度函数来衡量参数摄动下的系统性能。20世纪60年代初，Cruz和Perkins将单输入单输出系统的灵敏性分析思想推广到多输入多输出(MIMO)系统，引入灵敏度矩阵来衡量系统的闭环和开环性能。这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属于灵敏度分析的范畴，并只是停留在理论上，尚不能在实际的生产过程中得以应用。在实际生产过程中，系统的参数摄动往往由于各种原因
19、会在较大的范围内发生变化，早期的理论研究不能解决实际中出现的这种情况，为适应社会的发展和解决生产过程中出现的问题，现代鲁棒控制理论得以应运而生。在鲁棒控制理论建立过程中，Zames于1963年提出的小增益原理影响深远，这一原理为鲁棒稳定性分析莫定了基础，至今仍是频域分析非结构不确定性系统鲁棒稳定性的基本工具。鲁棒控制理论这一术语首次由Davsion在1972年提出，在20世纪70年代末和80年代初，人们从实际与理论两个方面越来越深刻的认识到鲁棒控制理论具有的特殊的实践和理论意义，从而鲁棒控制扩展到许多领域，得到迅速发展，并取得了令人瞩目的成果。随着科技的进步和社会的发展，微机的应用为控制论的飞
20、速发展提供了极大的方便，也正是微机的广泛应用，现代控制理论才有今天可喜的成果。鲁棒控制理论发展到今天，已经形成了很多引人注目的理论，其中控制理论是目前解决鲁棒性问题最为成功且较完善的理论体系。如今，系统的分析方法和控制器的设计大多是基于数学模型而建立的，而且，各类方法已经趋于成熟和完善。然而，系统总是存在这样或那样的不确定性。在系统建模时，有时只考虑了工作点附近的情况，造成了数学模型的人为简化；另一方面，执行部件与控制元件存在制造容差，系统运行过程也存在老化、磨损以及环境和运行条件恶化等现象，使得大多数系统存在结构或者参数的不确定性。这样，用精确数学模型对系统的分析结果或设计出来的控制器常常不
21、满足工程要求。近些年来，人们展开了对不确定系统鲁棒控制问题的研究，并取得了一系列研究成果。1.2.3 鲁棒控制系统的设计基本思想一般的反馈控制系统设计的基本要求包括稳定性、渐近调节、动态特性和鲁棒性等四个方面。(1) 稳定性：它是控制系统设计的最基本的要求，并意味着控制系统从工作点附近任意初始状态出发的轨迹在时间趋于无穷时收敛于工作点。(2) 渐近调节：它意味着对于一类给定的目标输入和外部扰动，一个反馈控制系统必须能够保证即保证控制系统的稳态误差为0。渐近调节的特性反映了控制系统的稳态性能。(3) 动态特性：它是指反馈控制系统的动态性能必须满足一组给定的设计指标。(4) 鲁棒性：它是指当不确定
22、性在一组给定的范围内发生变化时，必须保证反馈控制系统的稳定性、渐近调节和动态特性不受影响。一个反馈控制系统是鲁棒的，或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性，就是指这个反馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐近调节和动态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。鲁棒性又可以分为鲁棒稳定性、鲁棒渐近调节和鲁棒动态特性。(1) 鲁棒稳定性是指在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性。(2) 鲁棒渐近调节是指在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐近调节功能。(3) 鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。一个反
23、馈控制系统的设计问题就是根据给定的控制对象模型，寻找一个控制器，以保证反馈控制系统的稳定性，使反馈控制系统达到期望的性能，并对模型不确定性和扰动不确定性具有鲁棒性。具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。抓住不确定性变化的范围界限，并在这个范围内进行最坏情况下的控制系统设计，这就是鲁棒控制系统设计的基本思想8。1.3 本文研究的主要内容本文主要研究的内容有：线性矩阵不等式基础以及一些常用的基本引理；基于MATLAB中的LMI工具箱以及Lyapunov稳定性定理，分别对线性不确定系统、线性不确定时滞无关系统以及线性不确定时滞相关系统的鲁棒控制器进行设计，然后根据设计实例，进行仿真研究。第2章 预备
