《数学建模论文试卷的合理均衡分配与评判和反评判指标体系的构建.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模论文试卷的合理均衡分配与评判和反评判指标体系的构建.doc（24页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、试卷的合理均衡分配与评判和反评判指标体系的构建 摘要本文通过对试卷均衡分配，将传统的评阅方式改进提出更好的试卷排名的评判指标体系，给出每个评委的水平给出评价的反评判指标体系和对出现的“不公平”进行调整来保证竞赛评卷体系的公平性，并提出了对不同评委组所评试卷进行总排名和评委总排名的合理方案。试卷分配中，采用MATLAB编程计算，在分配方案时避免了本校评委评阅本校的试卷的不公平分配现象，通过当某一评委组合分配完后就从组合矩阵删除的方法避免出现相同评委评阅不同试卷的情况，通过限制评委的最大评阅数达到评委间的工作量平衡。最后在计算机计算出的100个方案中筛选出方案满足工作平衡性好，不出现试卷集中在某评
2、委现象的均衡性较好的方案。评卷中，考虑每个评委评判试卷的标准并不完全一致，有的评委有判高分倾向，有的评委有判低分倾向。定义评委判分合理差异系数，给出判断评委判分是否过高过低的标准，并在试卷最终成绩中根据该差异系数对每位评委的评分加以调整，使分数更加合理。采用分数平均值作为排名标准，有效避免了传统试卷评卷中去掉最低分带来的误差。最后根据假设生成一组合理的数据，并验证了改进后模型的合理性。为提高评卷体系公平性，选定以某位评委给出的所有分数的相对差值平均值的波动性为参数来衡量公平性，从而给出对评委打分排名的反评判指标体系。并在一份试卷的评判过程中，按照4 位评委阅卷公平性的不同，分配以相应的权值，进
3、而得出最终的分数调整计算公式。对决定全部试卷的最好真实排名和全部评委排名的问题，以平均分代替数学期望，用全部试卷的总平均分除以子模块内所有试卷的平均分作为该子模块系数值，建立了无偏处理模型；根据优势等价性原则，定义试卷优势度，建立了相对优势等价模型。关键词：均衡分配 公平性 权值 无偏处理 一问题重述数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人开始关注竞赛评卷的公平性。一个好的竞赛评卷体系不仅可以增加参与者的积极性，更重要是的能够扩大数学教育在整个社会的影响。在大学生数学建模竞赛A题的评卷工作中，来自不同学校的M个评委要完成N份试卷的打分，竞赛试卷来自K个学校，第j个学
4、校有竞赛试卷份，为节省人力，每份试卷只要由其中p（ p M K N ）个评委进行打分就行，1 根据回避原则，要求评委不能阅自己学校的试卷，给出试卷合理的均衡分配方案的数学模型，使各评委阅卷工作量均衡；试卷分配均衡分散。用MATLAB或C语言编写出试卷合理的均衡分配方案的计算机程序。输入参数为p ，M ， K ，N ，输出为各评委分别阅卷的号码，就一个实例给出问题的答案。实例：某省有竞赛试卷368份，16个评委阅卷，40所学校，p取3-5自己设定，如下表1： 表16956554910987654321频数11112122233687给出问题的答案。均衡分散解释：（1） (a) (b)矩阵第i行第
5、j列为1，表示第i个评委阅第j份试卷，称上述矩阵为缺失评分矩阵。矩阵(b)表示任意两份试卷评阅中，最多有2个评委相同，而矩阵(a)存在着相同的3个评委同阅两份试卷。均衡分散性好是指任意两份试卷评阅中，出现相同评委越少越好。（2）均衡分散性好是指：分配在每一个评委手中的试卷质量最好是好、中、差分布较为均匀，且同一个学校试卷不要集中在一个评委手中。2传统的评阅方式是：每份试卷只要由34个评委进行打分（若取4个评委，则去掉一个最低分）按剩下的有效分求和，按分数排名决定名次。给出更好的试卷排名的评判指标体系，说明比传统的评阅方式好在哪里。3给出对评委打分排名的反评判指标体系。该方法要求对每个评委的水平
