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1、第,18,课时,特殊三角形,考点一,等腰三角形,课前双基巩固,考,点,聚,焦,定义,有,相等的三角形叫做等腰三角形,.,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫,做顶角,腰和底边的夹角叫做底角,性质,轴对称性,等腰三角形是轴对称图形,有,条对称轴,定理,1,等腰三角形的两个底角相等,(,简称,),定理,2,等腰三角形的顶角平分线、底边上的,、底边上的高重合,(,简称三线合一,),判定,(1),在,ABC,中,AB=AC,?,ABC,是等腰三角形,(,定义,);,(2),在,ABC,中,B=,C,?,ABC,是等腰三角形,两边,1,等边对等角,中线,考点二,等边三角形,课前双基巩固,定义,
2、三边都相等的三角形叫做等边三角形,性质,(1),等边三角形的三个角都,并且每一个角都等于,;,(2),等边三角形是轴对称图形,有,条对称轴,判定,(1),三个角都相等的三角形是等边三角形,;,(2),有一个角等于,60,的等腰三角形是等边三角形,相等,60,3,考点三,直角三角形,课前双基巩固,定义,有一个角等于,的三角形叫做直角三角形,性质,(1),直角三角形的两个锐角互余,;,(2),在直角三角形中,30,角所对的直角边等于,;,(3),直角三角形斜边上的中线等于,判定,(1),如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形,;,(2),一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角
3、三角形,拓展,(1),S,Rt,ABC,=,1,2,ch=,1,2,ab,其中,a,b,为两直角边,c,为斜边,h,为斜边上的高,;(2)Rt,ABC,的内切圆半径,r=,a+b,-,c,2,外接,圆半径,R=,c,2,即外接圆半径等于斜边的一半,90,斜边的一半,斜边的一半,考点四,勾股定理及其逆定理,课前双基巩固,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为,a,b,斜边为,c,那么,勾股定理的,逆,定理,逆定理,如果三角形的三边,a,b,c,满足,那么这个三角形是直角三角形,用途,(1),判断某三角形是不是直角三角形,;(2),证明两条线段垂直,;(3),解决生活中的实际问题,勾股数,能构成直
4、角三角形的三条边长的三个正整数,称为勾股数,a,2,+b,2,=c,2,a,2,+b,2,=c,2,课前双基巩固,对,点,演,练,题组一,必会题,1,.,已知等腰三角形的一个底角的度数为,70,则另外两个内角的度数分别是,(,),A,.,55,55,B,.,70,40,C,.,55,55,或,70,40,D,.,以上都不对,2,.,若等腰三角形的两边长分别为,4 cm,和,8 cm,则它的周长为,(,),A,.,16 cm,B,.,17 cm,C,.,20 cm,D,.,16 cm,或,20 cm,B,C,课前双基巩固,3,.,下列四组线段中,能构成直角三角形的是,(,),A,.a=,1,b=
5、,2,c=,3,B,.a=,2,b=,3,c=,4,C,.a=,2,b=,4,c=,5,D,.a=,3,b=,4,c=,5,4,.,如图,18,-,1,线段,AC,的垂直平分线交线段,AB,于点,D,A=,50,则,BDC=,(,),A,.,50,B,.,100,C,.,120,D,.,130,5,.,在,Rt,ABC,中,已知,C=,90,A=,30,BC=,2,则,AC=,.,图,18-1,D,B,2,3,课前双基巩固,题组二,易错题,6,.,某等腰三角形的三边长分别为,x,3,2,x-,1,则该三角形的周,长为,.,【失分点】,求解等腰三角形的有关问题忘记分类讨论,;,分类讨论,时忘记三
