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1、,12.3,质心运动定理,一、质量中心,质点系在力的作用下，其运动状,态与各质点的质量及其相互的位,置都有关系，即与质点系的质量,分布状况有关。,1.,定义：,（,12.10,）,由式,(12.10),所定义的质心位置反映出质点系质量分布的一种,特征质心的概念及其运动在质点系（,特别是刚体,）动力学中,具有重要地位。,m,m,i,i,c,?,?,r,r,2.,质心的力学意义,若质点系中各质点的质量相等，则：,1/,n,与,i,无关，为公因子。,式中,:,r,i,系数,1,/n,表示第,i,个质点的质量在质点系质量中,所占的比例，质心的矢径,r,c,即为各质点的平均矢径。,1,2,.,.,n,c
2、,m,m,m,m,m,m,?,?,?,?,?,?,?,r,r,r,r,（,12.11,）,1,2,.,1,n,i,n,n,?,?,?,?,?,?,r,r,r,r,m,m,i,i,c,?,?,r,r,若质点系中各质点的质量不相等。则有：,i,c,i,m,r,r,m,?,?,r,i,的系数表示第,i,个质点的质量在质点系的质量所占,的比例，质心的矢径,r,c,为即为各质点,按,其质量在质点系质,量中所占的比例,的平均位置。,质心的作用,由讨论可见，质心的位置与质点系中的质量分布状况,有关，它在一定程度上反映了质点系的质量分布状况，所,以质心的概念是动力学的重要概念之一。,（,12.12,）,(12
3、.13),i,i,i,i,i,i,C,C,C,m,x,m,y,m,z,x,y,z,m,m,m,?,?,?,?,?,?,质心的坐标,计算质心位置时，常用上式在直角坐标系的投影形式，即,式中,m,i,点为第,i,个质点的质量，,x,i,、,y,i,、,z,i,，第,i,个质点的位置坐标，,m,为质点系的质量。,质心是质点系中特定的一个点，,质点系运动，质心也在运动。,可见，如果把质点系的质量都集中于质,心做为一个质点，那么此质点的动量,就等于质点系的动量，可见质心运动,具有特殊意义。,(12.10),i,c,i,m,r,r,m,?,?,可见物体在重力场中运动,时，重心与质心相重合。但,应当注意，质
4、心与重心是两,个不同的概念。,质心与重心的比较：,若将上列各式等号右端的分子与,分母同乘以重力加速度,g,，就得到,质点系的重心坐标公式。,重心仅在质点系受到重力作用（,即在地球表面附近,）时才存在，,而质心则与质点系是否受到重力作用无关，它随质点系的存,在而存在。因此，质心概念的适用范围远较重心广泛。,i,i,i,i,i,i,C,C,C,m,x,m,y,m,z,x,y,z,m,m,m,?,?,?,?,?,?,（,12-13,）,或,2,、质心速度,质心,C,的运动速度可根据式（,12.10,）导出：,i,i,C,C,m,d,dt,m,m,?,?,?,?,v,r,p,v,c,i,i,m,m,?
5、,?,v,v,式（,12.15,）为计算质点系动量的简便方法。,由上式可知，不论质点如何运动，在计算质点系的动量,时均可不考虑其中每一质点的速度，而只需知道质点系,的质量和质心的速度就足够了。,（,12.14,）,c,i,i,m,m,?,?,p,=,v,v,（,12.15,）,(12.10),i,i,C,m,m,?,?,r,r,设其角速度为,w,，质心,C,至转轴,的距离为,e,，则由式（,12.15,）可知，,此刚体动量的大小为,例如绕定轴转动的刚体，,c,i,i,m,m,?,?,p,=,v,v,c,p,mv,me,?,?,=,显然，当刚体质心位于转轴上时，,则不论转动角速度多大，其动量恒,
6、等于零。,3,、质心加速度,将式（,12.14,）对时间求导，得：,C,C,d,dt,?,v,a,(12.17),c,i,i,m,m,?,?,?,?,e,i,a,a,F,d(,),d(,),d,d,d,d,i,i,C,m,m,t,t,t,?,?,?,v,v,p,(12.14),i,i,C,C,m,d,dt,m,m,?,?,?,?,v,r,p,v,c,m,p,=,v,二、质心运动定理,上式表明，质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用,于质点系外力的矢量和。,同时指出：内力不能改变质心的运动。,e,e,C,i,i,i,R,m,m,?,?,?,?,?,a,a,F,F,形式上，,质心运动定理,与,质点
7、的动力学基本方程,完全相,似，因此质心运动定理也可叙述如下：,（,12.17,）,质点系质心的运动，犹如一个质点的运动，此质点的质,量等于整个质点系的质量，且作用于此质点上的力等于作用,于整个质点系上的外力的矢量和。,质心运动定理在坐标轴上投影：,e,c,x,e,c,y,e,c,z,mx,F,my,F,mz,F,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,质点系质量与质心加速度在某一轴上的投影的乘积,等于质点系所受外力的主矢量在同一轴上的投影，该式,称为投影形式的质心运动定理。,实际应用时，可采用投影形式。,c,i,i,m,m,?,?,?,?,e,i,a,a,F,（,12.18,）,（,12.
