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1、单元,2,建筑形体的投影,?,2.1,投影的基本知识,?,2.2,点线面的投影,?,2.3,体的投影,?,2.4,剖面图和断面图,单元,2,建筑形体的投影,1,了解投影的基本知识，掌握三面投影图；,2,掌握点的投影、直线的投影和平面的投影；,3,掌握形体上点线的投影；,4,掌握剖面图断面图的画法。,2.1,投影的基本知识,?,投影原理是绘制投影的基础。建筑,工程中所用的图样，都是用投影的,方法绘制出来的。,1,、投影概念,投影,(Projecting),就如我们日常生活中常见的一个现象,:,利用光线将物体的影子投射到墙壁上。,这时把光源当成人的眼睛（,投影中心,）,把球当成被投影,的物体（,形
2、体,）,;,把光线当成视线（,投影线,）,;,把平的墙壁,当成投影面,;,最后墙壁上的影子就是球的投影。,投射中心,投射线,投影,投影面,2,、投影法分类,中心投影,投影法,斜投影,平行投影,正投影,中心投影法,投射线都从投影中心出发，在投影面上作出物体,投影的方法叫做,中心投影法,。,特点,：投影的大小与形体离投影中心的距离有关。,平行投影法,用相互平行的投射线，在投影面上作出物体,投影的方法叫做,平行投影法,。,斜投影,投射线倾斜于投影面的投影方法,叫斜投影,。,（,a),斜投影,正投影,投射线垂直于投影面的投影方法叫,正投影,。,（,b),正投影,小结：投影法分类,中心投影,投影影线集中
3、一,点,S,投影法,平行投影,投影方向,倾斜,投影面时,斜投影,所作出形体的,平行投影,投影方向,垂直于,投影面,正投影,时所作出形体的,平行投,影,3,、工程常用的投影,透视投影,?,轴测投影,?,正投影,?,标高投影,?,透视投影图,按中心投影法画出的单面投影面。,优点,：图形逼真，直观性强。,缺点,：作图复杂，形体,的尺寸不能直接在图中,度量，故不能作为施工,依据，仅用于建筑设计,方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。,轴测投影图,用平行投影法画出的投影图,（立体图），,画图时只需一个投影面。,优点,：立体感强，非常直观,缺点,：作图较繁，表面形状在,图中往往失真，度量性差，只,能作为工程
4、上的辅助图样。,正投影图,采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，按正投,影方法在每个投影面上分别获得同一物体的正投,影，然后按规则展开在一个,平面上，便得到物体的多面,正投影图。,优点,:,是作图较其他图示法,简便，便于度量，工程上,应用最广，但缺乏立体感。,标高投影图,标高投影,是一种带有数字标记的单面正投影。在建筑工程上，,常用它来表示地面的形状，作图时，用一组等距离的水平面切,割地面，其交线为等高线。将不同高程的等高线投影在水平的,投影面上，并注出各等高线的高程，即为等高线图，也称标高,投影图。,4,、平行投影的特性,1.,同素性：,直线的投影,一般情况,下还是直线,。,2.,从属性：,
5、若点在直线上，则点的投影必在直线的,投影上,。,B,A,C,A,B,a,b,a,c,d,同素性,从属性,3.,显实性：,若直线、平面平行于投影面，则投影反映,其实形。,4.,类似性：,若直线、平面倾斜于投影面，则投影与其,相仿。,显实性,类似性,5.,积聚性：,当直线或平面,与投影面垂直时，其投影分,别积聚为一点或一直线。,6.,平行性：,若两直线平行，则其投影必相互平行。,A,B,ab,S,A,B,C,b,c,D,a,d,积聚性,平行性,7.,定比性：,点分线段成某一比例，则点的投影分线段的投影,成相同的比例。,两平行直线段长度之比，等于它们投影长度之比。,定比性,AB CD,C,A,B,A
6、,AB:CD=ab:cd,B,C,b,c,d,D,a,c,d,a,正投影规律,?,真实性,直线（平面）平行于投影面时，,投影反映实长（实形）,?,积聚性,直线（平面）垂直于投影面时，,投影积聚为一点（线,）,?,类似性,直线（平面）倾斜于投影面时，,投影小于实长（实形）,4,、,正投影图的形成及特性,、物体的一个投影不能完全确定物体的形状。,?,三面投影的必要性,举例：,将下列不同物体向同一投影面投射，得到,同样的视图。,?,、有时物体的二个投影也不能完全确定物体的形状。,结论：,一个视图不能反映空间物体的真实形状，需用,多个视图，常用三视图。,?,三视图的形成,1.,建立三投影体系,用三个互