24、知识2.1 线性矩阵不等式基础在时间域中研究参数不确定系统的鲁棒分析和综合问题的主要理论基础是Lyapunov稳定性理论，早期的一种主要方法是Riccati方程处理方法。它是通过将系统的鲁棒分析和综合问题转化成一个Riccati型矩阵方程的可解性问题，进而应用求解Riccati方程的方法给出系统具有给定鲁棒性能的条件和鲁棒控制器的设计方法。尽管Riccati方程处理方法可以给出控制器的结构形式，便于进行一些理论分析，但是在实施这一方法之前，往往需要设计者事先确定一些待定参数，这些参数的选择不仅影响到结论的好坏，而且还会影响到问题的可解性。但在现有的Riccati方程处理方法中，还缺乏寻找这些参
25、数最佳值的方法，参数的这种人为确定方法给分析和综合结果带来了很大的保守性。另一方面，Riccati型矩阵方程本身的求解也还存在一定的问题。目前存在很多求解Riccati型矩阵方程的方法，但多为迭代方法，这些方法的收敛性并不能得到保证。20世纪90年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等式再一次受到控制界的关注，并被应用到系统和控制的各个领域中。许多控制问题可以转化为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题，或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题。由于有了求解凸优化问题的内点法，使得这些问题可以得到有效的解决。1995年，MATLAB推出了求解线性矩阵不等式问题的LMI工具箱，从而
26、使得人们能够更加方便和有效地来处理、求解线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中的应用。线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多不足。线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时，得到的不仅仅是一个满足设计要求的控制器，而是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到一个控制器，即可以得到满足设计要求的一组控制器。这一性能在求解系统的多目标控制问题时是特别有用的9-12。本章主要介绍线性矩阵不等式的一些基本概念、求解线性矩阵不等式的主要算法以及应用线性
27、矩阵不等式来解决系统与控制问题时要用到的一些基本结论。2.1.1 线性矩阵不等式的表示式近10年来，线性矩阵不等式被广泛用来解决系统与控制中的一些问题，随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出、MATLAB软件中LMI工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视，应用线性矩阵不等式来解决系统与控制问题已成为这些领域中的一大研究热点。线性矩阵不等式(LMI)具有如下的一般形式 (2-1)其中：是个实数变量，称为是线性矩阵不等式(2-1)的决策变量，是由决策变量构成的向量，称为决策向量。，是一组给定的实对称矩阵。式(2-1)中的不等号指的是矩阵是负定的，即对所有非零的向量，或的最大特
28、征值小于零。所有满足线性矩阵不等式(2-1)的x的全体构成一个凸集。如果把看成是从到实对称矩阵集的一个映射，则可以看出并不是一个线性函数，而只是一个仿射函数。因此，更确切地说，不等式(2-1)应该称为一个仿射矩阵不等式。但由于历史原因，目前线性矩阵不等式这一名称已被广泛接受和使用。如果在(2-1)式中用“”代替“”，则相应的矩阵不等式称为非严格的线性矩阵不等式。显然，多个LMI可用一个LMI表示，即等价于对二次非线性矩阵不等式，通过Schur补引理13可以转化为LMI，从而推广LMI在控制理论研究中应用范围，其基本思想是：若，则，等价于2.1.2 一些标准的线性矩阵不等式问题本节介绍三类标准的