6、角形三边关系;“三线合一”与腰上的高、中线混,淆,;,等腰三角形或等边三角形的判定方法选择有误,.,答案,11,或,8,解析,当,x=,3,时,此时,2,x-,1,=,5,3,+,3,5,能,组成三角形,此时三角形的周长为,3,+,3,+,5,=,11;,当,x=,2,x-,1,时,此时,x=,1,1,+,1,3,不能组成三,角形,;,当,2,x-,1,=,3,时,此时,x=,2,3,+,2,3,能组成三角,形,此时三角形的周长为,3,+,3,+,2,=,8,.,综上,三角形的周长为,11,或,8,.,课前双基巩固,7,.,如图,18,-,2,所示,在,ABC,中,AB=AC,BD,AC,垂足
7、为,D,A,=,40,则,DBC=,.,图,18,-,2,答案,20,解析,在,ABC,中,AB=AC,A=,40,ABC=,ACB=,(180,-,40,),2,=,70,.,又,BD,AC,DBC=,90,-,ACB=,90,-,70,=,20,.,课前双基巩固,8,.,如图,18,-,3,ABC,中,ACB=,90,B=,30,AD,平分,CAB,DE,AB,于点,E,连接,CE,交,AD,于点,H,则图中的等腰三角形,有,个,.,图,18,-,3,答案,4,解析,ACB=,90,B=,30,BAC=,60,AD,是角平分线,CAD=,BAD=,30,AD=BD.,ABD,是等腰三角形,
8、.,AD,是角平分线,ACB=,90,DE,AB,CD=ED,AC=AE,CDE,ACE,是等,腰三角形,.,又,CEB,也是等腰三角形,显然,图中有,4,个等腰三角形,.,高频考向探究,探究一,与等腰三角形有关的计算,例,1,(1),2018,宿迁,若实数,m,n,满足等式,|m-,2,|+,?,-,4,=,0,且,m,n,恰好是等腰三角形,ABC,的两条边的边长,则,ABC,的周长是,(,),A,.,12,B,.,10,C,.,8,D,.,6,答案,B,解析,|m-,2,|+,?,-,4,=,0,m-,2,=,0,n-,4,=,0,解得,m=,2,n=,4,.,当,m=,2,作腰时,三边为
9、,2,2,4,不符合三边关系定理,;,当,n=,4,作腰时,三边,为,2,4,4,符合三边关系定理,周长为,2,+,4,+,4,=,10,.,课前双基巩固,例,1,(2),2018,成都,等腰三角形的一个底角为,50,则它的顶角的度数为,.,80,方法模型,在等腰三角形中进行边或角的计算时,往往要分类讨论,:,当等腰三角形的边不确定时,要利用三,边关系确定腰或底,;,当等腰三角形的角不确定时,要利用三角形的内角和来确定顶角和底角,.,高频考向探究,拓考向,1.,等腰三角形的周长为,16,其一边长为,6,那么它的底边,长为,(,),A.4,或,6,B.4,C.6,D.5,答案,A,解析,此题分为
10、两种情况,:6,是等腰三角,形的底边或,6,是等腰三角形的腰,.,然后进,一步根据三角形的三边关系分析能否构,成三角形,.,当腰为,6,时,则底边为,4,此时三,边满足三角形三边关系,;,当底边为,6,时,则,另两边长为,5,5,此时三边满足三角形三边,关系,.,故选,A.,高频考向探究,2.,如果等腰三角形的一个外角为,140,那么底角为,(,),A.40,B.60,C.70,D.40,或,70,答案,D,解析,题目没有明确此外角的位置,要分,这个外角的邻补角是顶角和底角两种情,况讨论.外角为,140,与它相邻的内角,是,180,-140,=40,.(1),当,40,是顶角时,底,角是,(1
11、80,-40,),2=70,;(2),当,40,是底角,时,底角是,40,.,故选,D.,高频考向探究,3,.,2018,绍兴,数学课上,张老师举了下面的例题,:,例,1,等腰三角形,ABC,中,A=,110,求,B,的度数,.,(,答案,:35,),例,2,等腰三角形,ABC,中,A=,40,求,B,的度数,.,(,答案,:40,或,70,或,100,),张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题,:,变式,等腰三角形,ABC,中,A=,80,求,B,的度数,.,(1),请你解答以上的变式题,.,(2),解,(1),后,小敏发现,A,的度数不同,得到,B,的度数的个数也,可能不同,.,如果在