7、相垂直的平面组,成三个投影面，即正立面,（,V,表示）、水平面（,H,表,示）、侧立面（,W,表示）。,三面的交线称为投影轴，,OX,轴是,V,和,H,面交线，,OY,轴是,H,和,W,面交线，,OZ,轴是,V,和,W,面,交线，三轴交于,O,点。,2,、三视图的形成,正立面（,V,）投影,水平面（,H,）投影,侧立面（,W,）投影,三面投影图需要展平在同一平面上,（,H,面下转,90,，,W,面右转,90,）。,将空间物体放在三维,体系当中，向三面投,影，得到三面投影图,。,1,、位置关系,?,以正立面图为准，水,平投影图在它的正下,方，侧面投影在它的,正右侧，位置固定，,不必标注。,空间三
8、向度,一般形体都具有长、宽、高三个方向的尺度。,?,长度：,形体最左至最右两点之间平行于,OX,轴方向的距离。,（即左右距离）,?,宽度：,形体最前至最后两点之间平行于,OY,轴方向的距离。,（即前后距离）,?,高度：,形体上最上至最下两点之间平行,OZ,轴方向的距离。,（即上下距离）,3,、三视图与物体的方位对应关系,2,、三面投影图的投影规律,投影规律：,?,长对正,?,高平齐,?,宽相等,正立面投影图,反映物体的,上、下,和,左、右,方位。,水平投影图,反映物体的,前、后,和,左、右,方位。,侧立面投影图,反映物体的,前、后,和,上、下,方位,点线面的符号,规定空间形体上的点用大写字母,
9、A,、,B,、,C,表,示，其,H,面投影用相应的,a,、,b,、,c,表示，,V,面,投影用相应的,a,、,b,、,c,表示，,W,面投影,用,a,、,b,、,c,。,投影图中直线段的标注，用直线段两段的字母,表示。,空间的面通常用,P,、,Q,、,R,表示。,2.2,点、线、面的投影,任一形体都可视为由点、线、面所组成，,其中点是最基本的几何元素。,一、点的三面投影,1,、点的三面投影及其规律,空间点,A,放置在三面投影体,V,Z,a,?,a,x,H,A,a,a,z,O,a,?,W,a,y,Y,系中，过点,A,作垂直于,H,面、,V,面、,W,面的投影线,X,投影线与,H,面的交点（即垂足
10、点）,a,称为,A,点的,水平投影（,H,投影,）；,投影线与,V,面的交点,a,称为,A,点的,正面投,影,（,V,投影,）；投影线与,W,面的交点,a,称为,A,点的,侧面投影,（,W,投影,）。,空间点,A,的三面投影分别用,a,、,a,、,a,表示。,一般只画出投影轴，,不画投影面的边框,点的三面投影,Z,V,通常我们用大写字母,表示空间的点，相应,的小写字母表示其水,a,?,W,a,?,a,x,A,a,z,平投影，小写字母加,一撇表示其正面投影，,小写字母加两撇表示,其侧面投影。,X,O,a,H,a,y,Y,点的三面投影图,Z,V,a,?,X,a,x,A,O,a,H,a,z,a,?,
11、W,a,y,Y,a,a,y,X,a,x,O,a,?,Z,a,z,a,?,a,y,Y,W,Y,H,点的投影规律,Z,a,?,a,z,a,?,a,y,X,a,x,O,Y,W,水平投影和正面投影的,连线垂直于,OX,轴,（,长对正,）；,正面投影和侧面投影的,连线垂直于,OZ,轴,（,高平齐,）；,水平投影到,OX,轴的距,离等于侧面投影到,OZ,轴,的距离（,宽相等,）。,a,a,y,Y,H,可得出点的投影特性如下：,（,1,）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。,（,2,）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。,【例,3-1,】,已知点,A,的水平投影,a,和,正面投影,a,，求其
12、侧面投影,a,解,:,作图步骤如下,:,2,、点的坐标,1,投影与坐标,引入直角坐标的概念,，,将三面投影体系中的三个投影面看作是直角坐标系,中的三个坐标面，则三条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。,点,A,的空间位置可用其直角坐标表示为,A(x,y,z),x,坐标反映空间点,A,到,W,面的,距离；,y,坐标反映空间点,A,到,V,面的距离；,z,坐标反映空间点,A,到,H,面的距离。,点的一个投影能反映两个坐标，反之点的两个坐标可确定一个投影。,点的投影与直角坐标的关系,Z,V,a,?,a,z,y,X,a,x,A,点的,x,坐标,aa,y,=,aa,z,A,点的,y,坐标,aa,x,