8、17,）,如果,三、质心运动守恒,c,i,i,m,m,?,?,?,?,e,i,a,a,F,如果作用于质点系的所有外力在某一轴上投影的代数和,恒等于零。则质心沿该轴的坐标保持不变。,以上结论，称为质心运动守恒定律。,0,?,e,R,F,0,c,m,?,a,cont,c,?,则,v,则质心作匀速直线运动；,若开始静止，则质心位置始终保持不变。,注意：,只有外力才影响质心的运动，内力不影响质心运动，,且没有外力时，质心运动守恒，原为静止的质点系保持静,止。,如汽车在光滑路面上发动，如果路面没有摩擦力，,则轮子空转不动，即轮心不向前运动，必须要有外力才,能使其运动。,有很多实例都可用来说明质心的运动完
9、全取决于作用,在质点系上的外力而与内力无关。,例如，人在完全没有摩擦的光滑路面上行走是不可能的；,汽车开动时，发动机汽缸内的燃气压力对汽车整体来说是,内力，不能使车子前进，只是当燃气推动活塞，通过传动,机构带动主动轮转动，地面对主动轮作用了向前的摩擦力，,而且这个摩擦力大于总的阻力时，汽车才能前进。,例,3,设有一电动机用螺旋栓固定在水平地面上，如图，,电动机外壳连同定子的质量为,m,1,，它们的质心为,c,1,，在转子,的轴线上，转子的质量为,m,2,。,由于制造不够精确，因而其,质心与转子轴线相距为,e,，,试求当电动机以匀角速度,转动时，螺旋栓所受的水平,剪力和地面的铅垂反力。,解：（,
10、1,）研究整个电动机,看作一个整体，受力分析如图：,作用于质心上的外力有：,重力,m,1,g,、,m,2,g,；,螺栓的约束反力,R,x,、,R,y,。,R,y,R,x,2,g,1,m,m,g,y,e,c,c,1,c,x,2,t,（,2,）建立静坐标如图：电动机质心,C,的方程为：,1,1,2,2,2,2,1,2,1,2,1,1,2,2,2,2,1,2,1,2,c,c,m,x,m,x,m,x,x,m,m,m,m,m,y,m,y,m,y,y,m,m,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,式中：,x,1,=y,1,=0,，是外壳与定子的质心,c,1,的坐标；,x,2,、,y,2,是转子,
11、c,2,的坐标。,设初瞬时，,c,2,位于,x,轴上，经过时间,t,后，转角,t,，,于是有：,2,2,cos,sin,x,e,t,y,e,t,?,?,?,?,（,1,）,（,2,）,R,y,R,x,2,g,1,m,m,g,y,e,c,c,1,c,x,2,t,2,2,cos,sin,x,e,t,y,e,t,?,?,?,?,(3),代入质心坐标公式得,质心,c,的运动方程：,2,1,2,2,1,2,cos,sin,c,c,m,x,e,t,m,m,m,y,e,t,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,2,1,2,c,c,m,x,m,y,x,y,m,m,m,
12、m,?,?,?,?,；,（,1,）,（,2,）,（,3,）,R,y,R,x,2,g,1,m,m,g,y,e,c,c,1,c,x,2,t,2,2,1,2,2,2,1,2,cos,sin,c,c,m,x,e,t,m,m,m,y,e,t,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,将质心,c,的运动方程等式两端微分得：,2,1,2,2,1,2,cos,sin,c,c,m,x,e,t,m,m,m,y,e,t,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,（,3,）,（,4,）,R,y,R,x,2,g,1,m,m,g,y,e,c,c,1,c,x,2,t,(4
13、),质心运动微分方程：,?,?,?,?,2,1,2,2,2,1,2,2,1,2,cos,sin,c,x,c,y,m,m,x,m,e,t,R,m,m,y,m,e,R,m,g,m,g,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,从而可得到：,2,2,2,1,2,2,cos,sin,x,y,R,m,e,t,R,m,g,m,g,m,e,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,2,2,2,1,2,cos,sin,c,c,m,x,e,t,m,m,m,y,e,t,m,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,R,y,R,x,2,g,1