6、(公平性)给出评价。注意：某评委给出分数普遍偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可给出最终的分数调整计算公式来进行调整。4文献资料证明：对于完全评分矩阵(即全体评委评阅全部试卷)，无论评委评分尺度如何，总可以给出试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名。基于这一思想，全部试卷分配时按矩阵(a)类似情形分成35个完全评分子块(两省联合阅卷能做到试卷合理的均衡分配方案)，每一子块当然能决定该子块试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名，给出由这些结果如何决定全部试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名的方法。二模型的建立与求解问题1 试卷的合理均衡分配1.1符号说明与假设1.1.1符号说明: M
7、 参加竞赛的学校数 N 试卷总数 p 每份试卷的分配的评委数 M 评委数YJSi 第i的评委的阅卷数PJYJ 表示每位评委的评价阅卷数ZDYJS 表示每位评委的最大阅卷数JSi 表示第i学校的试卷1.1.2 模型假设:1) M评委来自不同学校2) 试卷的质量分布均匀与所来自学校无关1.2问题分析和模型的建立对于试卷的均衡分配我们首先建立了合理指标（详见1.2.1）。为了减小程序的复杂度，我在取每一分初等方案（限制B1,B2,B4,没有限制B4）的过程中对每份试卷的分配都采取选择操作来达到满足B1,B2,B4的目的,而不是在取到随机方案后再筛选出满足B1,B2,B4的方案。首先对指标B1能绝对满
8、足的必要条件是不同评委的随机组合数大于总的阅卷数。当不同评委的组合数小于总阅卷数时B1是不可能达到满足的。在可以得到满足的情况下，为了实现我们可以先取到所有的评委组合建立一个组合矩阵（详细说明见1.2.2的步骤1），当该组合被分配时我们就从该组合矩阵中删除该组合，这就可以避免了在下份试卷分配时取到同样的组合。对于指标B2，在试卷分配都来自本校评委时，该试卷重新从组合矩阵中去组合，但不从中矩阵中删除该评委组合。直至分配成功。对于B4，为了减少计算机筛选的次数，我们首先可以定义每位评委的最大阅卷数ZDYJS,最大阅卷数大于且越逼近每位评委的平均阅卷数时，每位评委的工作量差就越小。当最大阅卷数与平均
9、阅卷数相等时，每位评委的阅卷量方差就等于0，这是理想的情况。这种情况不一定存在。我们通过从组合矩阵中删除含有评卷数超过ZDYJS的评委的评委组合，从而在后面的试卷分配评委组合时就分配不到含有该评委的组合。这样评卷数超过ZDJYS的评委的评卷数就不会再增加了。从而在一定程度上限制了评委间的工作量差，减少计算机筛选的次数，降低了程序的时间复杂度。对于B3的指标我们就可以从计算机提供的一定数量可行方案中筛选中满足较好的方案。这样就可以得到试卷分配较为合理均衡的方案。1.2.1 建立试卷合理分配指标B1 一种评委组合只能改一份试卷B2 评委不评阅来自自己学校的试卷B3 用同一个学校试卷不要集中在一个评
10、委手中B4 评委间的工作量平衡对B1,B2通过计算机筛选必须满足。对B4我们通过计算公式 -（2.1.1）其中 -（2.1.2）来衡量PJYS表示平均每位评委评阅试卷的数量，我们称Yjfc为阅卷方差量。1.2.2计算机编程计算步骤（用MATLAB 7.6）代码详见附录1.3：1) 取出所有的由p个不同的评委组成的组合，得到一个组合矩阵。矩阵的第n行表示第n个评委组合。2) 对试卷进行编号，我们采用数字bh表示，其中bh=xh*100+nh。xh表示第xh个学校，nh表示第xh学校的第nh份试卷。3) 对每份试卷随机抽取评委组合。4) 如果满足指标B2，且这些评委的评卷没有超过我们的衡量数ZDY
11、JS，我们将该组合分配给这份试卷。从组合矩阵中删除该评委组合5) 如果不满足B2，重新从组合矩阵中取组合，回到步骤3 。如果评委的评卷数超过ZDPJS从组合矩阵中删除包含该评委的组合。6) 重复2到5直至所有试卷都分配到一个评委组合。如果得不到所要方案则要ZDYJ增大ZDYJS直到取到方案。7) 获取一定数量的方案，取出方案中B4满足程度最大的一组。8) 查看该方案里每个学校试卷的评委分布，若出现集中现象重新获取分配方案。1.3 模型的计算机求解结果与分析1.3.1 模型结果详见附录1.11.3.2 模型结果与指标B3由结果统计得到并未出现集中现象，具体数据看附录1.21.3.3 模型结果与指