13、=,aa,z,A,点的,z,坐标,aa,y,=,aa,y,a,?,W,A,x,O,z,a,H,a,y,Y,【例,3-2,】,已知点,A(14,10,，,20),，作其三面投影图。,解,:,作图步骤如下,:,（,1,）方法一,（,2,）方法二,2,特殊位置点的投影,（,1,）投影面上的点,（,2,）投影轴上的点,?,三、两点的相对位置,空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个,点在该点的前或后、左或右、上或下。,在投影面的重影点,H,面的重影点,V,面的重影点,W,面的重影点,重影点,点和点,相对于面,是重影点。,二、直线的投影,直线在空间座标面上的投影，会因直线与投影面之相对,位
14、置的不同，而有三种情況：,直线与投影面垂直,直线与投影面平行,直线与投影面傾斜,由于直线的投影一般情况下仍为直线，且,两点,决,定一直线，故要获得直线的投影，只需,作出,已知直线,上的,两个点,的投影，再将它们相连即可。,V,b,B,a,X,O,b,a,H,A,直线的分类,投影面垂直线,直,线,特殊位置直线,投影面平行线,一般位置直线,二、特殊位置直线,1.,投影面垂直线,垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。,铅垂线,垂直于,H,面，同时平行于,V,、,W,面的直线。,正垂线,垂直于,V,面，同时平行于,H,、,W,面的直线。,侧垂线,垂直于,W,面，同时平行于,H,、,V,面的
15、直线。,铅垂线,（垂直于,H,面，同时平行于,V,、,W,面的直线）,V,Z,a,?,a,?,Z,a,?,b,?,Y,W,A,b,?,X,O,B,H,a(b),W,a,?,b,?,X,O,b,?,a(b),Y,Y,H,水平投影积聚为一点；正面,投影及侧面投影平行于,OZ,轴，,且反映实长。,正垂线,（垂直于,V,面，同时平行于,H,、,W,面的直线）,V,Z,a,?,b,?,A,B,O,a,b,H,a,?,W,b,?,X,a,O,Y,W,(a,?,)b,?,Z,a,?,b,?,X,b,Y,H,Y,正面投影积聚为一点；水,平投影及侧面投影平行于,OY,轴，且反映实长。,侧垂线,（垂直于,W,面，
16、同时平行于,H,、,V,面的直线）,V,Z,a,?,b,?,a,?,b,?,B,W,O,X,O,b,Y,H,H,a,Y,W,a,?,b,?,Z,a,?,(b,?,),A,X,a,b,侧面投影积聚为一点；水平投,Y,影及正面投影平行于,OX,轴，且,反映实长。,投影面垂直线的投影特性,:,投影面垂直线的投影特性可概括如下：,（,1,）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；,（,2,）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相,应的投影轴，且都等于该直线的实长。,事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平,行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空,间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，
17、则该直,线必垂直于积聚投影所在的投影面。,特殊位置直线,2.,投影面平行线,平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个,投影面的直线。,水平线,平行于,H,面，同时倾斜于,V,、,W,面的直线。,正平线,平行于,V,面，同时倾斜于,H,、,W,面的直线。,侧平线,平行于,W,面，同时倾斜于,H,、,V,面的直线。,水平线,（,平行,H,面，同时倾斜于,V,、,W,面的直线）,V,a,?,A,Z,b,?,?,Z,a,?,a,?,b,?,a,?,b,?,?,B,X,a,O,W,b,?,X,a,O,Y,W,?,?,H,b,Y,b,Y,H,水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于,OZ,轴,正平线,