12、等腰三角形,ABC,中,设,A=x,当,B,有三个不,同的度数时,请你探索,x,的取值范围,.,解,:(1),当,A,为顶角时,B=,50,当,A,为底角时,若,B,为顶角,则,B=,20,若,B,为底角,则,B=,80,B=,50,或,20,或,80,.,高频考向探究,3,.,2018,绍兴,数学课上,张老师举了下面的例题,:,例,1,等腰三角形,ABC,中,A=,110,求,B,的度数,.,(,答案,:35,),例,2,等腰三角形,ABC,中,A=,40,求,B,的度数,.,(,答案,:40,或,70,或,100,),张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题,:,变式,等腰三角形,ABC
13、,中,A=,80,求,B,的度数,.,(2),解,(1),后,小敏发现,A,的度数不同,得到,B,的度数的个数也,可能不同,.,如果在等腰三角形,ABC,中,设,A=x,当,B,有三个不,同的度数时,请你探索,x,的取值范围,.,(2),分两种情况,:,当,90,x,180,时,A,只能为顶角,B,的度数只有一个,.,当,0,x,90,时,若,A,为顶角,则,B=,180,-,?,2,若,A,为底角,则,B=x,或,B=,(180,-,2,x,),当,180,-,?,2,180,-,2,x,且,180,-,?,2,x,且,180,-,2,x,x,即,x,60,时,B,有三个不同的度数,.,综上
14、,当,0,x,90,且,x,60,时,B,有三个不同,的度数,.,高频考向探究,探究二,等腰三角形的性质与判定,6,年,3,考,例,2,2017,北京,如图,18,-,4,在,ABC,中,AB=AC,A=,36,BD,平分,ABC,交,AC,于点,D.,求证,:,AD=BC.,图,18,-,4,证明,:,AB=AC,A=,36,ABC=,C=,1,2,(180,-,A,),=,1,2,(180,-,36,),=,72,.,又,BD,平分,ABC,ABD=,DBC=,1,2,ABC=,1,2,72,=,36,BDC=,A+,ABD=,36,+,36,=,72,C=,BDC,A=,ABD,AD=B
15、D=BC,即,AD=BC.,高频考向探究,方法模型,等腰三角形是轴对称图形,它的定义既可以作为性质,又可以作为判定方法,.,要证明一个三角,形是等腰三角形必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有,:(1),通过等角对等边得到两边相等,;,(2),通过三角形全等得到两边相等,;(3),利用垂直平分线的性质得到两边相等,.,高频考向探究,明考向,1,.,2017,河北,10,题,如图,18,-,5,码头,A,在码头,B,的正西方向,甲、乙两船分别从,A,B,同时出发,并以等速驶向,某海域,甲的航向是北偏东,35,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是,(,),A,.,北偏东,55,B,.,北
16、偏西,55,C,.,北偏东,35,D,.,北偏西,35,D,图,18-5,高频考向探究,2,.,2013,河北,8,题,如图,18,-,6,一艘海轮位于灯塔,P,的南偏东,70,方向的,M,处,它以每小时,40,海里的速度向正北方向航行,2,小时后到达位于灯塔,P,的北偏东,40,的,N,处,则,N,处与灯塔,P,的距离为,(,),A,.,40,海里,B,.,60,海里,C,.,70,海里,D,.,80,海里,答案,D,解析,由题意知,MN=,2,40,=,80(,海里,),.,M=,70,N=,40,NPM=,180,-,M-,N=,180,-,70,-,40,=,70,NPM=,M,NP=
17、MN=,80,海里,.,故选,D,.,图,18-6,高频考向探究,3,.,2014,河北,23(2),题,如图,18,-,7,在,ABC,中,AB=AC,BAC,=,40,将,ABC,绕点,A,按逆时针方向旋转,100,得到,ADE,连,接,BD,CE,交于点,F.,求,ACE,的度数,.,图,18,-,7,解,:,ABC,绕点,A,按逆时针方向旋转,100,得到,ADE,AC=AE,CAE=,100,ACE=,1,2,(180,-,CAE,),=,1,2,(180,-,100,),=,40,.,高频考向探究,探究三,等边三角形的性质与判定,6,年,1,次单独考,1,次涉及,例,3,如图,18