12、标B4所得的结果的YJFC=34；具体结果如下：评委编号12345678910111213141516阅卷数69696765707070686970707070706770每个评委的阅卷数在68左右波动，基本到达工作量的平衡。用下图可更直观表示：1.4 模型评价 实验表明本模型可以得到一个一定满足B1,B2一定程度上满足B3,B4的较为理想的分配方案。模型在取初等方案（只要求满足B1,B2,B4）方面比取到方案再筛选出满足B1,B2,B4的方案的模型大大减少了程序的复杂度，但在限制B3方面显然效率不高。问题2 评判指标体系改进2.1 传统评阅分析每一份试卷，在满足题目约束条件下,分3（或4）
13、次分配给随机的3（或4） 位不同评委，得到了三（或四）个分数。由前面分析可以知道，不同评委评阅同一份试卷是有差异的。尽管在评卷之前进行了认真培训、讨论评分标准、模拟评阅，使阅卷评分更加趋同。但由于评委在知识背景，阅历，对评分标准的理解力与个人倾向偏好等因素的存在与影响，评卷人员的差异总是存在的。考虑每个评委评判试卷的标准并不完全一致，最理想的状态是没有偏向性，评卷合理。但是有的评委有判高分倾向，有的评委有判低分倾向。我们假设高分评委和一位低分评委所打的分可以“相互抵消”，即由他们打的分数计算出来的试卷的平均成绩仍是正常的成绩。由此我们给出问题二的具体的限制条件是：在同一份试卷的评委中，判高分和
14、判低分的评委数最多相差1。若判高分和判低分的评委数相差大于1，我们认为这份试卷的成绩将过分的偏高或偏低，造成该试卷评分不公平。2.2 高分评委和低分评委的定位假设每份试卷由p个评委评分，则本题中p=3或4.取每份试卷由3个评委评分分析，每份试卷将会有三个分数，则试卷最终得分为。 定义试卷得分合理系数为（i=1，2，3），为这份试卷中每个评委对应的评分合理度；定义评委判分合理差异系数，用来确定评委判分偏高或偏低的程度。每个评委参与n份试卷的评分，批改的每一份试卷都对应一个，记作，则该评委最终的判分合理差异系数（j=1，2，,n）由定义式可知，=0是最理想的的情况；说明该评委判分偏高；说明该评委判
15、分偏低。可以做如下规定：2.3 可能出现的明显不合理情况分别对p=3、4时分析传统的评阅方式，我们会发现当出现以下情况时，试卷的成绩就会偏高或偏低：每份试卷有3个评委进行打分时，下表所列的情况：高分评委数目低分评委数目成绩偏差30 偏高03偏低20偏高02偏低每份试卷有4个评委进行打分时，去掉一个最低分，我们可以得到被去掉的最低分是由低分评委给出的分数。这样当出现如下情况时，试卷分数就会偏低或偏高。高分评委数目低分评委数目成绩偏差40偏高30偏高31偏高20偏高21偏高04偏低2.4 评判指标体系改进根据以上分析，为了避免试卷最终成绩的偏低或偏高，需要对评分过高或过低的评委给出的分数进行调整。
16、如果评委判分过高，则在他（她）给定分数的基础上适当降低；反之，如果评委判分过低，则在他（她）给定分数的基础上适当升高。根据前面判分合理差异系数的定义，可以将评判标准定位在调整后的有效分数的平均值上，记作H。当一份试卷有3个评委判分，即p=3时，设三个评委给出的分数分别为，对应的判分合理差异系数为，则改进后的评判指标体系H=；当一份试卷有4个评委判分，即p=4时，设四个评委给出的分数分别为，对应的判分合理差异系数为，则改进后的评判指标体系H=.这样考虑，就避免了上述评分偏高或偏低的情况，使得每份试卷的最终得分H更加合理。这样，以之为依据的评判标准的排名也就更加合理。2.5 改进后评判指标体系比传
17、统的评阅方式好在哪里传统评阅方式下，仅考虑到排名标准的一致性，而忽略了了这种评判标准的合理性分析：第一， 当p=4时，为使得每一份试卷最终都有3个有效分，选择去掉一个最低分的方式没有依据，可能会使试卷的排名高于实际水平；第二， 传统阅卷方式忽略了阅卷老师本身差异性对试卷成绩的影响，而这个影响可能会造成试卷最后成绩有较大的偏差。改进后的模型分别就上面两点做了修正：第一， 改进后的模型采取平均值作为排名标准，不存在去掉一个最高分或最低分的情况，是每一个评分均为有效分数，更加公平；第二， 改进后的模型考虑到评委个体之间的差异性 ，并对这种差异做了具体详细的分析，规定一个评委评分过高或过低的标准，且通