18、（平行,V,面，同时倾斜于,H,、,W,面的直线）,V,a,?,Z,b,?,b,?,Z,b,?,?,B,A,b,?,a,?,?,a,?,?,?,a,?,W,X,O,Y,W,X,a,b,O,a,b,H,Y,Y,H,正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于,OY,轴,侧平线,（平行,W,面，同时倾斜于,H,、,V,面的直线）,V,a,?,A,b,?,Z,a,?,a,?,Z,a,?,?,W,?,?,a,b,?,?,b,?,X,O,B,b,?,X,a,O,Y,W,Y,侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于,OX,轴,H,b,b,Y,H,投影面平行线的投影特性,投影面平行线的投影特性可
19、概括如下：,（,1,）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且,反映对其他两个投影面倾角的实形；,（,2,）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相,应的投影轴，且小于实长。,事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直,于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必,平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面,夹角的实形。,一般位置直线,对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。,V,Z,b,?,B,a,?,X,A,a,H,b,?,a,?,X,O,a,?,Y,W,b,?,Z,b,?,?,?,O,?,b,W,b,a,?,Y,a,Y,H,一般位置直线的投影特性,一般位置直线的投影特性
20、：,1,）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；,2,）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实,形。,事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈,倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。,直线与点的相对位置,判别方法：,?,若点在直线上,则点的投影必在直,线的同面投影上。即具有,从属性。,V,c,?,a,?,C,d,?,b,?,B,?,若,点在直线上，则点将线段的同面,投影分割成与空间直线相同的比例。,即具有,定比性,：,AC/CB=ac/cb=ac/cb,D,A,?,若点的投影有一个不在直线的同名,投影上，,则该点必不在此直线上。,在,C,点,直线,AB,上,不在,直线,AB,上,D,
21、点,a,c,b,d,H,例,2,：判断点,K,是否在线段,AB,上。,a,?,k,?,b,?,a,k,b,a,?,k,?,b,?,因,k,?,不在,a,?,b,?,上，,故点,K,不在,AB,上。,另一判断法是,应用定比定理,因,a,?,k,?,:k,?,b,ak:kb,故点,K,不在,AB,上。,两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：,平行、相交、交叉。,两直线平行,a,c,O,b,a,c,d,b,d,X,投影特性：,空间两直线平行，则其各,同面投影必相互平行,，,反之亦然。,例：判断图中两条直线是否平行。,a,?,X,b,?,d,?,c,?,a,c,b,对于一般位置,直线，只要有两个