29、线性矩阵不等式问题14。在MATLAB的LMI工具箱中给出了这三类问题的求解器。假定其中的、和是对称的矩阵值仿射函数，是一个给定的常数向量。 (1) 可行性问题(LMIP)：对给定的线性矩阵不等式，检验是否存在，使得成立的问题称为一个线性矩阵不等式的可行性问题。如果存在这样的，则该线性矩阵不等式问题是可行的，否则这个线性矩阵不等式就是不可行的。(2) 特征值问题(EVP)：该问题是在个线性矩阵不等式约束下，求矩阵的最大特征值的最小化问题或确定问题的约束是不可行的。它的一般形式是： 这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题： 这也是LMI工具箱中特征值问题求解器所要处理问题的标准形式。(3)
30、广义特征值问题(GEVP)：在一个线性矩阵不等式约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义特征值的最小化问题。对给定的两个相同阶数的对称矩阵和，对标量，如果存在非零向量，使得,则称为矩阵和的广义特征值。矩阵和的最大广义特征值的计算问题可以转化成一个具有线性矩阵不等式约束的优化问题。事实上，假定矩阵是正定的，则对充分大的标量，有。随着减小，并在某个适当的值，将变为奇异的。因此，存在非零向量，使得。这样的一个就是矩阵和的广义特征值。根据这样的思想，矩阵和的最大广义特征值可以通过求解以下的优化问题得到： 当矩阵和是的一个仿射函数时，在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵函数和的最大广义特征值的最小化问题的一般
31、形式如下： 通常，在控制理论研究中所遇到的二次非线性矩阵不等式，通过下面Schur补引理可以转化为线性矩阵不等式，这也是线性矩阵不等式在控制理论研究中能得到广泛应用的主要原因之一。下面给出Schur引理的具体描述。 引理2.1.1 (Schur补引理)假设对称矩阵，并且可以进行以下分块其中是维的，假定非奇异，则称为是在中的Schur补，那么以下三个结论等价： 上述结论中的所有不等式都是严格不等式，如果遇有非严格的不等式，则用到下列推广了的Schur补引理： 引理2.1.2 假设对称矩阵，并且可以进行以下分块分块定义同引理2.1.1，则等价于下述三个约束条件： 注意到引理2.1.1的(2)式和(
32、3)式中的第二个不等式以及引理2.1.2式后两个不等式均为非线性矩阵不等式，因此以上的等价关系说明了应用矩阵的Schur补性质，一些非线性矩阵不等式可以转化成线性矩阵不等式，从而利用现有的软件MATLAB中的LMI工具箱可以直接对问题求解。 线性矩阵不等式处理方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的许多不足。线性矩阵不等式方法给出了问题可解的一个凸约束条件，因此，可以应用求解凸优化问题的有效方法来进行求解。正是这种凸约束条件，使得在控制器设计时得到的不仅仅是一个满足设计方法的控制器，而且是从凸约束条件的任意一个可行解都可以得到的一个控制器，即可以得到满足设计要求的一组控制器。2.1.3
33、LMI工具箱简介线性矩阵不等式(LMI)工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。LMI工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用于：(1) 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；(2) 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；(3) 修改现有的线性矩阵不等式系统；(4) 求解三个一般的线性矩阵不等式问题；(5) 验证结果。LMI工具箱可以处理具有以下一般形式的线
34、性矩阵不等式：式中，是具有一定结构的矩阵变量，左、右外因子和是具有相同维数的给定矩阵，左、右内因子和是具有相同分块结构的对称块矩阵。LMI工具箱提供了用于求解如下三个标准问题的线性矩阵不等式求解器：(1) 可行性问题(LMIP)，对应的求解器函数feasp( )的一般表达式如下：tmin,xfeas=feasp(lmisys,options,target)求解器feasp( )是通过求解如下的一个辅助凸优化问题 来求解线性矩阵不等式系统limisys的可行性问题；(2) 特征值问题(EVP)，对应的求解器函数Mincx( )的一般表达式如下：copt,xopt=mincx(lmisys,opt