18、过合理的假设尽量减小这种差异性带来的误差。2.6 实例验证结果(1).确定验证对象为了简便可行，我们取25份试卷，8个评委进行分析，分布即按照下述矩阵所示：假设试卷的真实成绩平均成绩为75，利用matlab产生分布在75分左右满足正态分布的一组数据：n=normrnd(75,10,1,25)四舍五入我们可以假设随机抽取的25份试卷的真实成绩为x25=75 67 80 72 80 82 74 84 51 98 80 74 84 75 64 85 80 75 72 88 94 70 76 70 82；排名矩阵t1=14 23 9 19 9 7 17 5 25 1 9 17 5 14 24 4 9
19、14 19 3 2 21 9 21 7假设评委判分合理差异系数遵从均值为0的正态分布，用matlab产生一组数据n=normrnd(0,0.1,1,8)保留三位有效数字的评委判分合理差异系数8= -0.058 0.114 -0.026 -0.081 0.107 0.033 -0.012 0.002所以第1,4位评委判分过低，第2，5位评委判分过高，其余评委判分合理.假设评委给出的分数，则可得出与上述矩阵对应的比较合理的试卷分数分布矩阵：(2)验证合理性I.传统阅卷方式下，25份试卷排名标准（3份有效试卷得分的和）分别为y25=226 211 243 218 238 257 224 255 15
20、3 284 252 241 262 236 193 256 252 225 232 260 277 215 216 213 247;排名矩阵t2=16 23 11 19 13 5 18 7 25 1 8 12 3 14 24 6 8 17 15 4 2 21 20 22 10;II.改进后的方案下，或25份试卷排名标准（调整分数后的均值）分别为Z25=75 66 79 71 81 82 73 84 52 97 81 75 83 75 63 84 79 76 72 87 93 71 76 70 81；排名矩阵t3=15 22 15 20 8 7 18 4 25 1 8 15 6 15 24 4
21、11 13 18 3 2 20 13 22 8真实、传统、改进分数对比图（程序见附录2）点线倒三角点表示真实分数，虚线星形点表示传统分数，实线菱形点表示改进后分数结论：改进后与真实更吻合.真实、传统、改进分数排名对比图（程序见附录3）点线倒三角点表示真实排名虚线星形点表示传统阅卷下排名实线菱形点表示改进后排名传统、改进后排名与实际排名差异图（程序见附录4）虚线星形点表示传统排名与真实排名差实线菱形点表示改进排名与真实排名差结论： 传统阅卷方式下的计算排名方法对排名造成很大影响，失去可信度；改进后的的模型排名虽然也有偏差，但差距不大，在误差允许范围内，所以认为比较合理。问题3 反评判指标体系3.
22、1问题分析反评判指标体系要求对每个评委的水平(公平性)给出评价，我们认为比赛结果（即试卷最终分数）所得的数据应该是评价评委水平的主要依据。因此，需以试卷最终分数为依据设立一个参数来衡量某个评委给出分数的公平性。给出所有评委评分水平检验方法后，在各份试卷评判中，根据不同的评委评分水平的高低，其给出分数所占权重应该是不同的，从而得出最终的分数调整计算公式来进行调整。3.2 评委评分公平性的检验方法每位评委所打分数与该试卷的最终分数的相对差值为 ，某位评委对所评份试卷给出分数的相对差值平均值为，但如果某位评委给出分数普遍偏高或低，相对差值绝对值的平均值必偏大。若仅以来衡量公平性，则判定该评委评分水平
23、较低。而事实上，这只是评判的尺度偏差，不应算作不公平。故需另寻衡量某个评委公平性的参数。通过进一步分析，选定以某位评委给出的所有分数的相对平均值的波动性为参数来衡量公平性。记=，第位评委给份试卷评了分，从而对应个值，。我们提出检验评委评分水平（公平性）的两种方案：（1），越接近于零，该评委评分水平越高，即公平性越好；（2），越小，该评委评分水平越高，即公平性越好。通过或的计算及分析，可以对每位评委打分的公平性做出评价。3.3 合理的分数调整由于评委在知识背景，阅历，对评分标准的理解力与个人倾向偏好等因素的存在与影响，评卷人员的差异总是存在的。为保证评分的公平性，对一份试卷的评判，不同的评委评分