18、,-,8,O,是等边三角形,ABC,内的一点,AOB=,110,BOC=.,将,BOC,绕点,C,按顺时针方向旋转,60,得,ADC,连接,OD.,(1),求证,:,COD,是等边三角形,;,(2),当,=,150,时,试判断,AOD,的形状,并说明理由,;,(3),探究,:,当,为多少度时,AOD,是等腰三角形,?,图,18-8,解,:(1),证明,:,ADC,是由,BOC,旋转所得,BOC,ADC,OC=CD.,又,OCD=,60,COD,是等边三角形,.,高频考向探究,例,3,如图,18,-,8,O,是等边三角形,ABC,内的一点,AOB=,110,BOC=.,将,BOC,绕点,C,按顺
19、时针方向旋转,60,得,ADC,连接,OD.,(2),当,=,150,时,试判断,AOD,的形状,并说明理由,;,图,18-8,(2),AOD,是直角三角形,.,理由,:,COD,是等边三角形,COD=,CDO=,60,.,AOB+,BOC+,COD+,AOD=,360,且,AOB=,110,BOC=,150,AOD=,40,.,由,(1),知,ADC=,BOC=,150,ADO=,ADC-,CDO=,150,-,60,=,90,AOD,是直角三角形,.,高频考向探究,例,3,如图,18,-,8,O,是等边三角形,ABC,内的一点,AOB=,110,BOC=.,将,BOC,绕点,C,按顺时针方
20、向旋转,60,得,ADC,连接,OD.,(3),探究,:,当,为多少度时,AOD,是等腰三角形,?,图,18-8,(3),AOD=,360,-,AOB-,BOC-,COD=,360,-,110,-,-,60,=,190,-,ADO=,ADC-,CDO=,-,60,OAD=,180,-,ADO-,AOD=,180,-,(,-,60,),-,(190,-,),=,50,.,若,ADO=,AOD,则,-,60,=,190,-,解得,=,125,;,若,ADO=,OAD,则,-,60,=,50,解得,=,110,;,若,OAD=,AOD,则,50,=,190,-,解得,=,140,.,当,=,125,
21、或,110,或,140,时,AOD,是等腰三角形,.,高频考向探究,明考向,2016,河北,16,题,如图,18,-,9,AOB=,120,OP,平分,AOB,且,OP=,2,.,若点,M,N,分别在,OA,OB,上,且,PMN,为等边,三角形,则满足上述条件的,PMN,有,(,),A,.,1,个,B,.,2,个,C,.,3,个,D,.,3,个以上,图,18-9,高频考向探究,答案,D,解析,如图,在,OA,OB,上截取,OE=OF=OP,作,MPN=,60,.,OP,平分,AOB,EOP=,POF=,60,OP=OE=OF,OPE,OPF,是等边三角形,EP=OP,EPO=,OEP=,PON
22、=,MPN=,60,EPM=,OPN,在,PEM,和,PON,中,?,=,?,?,=,?,?,=,?,PEM,PON,PM=PN,MPN=,60,PNM,是等边三角形,只要,MPN=,60,PNM,就是等边三角形,故这样的三角形有无数个,.,故选,:D,.,高频考向探究,探究四,直角三角形的性质,【方法指导】,熟知并掌握直角三角形的性质,尤其是直角三角形中,30,角所对的直角边等于斜边的一半和直角三,角形的斜边上的中线等于斜边的一半,.,若题目中出现含有,30,角的直角三角形,要想到,30,角所对的直角,边等于斜边的一半,.,高频考向探究,例,4,在等腰三角形,ABC,中,AD,BC,交直线,
23、BC,于点,D,若,AD=,1,2,BC,则,ABC,的顶角的度数为,.,答案,30,或,90,或,150,解析,分两种情况,:(1),BC,为腰,;(2),BC,为底,.,(1),当,BC,为腰时,设,BC=AC.,AD,BC,于点,D,AD=,1,2,BC,AD=,1,2,AC,ACD=,30,.,如图,若,AD,在,ABC,内部,则顶角,C=,30,.,如图,若,AD,在,ABC,外部,则顶角,ACB=,180,-,30,=,150,.,(2),当,BC,为底时,如图,AD,BC,于点,D,AD=,1,2,BC,AD=BD=CD,B=,BAD,C=,CAD,BAD+,CAD=,1,2,1