22、同,名投影互相,平行,，空,间两直线就,平行,。,d,结论：,AB/CD,例：判断图中两条直线是否平行。,c,?,c,?,a,?,d,?,a,?,d,?,b,?,对于投影面平行线，只,有两个同面投影互相平行，,空间直线不一定平行。若用,两个投影判断，其中应包括,反映实长的投影。,b,?,b,c,d,a,如何判断,求出侧面投影,结论,:AB,与,CD,不平行,2.,两直线相交,V,c,?,k,?,a,?,X,C,b,?,d,?,K,D,d,k,c,B,a,?,交点是两直线,的共有点,c,?,b,?,k,?,d,?,A,a,b,H,a,c,k,d,b,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相
23、交，,且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,例：过,C,点作水平线,CD,与,AB,相交。,b,?,c,?,k,?,d,?,a,?,a,c,d,k,b,先作正面投影,3.,两直线交叉,AB,与,CD,两直线相交吗,d,?,a,?,1,?,(2,?,),3,?,4,?,c,?,投影特性：,b,?,b,c,a,2,?,同名投影可能相交，,但,“交点”,不符合空间,一个点的投影规律。,?,“交点”,是两直线,上的一,对,重影点的投影,，用其可帮助判断两直,线的空间位置。,3(4),1,d,、是面的重影点，,、是,H,面的重影点。,结论：,AB,与,CD,两直线不相交,两直线垂直相交（或垂直交叉）,
24、直角的投影特性：,证明：,C,b,a,设直角边,BC/H,面,因,BC,AB,同时,BC,Bb,所以,BC,ABba,平面,若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。,B,A,c,H,b,?,c,?,又因,BC,bc,故,bc,ABba,平面,因此,bc,ab,即,abc,为直角,a,?,.,b,c,a,结论,:,直线在,H,面上,的投影互相垂直,例：过,C,点作直线与,AB,垂直相交。,a,?,.,d,?,c,?,c,a,b,?,AB,为正平线,正面,投影反映直角。,d,b,三、,平面的投影,1,、平面的表示方法,2,、各类平面的投影特性,1,、平面的表示方法,Z,下列五种方
25、式可表达一平面：,V,（,1,）不在同一直线上的三个点；,（,2,）一直线和直线外一点；,B,W,（,3,）两相交直线；,（,4,）两平行直线；,（,5,）任意平面图形。,X,A,C,H,Y,用几何元素表示平面,b,?,a,?,X,O,X,b,?,c,?,a,?,O,X,b,?,c,?,c,a,?,O,X,c,?,c,O,a,b,c,a,?,a,b,a,d,?,b,?,b,X,c,?,c,O,a,b,d,2,、各类平面的投影特性,投影面平行面,特殊位置平面,空间平面,一般位置平面,投影面垂直面,面的投影,平面之投影：平面与投影面之相对位置的不同，,而有下列三种情形：,平面与投影面垂直,平面与投
26、影面平行,平面与投影面傾斜,投影面平行面,对一个投影面平行，同时垂直于其它,两个投影面的平面。,水平面,平行于,H,面，同时垂直于,V,、,W,的平面,正平面,平行于,V,面，同时垂直于,H,、,W,的平面,侧平面,平行于,W,面，同时垂直于,H,、,V,的平面,水平面的投影特性,Z,V,p,p,P,X,p,H,Y,O,水平投影反映,实形,；,正面投影和侧面投影,积聚为一条直线并平,行于相应的投影轴。,Z,p,p,O,Y,W,W,X,p,Y,H,正平面的投影特性,Z,V,p,p,P,p,H,W,O,X,正面投影反映,实形,；,水平投影和侧面投影,积聚为一条直线并平,行于相应的投影轴。,Z,p,
27、O,p,Y,W,X,p,Y,Y,H,侧平面的投影特性,Z,V,p,p,p,P,p,H,Y,侧面投影反映,实形,；,水平投影和正面投影,积聚为一条直线并平,行于相应的投影轴。,Z,p,W,X,p,O,Y,W,X,O,Y,H,总结,投影面平行面的投影特性可概括如下：,（,1,）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；,（,2,）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，,且分别平行于相应的投影轴。,事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影,积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投,影轴相邻的投影面的平行面。,投影面垂直面,垂直于一个投影面，同时倾斜于其它,两个投影面的平面。,铅垂面,垂直于,H,