24、的权重是不同的。在一份试卷的评判过程中，按照4 位评委阅卷公平性的不同，分配以相应的权值，设为（=1，2，3，4）。于是给出分数调整计算公式：其中，是评委的原始评分。下面讨论（=1，2，3，4）的确定方法：根据前面讨论，知某位评委的值越小，其评分公平性越高，则其给出分数所占权重也应越大。故我们可对权重与的关系做出合理假设，在本题中，设权重与呈线性关系。则满足下列方程组： 解得：所以（=1，2，3，4）最终的分数调整计算公式即为：问题4 完全评分子块下的综合排名4.1 问题分析由题目可知，在完全评分矩阵的情况下，无论评委评分尺度如何，总可以给出试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名。基于这一思
25、想，全部试卷分配时按矩阵(a)类似情形分成35个完全评分子块(两省联合阅卷能做到试卷合理的均衡分配方案)，每一子块当然能决定该子块试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名。假设有10个评委，25份试卷，分成四个完全评分子模块。评委数分别为2，3，3，2，对应试卷份数分别为6，8，7，4，则矩阵如下： 记分别表示第i个评委;分别表示第j份试卷.则以上矩阵表示：第12位评委均且只批改第16份试卷；第35位评委均且只批改第714份；第68位评委均且只批改1521份试卷；第910位评委均且只批改第2225份试卷四个子块分别记作.显然在每一子模块都能决定该子块试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名，问
26、题是由这些结果如何决定全部试卷的最好真实排名和反评判问题的评委排名。4.2模型假设i. 试卷质量的均匀性：当试卷数量较多时，分配到每名评委的试卷的质量近似均匀，不存在一名评委一直评阅优秀试卷而另一名评委一直评阅差试卷的情况；即便发生这种情况，也视为评委评分尺度的偏差；ii.评委分组的均匀性：当评委人数较多时，分配到每个子模块的评委公平性好与不好的比例近似均匀，即一个评委在其所在的子模块公平性的排名可以反映其在所有评委中公平性的排名。iii.评分的正态性：所有参赛者的真实水平服从正态分布，所有阅卷评委都具有一定的专业性且都是独立自主地按照评分标准评阅试卷,那么所评成绩也应服从正态分布。评委的评分
27、偏差服从以他的尺度偏差为期望的正态分布。假设评委给每份试卷的评分均在60100分之间，即每个子模块内试卷最后得分均在60100分间服从正态分布；iv.评阅的独立化：由于试卷多次分发，第一位评卷人员在任何时间上评阅一份试卷时，不受任何外在信息的干扰，保证其独立自由地认真评阅，若干评卷人员即使评阅同一份试卷，也无法交流各自的观点与传递信息，试卷上也无已评的任何标记，互不影响，独立自主。4.3 模型建立试卷最好真实排名针对此问题，我们建立了无偏处理模型和相对优势等价模型A无偏处理模型无偏处理模型的前提假设在进行此算法时，前提条件是试卷子模块分组时按照随机性分组，这样可以保证不同组试卷分布的相同性。但
28、分组时仍可能会发生小概率事件，如在一个组试卷分数都极低，这可能由于这组学生的素质都偏低。在用无偏处理模型处理数据前，首先利用统计学方差分析的方法进行各组的平均数显著性检验，如果差异显著，则用此模型。反之，则表明各组评委评分结果没有显著性差异。无偏处理模型思想判断每一子模块评委对该子模块试卷打分的高低程度，并调整分数的数学依据是取两次“数学期望” 的方法，数学期望是反映随机变量平均取值大小的依据。在此用各组试卷得分的“平均分代替数学期望”，先求出部试卷成绩的总平均分，再求出子模块内所有试卷成绩的平均分。然后求得各组系数值，系数值为全部试卷成绩的总平均分除以子模块所有试卷成绩的平均分，最后用各子模
29、块内试卷原始成绩乘以子模块系数值作为该份试卷的最终成绩。无偏处理模型算法数学描述离散变量的数学期望是：离散型随机变量的一切可能的取值与对应的概率p之积的和称为的数学期望。(设级数绝对收敛)记作 。其含义实际上是随机变量的平均取值。在本算法中，设为第i子模块的试卷份数，为第i子模块第j份试卷的原始成绩。1计算每个子模块的试卷平均分2计算全部试卷的总平均分3计算求得个子模块系数值4计算各份试卷最终成绩试卷分组2试卷分组1评委分组1评委分组2试卷分组3试卷分组n试卷分组3试卷分组n第1组平均分总平均分第3组平均分第4组平均分第2组平均分系数系数系数系数各组试卷最终成绩试卷总排名无偏处理模型算法流程图