35、ions,xinit,target)求解器Mincx( )求解的优化问题如下这是一个具有线性矩阵不等式约束的线性目标函数的最小化优化问题；(3) 广义特征值问题(GEVP)，对应的求解器函数gevp( )的一半表达式如下：lopt,xopt=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)对于给定的两个相同阶数的对称矩阵、和标量，如果存在非零向量，使得，则称为是矩阵和的广义特征值。求解器gevp( )给出了优化问题的全局最小值lopt和决策向量的最优解xopt。控制系统中的一些性能指标、稳定性判据可以转化为LMI的以上三类标准问题，其原因是：一方面Lya
36、punov方法易得到凸的或拟凸的条件；另一方面LMI本身能表示范围广泛的不同类凸约束。2.2 一些常用的基本引理引理2.2.1 为适维的常数矩阵，并且，是适维的单位矩阵，则存在，使得下式成立：引理 2.2.2 给定适当维数的矩阵、和，其中对称的，则对所有满足的矩阵成立，当且仅当存在一个常数，使得引理2.2.3 对给定的对称矩阵，其中是rxr维的。以下三个条件是等价的：(1) ；(2) ；(3) 在一些控制问题中，经常遇到二次型矩阵不等式： 其中：是给定的适当维数的常数矩阵，是对称矩阵变量，则应用引理2.2.3，可以将该二次型矩阵不等式可行性问题转化成一个等价的矩阵不等式引理2.2.4 是适维矩
37、阵，是适维单位阵，是同维向量，则下式成立：，其中引理2.2.5 在引理2.2.4中，如果令则：2.3 本章小结本章主要介绍了线性矩阵不等式的一些基础知识以及MATLAB LMI工具箱。在本章中，列出了一些常用的引理，也对文中要用的矩阵不等式做了归纳总结并给出了证明。第3章 线性时滞系统时滞无关的状态反馈控制3.1 引言近年来，不确定系统的研究涌现出许多的成果。在实际控制系统中，不确定性和时滞性是不可避免的，它们的存在往往是导致整个系统不稳定的内在因素。这类问题的本质是带摄动的无穷维问题，所以不确定性的滞后控制系统的镇定研究就比较困难，而实际系统设计时通常又不能无条件地用无滞后的不确定系统。线性
38、系统的摄动抑制及时滞抑制是系统鲁棒性研究中一类很重要的问题，在实际系统分析及综合中具有重要意义。因此，下面分别对不确定系统和具有时滞的不确定系统的鲁棒控制器设计进行研究。3.2 线性不确定系统的鲁棒控制器设计在鲁棒控制中，不确定动态系统的概念是相当重要的。为了进行有效的控制系统设计，一个复杂的动态系统必须用一个相对简单的模型来描述，而这样一个简化模型和实际对象之间的差距称为模型不确定性。除了在模型简化中可能带来模型的不确定性外，对系统某些特性或环节缺乏足够的了解(即难以建模的部分)，由于系统环境的变化、元器件的老化、某些物理参数的漂移或随时间的未知变化等因素所带来的系统行为的变化也可能导致模型
39、不确定性的产生，因此就要设计一个控制器使不确定系统具有稳定性。本节主要是在系统的状态反馈中加入了不确定的系数，从简单的线性不确定系统着手，来进行理论的推导和验证，推导出来的理论又通过一个实际的例子进行了验证与仿真。不仅证明了定理的正确性，而且通过理论分析和实例表明，设计的状态反馈控制器还具有一定的鲁棒性，即在受到一定的不确定干扰时系统仍是稳定的。3.2.1 问题描述考虑具有如下形式的线性不确定系统 (3-1)其中：是系统的状态向量，是系统的控制输入，是具有适当维数的已知常数矩阵，是适当维数的不确定矩阵函数，表示了系统模型中的参数不确定性。假定所考虑的参数不确定性是参数有界的，且具有以下的形式：
40、其中，是适当维常数矩阵，为未知的Lebesgue可测矩阵函数，且满足取状态反馈控制律如下： (3-2)在状态反馈控制律(3-2)的作用下得到闭环系统如下所示：3.2.2 主要结果和推导过程定理3.2.1：对于给定线性不确定无时滞系统(3-1)，存在线性状态反馈(3-2)，使得闭环系统是二次稳定的充分条件是存在适当的正数，正定对称矩阵以及矩阵，使得如下线性矩阵不等式成立： (3-3)证明：定义如下Lyapunov函数 函数两边同时对求导，有下式成立： 令，则因为则由引理2.2.1得：应用Schur补引理得： (3-4)比较可知，线性矩阵不等式(3-4)与不等式(3-3)等价，因此，系统(3-1)