24、80,=,90,顶角,BAC=,90,综上所述,等腰三角形,ABC,的顶角度数为,30,或,90,或,150,.,高频考向探究,明考向,2016,河北,19,题节选,如图,18,-,10,已知,AOB=,7,一条光线,从点,A,发出后射向,OB,边,.,若光线与,OB,边垂直,则光线沿原路,返回到点,A,此时,A=,90,-,7,=,83,.,当,A,83,时,光线射到,OB,边上的点,A,1,后,经,OB,反射到线段,AO,上的点,A,2,易知,1,=,2,.,若,A,1,A,2,AO,光线又会沿,A,2,A,1,A,原路返回到点,A,此时,A=,.,图,18,-,10,答案,76,解析,A
25、,1,A,2,AO,AOB=,7,1,=,2,=,90,-,7,=,83,AA,1,A,2,=,180,-,83,-,83,=,14,A=,90,-,AA,1,A,2,=,76,.,高频考向探究,探究五,勾股定理及其逆定理的应用,例,5,(1),2018,大连模拟,如图,18,-,11,将,ABC,放在正方形网,格图中,(,图中每个小正方形的边长均为,1),点,A,B,C,恰好在网,格图中的格点上,那么,ABC,中,BC,边上的高是,(,),A,.,10,2,B,.,10,4,C,.,10,5,D,.,5,答案,A,解析,根据图形可得,:,AB=AC=,1,2,+,2,2,=,5,BC=,1,
26、2,+,3,2,=,10,得出,BAC=,90,.,设,ABC,中,BC,边上的高是,x,则,AC,AB=,BC,x,即,5,5,=,10,x,解得,x=,10,2,.,故选,A,.,图,18-11,高频考向探究,例,5,(2),2017,十堰,如图,18,-,12,已知圆柱的底面直径,BC=,6,高,AB=,3,小虫在圆柱表面爬行,从点,C,爬到点,A,然后再沿另,一面爬回点,C,则小虫爬行的最短路程为,(,),A,.,3,2,B,.,3,5,C,.,6,5,D,.,6,2,答案,D,解析,要求最短路程,首先要把圆柱的侧,面展开,展开图如图所示,点,A,C,的最短距离,为线段,AC,的长,.
27、,在,Rt,ADC,中,ADC=,90,CD=AB=,3,AD,为底面半圆弧长,AD=,3,AC=,3,2,从点,C,爬到点,A,然后再沿另,一面爬回点,C,则小虫爬行,的最短路程为,2,AC=,6,2,.,图,18-12,高频考向探究,方法模型,在直角三角形中求边的长度时,勾股定理是最常用的方法之一,若已知两边求一边,直接利用,勾股定理即可,;,若已知一边求其他两边,需指明三边之间存在的另一个数量关系,然后利用勾股定理求值,或构建方程求解,.,证明一个三角形为直角三角形,可以证明一个内角等于,90,也可以利用勾股定理的逆定,理进行证明,.,高频考向探究,拓考向,2018,荆门,如图,18,-
28、,13,在,Rt,ABC,中,ACB=,90,BAC=,30,E,为,AB,边的中点,以,BE,为边作等边三角形,BDE,连接,AD,CD.,(1),求证,:,ADE,CDB,;,(2),若,BC=,3,在,AC,边上找一点,H,使得,BH+EH,最小,并求出这,个最小值,.,图,18,-,13,解,:(1),证明,:,在,Rt,ABC,中,BAC=,30,E,为,AB,边的中点,BC=EA,ABC=,60,.,DEB,为等边三角形,DB=DE,DEB=,DBE=,60,DEA=,120,DBC=,120,DEA=,DBC,ADE,CDB.,高频考向探究,2018,荆门,如图,18,-,13,
29、在,Rt,ABC,中,ACB=,90,BAC=,30,E,为,AB,边的中点,以,BE,为边作等边三角,形,BDE,连接,AD,CD.,(2),若,BC=,3,在,AC,边上找一点,H,使得,BH+EH,最小,并求出这个最小值,.,图,18,-,13,高频考向探究,(2),如图,作点,E,关于直线,AC,的对称点,E,连接,BE,交,AC,于点,H.,则点,H,即为符合条件的点,.,由作图可知,:,EH+BH=BE,AE=AE,EAC=,BAC=,30,EAE=,60,EAE,为等边三角形,EE=EA=,1,2,AB,AEB=,90,.,在,Rt,ABC,中,BAC=,30,BC=,3,AB=,2,3,AE=AE=,3,BE=,?,2,-,?,2,=,(,2,3,),2,-(,3,),2,=,3,BH+EH,的最小值为,3,.,