28、面，同时倾斜于,V,、,W,的平面,正垂面,垂直于,V,面，同时倾斜于,H,、,W,的平面,侧垂面,垂直于,W,面，同时倾斜于,H,、,V,的平面,铅垂面的投影特性,Z,V,水平投影积聚为,直线,，,并反映倾角,、,的,实形,；,正面投影和侧面投影均不,反映实形且变小。,Z,W,O,X,O,Y,W,X,H,Y,Y,H,正垂面的投影特性,Z,正面投影积聚为,直线,，,并反映倾角,、,的,实形,；,水平投影和侧面投影均不,反映实形且变小。,Z,V,X,W,X,O,Y,W,H,O,Y,Y,H,侧垂面的投影特性,Z,侧面投影积聚为,直线,，,并反映倾角,、,的,实形,；,水平投影和正面投影均不,反映实
29、形且变小。,Z,V,X,O,W,X,O,Y,W,H,Y,Y,H,总结,投影面垂直面的投影特性可概括如下：,（,1,）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为,一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该,平面与相应投影面的夹角；,（,2,）平面在另外两个投影面上的投影不反映实,形，且变小。,事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投,影积聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。,一般位置平面,Z,三个投影均为类似形，不反,映实形和倾角，也不积聚。,对三个投影面都倾斜的平面。,V,Z,W,X,O,X,O,Y,W,H,Y,Y,H,【例,3-4,】,如图,3-14a,所示，已知正方形平面,ABCD,垂直于,
30、V,面,以及,AB,的两面投影，求作此正方形的三面投影图。,解：,(1),作图分析,(2),作图步骤,一般位置平面,投影特性,：,三个投影均为小于实形的类似形。,平面上的直线和点,平面上取任意直线,判断直线在平面,内的方法,定,理,一,若一直线过平面上,的两点，则此直线,必在该平面内。,定,理,二,若一直线过平面上的,一点，且平行于该平,面上的另一直线，则,此直线在该平面内。,例,1,：已知平面由直线,AB,、,AC,所确定，试在平,面内任作一条直线。,解法一：,根据定理一,b,?,m,?,a,?,m,b,n,c,n,?,c,?,解法二：,根据定理二,b,?,c,?,a,?,b,d,?,a,a
31、,c,d,有多少解,有无数解。,例,2,：在平面,ABC,内作一条水平线，使其到,H,面的距,离为,10mm,。,a,?,m,?,1,0,b,?,b,n,?,c,?,c,n,a,有多少解,唯一解！,m,平面上取点,面上取点的方法：,首先面上取线,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，,然后再在该直线上确定点的位置。,例,1,：已知,K,点在平面,ABC,上，求,K,点的水平投影。,b,?,b,?,d,?,k,?,k,?,c,?,c,?,a,?,a,?,b,a,d,k,b,a,k,c,c,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,例,3,：已知,AC,为正平线，补全平行四边形,ABC
32、D,的水平投影。,解法一,b,?,k,?,解法二,b,?,a,?,c,?,a,?,c,?,d,?,d,a,k,b,c,a,d,?,d,c,b,直线与平面、平面与平面,之间的相对位置,一、,直线与平面、平面与平面平行,1,、,直线与平面平行,定理,：,直线平行于平面上的某一条直线。,即：如果直线平行于平面，则,直线的各,面投影,必与,平面上一直线的同面投影,平行。,例,1,、过点,M,作直线,MN,平行于平面,ABC,。,解：,b,有多少解？,a,b,a,c,n,n,c,m,无数解,m,例,2,、过点,M,作直线,MN,平行于,V,面和,ABC,。,解：,a,b,c,n,m,正平线,b,a,有多