41、是稳定的，且具有一定的鲁棒性。3.2.3 仿真实例考虑系统(3-1)具有如下的各矩阵参数：，已知矩阵已经给定，要求设计一个状态反馈控制器，使得被控系统稳定并且具有一定的鲁棒性，且仿真出来系统的状态阶跃响应图。解：利用MATLAB的LMITOOL工具可以解得未知矩阵(即lmiedit函数)，所编程序如附录中的(附录1)所示。运行程序解得：(即附录1中ew值)，由MATLAB的SIMULINK工具箱在状态反馈控制律的作用下的系统的方块图：图3-1 状态反馈控制系统的方块图由附录1中所计算得的增益值输入在图中的Matrix Gain中，选取一定值运行即得如下所示的系统状态阶跃响应图：图3-2 系统的
42、状态阶跃响应从仿真图3-2中可以看到系统的响应随着时间的增大而逐渐趋近于稳定，这就说明由本方法得到的状态反馈控制律能保证闭环系统具有一定的鲁棒性。3.3 线性不确定时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计由于时滞现象在实际工程中是普遍存在的，同时，它又是使系统不稳定的重要因素，因此，对于时滞控制系统的稳定性研究一直受到国内外众多学者的极大关注。对于时滞控制系统稳定性的研究结果主要有两类:一类是与时滞大小无关的系统稳定条件；另一类是系统时滞相关稳定的判别准则。时滞无关的稳定判别准则的主要特点是简洁实用。本节的主要工作是提出线性时滞系统的一些与时滞无关的稳定设计，理论分析和实例表明，研究结果具有十分重要的理
43、论意义和实用价值。3.3.1 问题描述考虑具有如下形式的线性不确定系统 (3-5)其中：是系统的状态向量，是系统的控制输入，是具有适当维数的已知常数矩阵，为时滞参数值。是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵，假定所考虑的参数不确定性是参数有界的，且具有以下的形式：其中，是适当维常数矩阵，为未知的Lebesgue可测矩阵函数，且满足取状态反馈控制律如下： (3-6)在状态反馈控制律(3-6)的作用下得到闭环系统如下所示：3.3.2 主要结果和推导过程定理3.3.1：对于给定线性不确定时滞系统(3-5)，存在线性状态反馈(3-6)，使得闭环系统是二次稳定的充分条件是存在适当的正数，正定对称矩阵以
44、及矩阵，使得如下线性矩阵不等式成立： (3-7)证明：定义如下Lyapunov函数函数两边同时对求导，有下式成立： 因为则由引理2.2.1得：将其代入，则变成：我们可以令：即得要证明，只需要证明即可。在的左右两边同时乘以，再令，可以得到： (3-8)对于不等式(3-8)应用Schur补引理即得： (3-9)比较可知，线性矩阵不等式(3-9)与不等式(3-7)等价，因此，系统(3-5)是稳定的，且具有一定的鲁棒性。证毕。3.3.3 仿真实例考虑系统(3-5)具有如下的各矩阵参数：， ，已知矩阵已经给定，要求设计一个状态反馈控制器，使得被控系统稳定并且具有一定的鲁棒性，且仿真出来系统的状态阶跃响应
45、图。解：利用MATLAB的LMITOOL工具可以解得未知矩阵(即lmiedit函数)，所编程序如附录中的(附录2)所示。运行程序解得：(即附录2中ew值)，由MATLAB的SIMULINK工具箱在状态反馈控制律的作用下的系统的方块图：图3-3 状态反馈控制系统的方块图由附录2中所计算得的增益值输入在图中的Matrix Gain和Matrix Gain1中，选取一定值运行即得如下所示的系统状态阶跃响应图：图3-4 系统的状态阶跃响应（时滞d=0.5）图3-5 系统的状态阶跃响应（时滞d=1.0）在系统取不同的时滞常数值的情况下，从仿真图3-4和3-5中可以看到系统的响应随着时间的增大而趋近于稳定，并且稳定时间基本相同，这就说明由本方法得到的状态反馈控制律能保证闭环系统具有一定的鲁棒性。3.4 具有时滞项不确定的线性时滞系统时滞无关鲁棒控制器设计3.4.1 问题描述考虑具有如下形式的线性不确定时滞系统 (3-10)其中：是系统的状态向量，是系统的控制输入，是具有适当维数的已知常数矩阵，为时滞参数值。，是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵，假定所考虑的参数不确定性是参数有界的，且具有以下的形式：其中，是适当维常数矩阵，为未知的Lebesgue可测矩阵函数，且满足取状态反馈