30、无偏处理模型能对不同评委评分的偏差起到一定的校正性，消除了由于试卷分到不同的子模块产生的误差，在一定程度上竞赛成绩的公正、公平。B相对优势等价模型 每一子模块都能决定该子块试卷的最好真实排名，但是整体最好真实排名中必须考虑到阅卷老师对试卷成绩的影响，例如，若模块一内阅卷老师整体评分偏高，而模块二阅卷老师整体评分偏低，如果仍然按照试卷最后得分的平均值进行排名，显然对模块二内的试卷不公平。所以根据假设1-试卷质量的均匀性，即当试卷数量较多时，分配到每名评委的试卷的质量近似均匀，不存在一名评委一直评阅优秀试卷而另一名评委一直评阅差试卷的情况。一份试卷在其所在的子模块内的排名位置可以反映其在全部试卷中
31、的排名位置，即优势等价性原则，而判断一份试卷的位置需要一个参数：定义试卷优势度，其中表示第j份试卷的最终成绩，表示改试卷所在子模块的所有试卷分数平均值。越大，第j份试卷在其所在子模块的优势越大，可以认为在整体试卷中的优势也越大，这样以之为排名标准参数，即可得到试卷的最好真实排名。反评判问题的评委排名 根据问题3所建立的模型可知，每个评委在其所在的子模块内都有一个评判其公平性的参数，越小，该评委评分水平越高，即公平性越好。其中=，第位评委给份试卷评了分，从而对应个值， ，考虑到试卷本身的影响，我们不能直接用该参数对所有评委进行排名。类比问题（1）的思想，定义评委评分不公平度其中，表示第i个评委的
32、公平性参数，为地i位评委所在子模块所有评委公平性参数的平均值。所以越大，该评委在该子模块中相对于其他评委的不公平度越大，根据假设ii，即可认为相对于所有评委，该评委的不公平度越大。三、模型的分析与推广该竞赛评卷体系模型在试卷评阅过程中具有广泛的应用。在试卷分配时，我们建立了一个试卷合理均衡分配方案的数学模型，使各评委阅卷工作量均衡，试卷分配均衡分散。在遵循各位评委阅卷广泛的前提下，有效地回避了本校答卷，满足了经济、公平的要求。考虑到竞赛的公平性和评委视角的差异，我们建立了公平性的检验公式和试卷评分的调整方案，有利于进行监督，提高阅卷的公平性。考虑到公正性备受关注，因此我们尽量做到客观、公正。首
33、先我们先建立一个评价评委评分公平性的模型，然后对评委的评分做出客观的评价，最后对“不公平”的评分根据调整公式确定试卷的最终分数。此模型基本上排除了评委们的主观影响，保证了试卷评阅的公平性。本竞赛评卷系统模型不仅可以用于数学建模竞赛，还可用于各类歌咏比赛、体育比赛等竞赛活动。如果对模型稍加改进，还可以用于教师、公司员工的绩效考核。四、参考文献【1】 路宁宁 葛庆平 陈燕雷 李洪琪 研究生入学面试成绩无偏处理模型的构建 ，高等理科教育，2007年第5期(总第75期)【2】 李平平 竞赛中的公平性分析，天津理工学院学报，2003，第19卷第3期【3】 王福保，等 概率论与数理统计，同济大学出版社，1
34、994年【4】 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型（第三版），高等教育出版社，2004五、附录附录1.1取p=3；假设第i评委来自第i个学校得到结果如下表，其中第一行为评委编号第i列表示第i位评委分到的试卷编号，试卷编号规则：编号除以100取整表示来自的学校，个位和十位表示在所在学校的第n份试卷。123456789101112131415162171021131031011011021091061121011031061101141022211051141151071031041171081201041041241121161072221061151161131051141221111221051
35、101261151201112271071251171181081191241181251111241281161231212281081261191341091231281301271131391351171351252291091271271401121291321331371181631391201361292321101281311421191341381401411221651431211401322331211291361471311481411411491261661471231421372341391301371501361501441441501311671481301431
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