14、,m,m,g,y,e,c,c,1,c,x,2,t,2,2,2,1,2,2,cos,sin,x,y,R,m,e,t,R,m,g,m,g,m,e,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,R,x,是螺栓给电动机的水平动反力，它与电动机的角速,度有关，而电动机给螺栓的剪力则与,R,x,等值反向。,R,y,电动机在铅垂方向上所受的全反力，,当,R,y,0,时，其方向向上，它来自地面；,当,R,y,0,时，其方向向下，故知它必来自螺栓拉力，这,时电动机有跳离地面的趋势所以地面未受压而不会给电,动机反力。,R,y,R,x,2,g,1,m,m,g,y,e,c,c,1,c,x,2,t,通过本例可知，由于机器,上
15、转子的质心不在转轴上，质,心的位置要随时间而改变，因,而，基座就受到了周期性压力,的作用。,这种随时间而作周期性变化的动压力往往引起基座,的振动，以至影响机器的正常工作或损坏其零件。,为防止这种现象发生，在机器的设计和安装中必须尽可能,地使其转动部分的质心位于转轴，以便减小基座所受的动压力。,R,y,R,x,2,g,1,m,m,g,y,e,c,c,1,c,x,2,t,习题,12.19,均质杆,AB,，长,2L,，铅直地静置于光滑,水平面上受到微小扰动后，无初速地倒下。求杆,AB,在,倒下过程中，点,A,的轨迹方程。,C,N,B,B,mg,x,C,y,A,A,o,F,解：以均质杆,AB,为研究对
16、象，并以杆,AB,铅直时的,轴线为,y,轴，建立图示坐标系。,AB,杆倒下过程中所受外力,有：重力,mg,，光滑水平面的法向反力,F,N,，,杆在倒下的过程中有：,0,e,ix,e,Rx,?,?,?,F,F,即质点系动量在,x,方向上守恒，,0,?,?,c,co,x,x,C,N,B,B,mg,x,C,y,A,A,o,F,又：,t=0,时杆处于静止,故质心运动在,x,方向上守,恒，有：,设任一瞬时，杆,AB,与,x,轴的夹角为，则有：,?,?,sin,2,cos,L,y,L,x,A,A,?,?,所以点,A,的轨迹方程为：,1,4,2,2,2,2,?,?,L,y,L,x,A,A,即：,A,点沿椭圆
17、轨迹运动。,C,N,B,B,mg,x,C,y,A,A,o,F,0,?,?,c,co,x,x,0,0,0,x,t,p,?,?,例,1,：水平光滑直线轨道上,有一小车，车上站立一人。设小,车重,W,，人重,Q,，开始系统静止。,若人在小车上走动，,解：,以人和小车为质点系，受力如图,运动分析：,t=0,时系统静止；,1,N,2,N,W,Q,v,r,v,由受力分析可知,0,cont,e,ix,x,F,p,?,?,?,?,可知,x,y,o,某瞬时人相对小车的速度为,v,r,，试求此时的车速,v,？,t,时刻：车,v,，人,v,+,v,r,0,0,0,x,t,p,?,?,车重,W,，人重,Q,，某瞬时人
18、相对小,车的速度为,v,r,，试求此时的车速,v,？,t=0,时系统静止；,t,：车,v,，人,v+v,r,1,N,2,N,W,Q,v,r,v,0,cont,e,ix,x,F,p,?,?,?,?,可知,?,?,0,xt,r,Q,W,p,v,v,v,g,g,?,?,?,?,?,x,y,o,?,?,r,Q,v,v,Q,W,?,?,?,?,解得：,（静止）,例,12.7,浮动起重机的,质量,m,1,20000kg,，吊起质,量为,m,2,2000kg,的重物，,求当吊杆,AB,由铅垂线,成,60,度角的位置转到与铅,垂线成,30,度角的位置时，,起重机的水平位移。,吊杆长,AB,8m,，吊杆,重量及水的阻力均不计，又,系统原为静止。,x,y,1,m,g,2,c,m,2,F,m,1,c,1,g,g,A,30,S,d,F,2,c,d,1,c,g,2,m,A,60,