33、少,解？,n,c,m,ABC,为正,垂面，直线,MN,的正面投影,mn,必定平行于,abc,。又,MN,为正平线，,mn,平行于,OX,轴。,有唯一解,当直线与垂直于投影面的,平面平行时，在平面垂直的投,影面上，直线的投影,平行,于平,面有积聚性的同面投影。,2,、平面与平面平行,几何条件,：,1,）若一个,平面上的两,相交直线,分别,平行于,另一平面上的两相交,直线，,则两平面相互,平行。,2,）若两投影面,垂直面相,互平行,，则它们,具有积,聚性的那组投影,必相互,平行。,c,d,a,b,d,f,g,e,g,c,a,f,e,b,例,3,、过点,K,作平面平行于,ABC,解：,a,l,?,k
34、,c,h,分析：按几何条,件，只要过点,K,作两相交直线,KL,、,KH,对应地平行于,已知平面的一对,相交直线，此平,面即为所求。,b,a,?,k,c,l,h,b,作图：,KL,AB,，,KH,BC,。,例,4,、判别如图所示的两平面是否平行。,解：,1,3,a,2,1,(2),b,4,b,c,a,c,(4),3,因两平面均为铅垂面，在,H,面的投影,互相平行，所以两平面平行。,二、直线与平面、平面与平面相交,1,、直线与平面相交,交点是直线与平面的共有点。,讨论：（,1,）求直线与平面的交点；,（,2,）判别两者之间的相互遮挡关系，即,判别可见性。,只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊,位
35、置的情况。,1,）一般位置直线与特殊位置平面相交,例,1,、求直线,AB,与铅垂面,DEF,的交点,K,，,并判别可见性。,e,a,(2),分析：因,DEF,的水,1,平投影,def,有积聚性，,d,k,f,f,a,2,1,b,b,k,e,d,交点,K,是,DEF,内的点，,它必在,def,上，又因,K,是,AB,上的点，它的水,平投影,k,必在,ab,上，因,此,k,就是,K,的水平投影。,由,k,可求得,k,。,例,2,、求直线,AB,与水平面的交点,K,，并,判别可见性。,a,k,b,k,?,b,由图知：圆平面是水平,面，其正面投影有积聚,性，可先求出,V,面的投,影,k,，再求出,H,
36、面投影,k,。,a,由于,ak,在水平面的上方，故,水平投影,ak,可见，,kb,被圆遮,住的部分为不可见。,2,）特殊位置直线（垂直线）与一般位置,平面相交,例,3,、求铅垂线,DE,与,ABC,的交点,K,，并判别可见性。,b,d,1,(2),c,借助于辅助线的方法求出交点。,判别可见性：由,V,面的,bc,与,de,的重影点,1(2),求,出,H,面的,1,在直线,DE,上，,2,在,BC,上，,1,的,Y,坐标大,于,2,，所以,dk,可见，,ke,被遮住部分不可见。,n,a,k,?,e,n,a,b,2,(k),d,?,1,c,(e),例,4,、求直线,MN,与平面,ABC,的交点。,
37、b,n,(m),d,?,1,k,c,2,a,d,b,m,k,?,1,(2),作图：连,ck,与,ab,交于,d,，由,d,求,出,d,，连,cd,交,mn,于,k,。,k,为所求。,a,c,判别可见性：在,H,面中,mn,与,ac,的交点,1,（,2,），即是直线,MN,与平面上,AC,边对,H,面的,重影点，求出,1,、,2,；因,1,的,Z,坐标大，所以,kn,可见。,n,2,、,平面与平面相交,两平面相交，其交线为,直线,，交线是两平面,的,共有线,，同时交线上的点是两平面的共有点。,讨论：,A,、求两平面的交线（方法）,1,）确定两平面的两个共有点；,2,）确定一个共有点及交线的方向,
38、。,B,、判别可见性。,只讨论有一个平面处于特殊位置的情况。,例,5,、平面,ABC,为投影面平行面与一般位置平,面,DEF,相交，求交线并判别可见性。,f,m,b,n,c,a,d,e,e,c,d,n,m,a,b,f,分析：,ABC,与,DEF,交线,的正面投影为,mn,DEF,的,DE,、,EF,的正面投影,df,、,ef,与,ABC,的正面投影的交点，由,mn,求出,m,、,n,，,mn,为可见与,不可见的分界线。,判别可见性：,V,面,mnf,在,abc,的上方，,mnf,可见，,demn,被,ABC,遮挡部分为不,可见。,例,6,、求平面,ABC,与铅垂面,DEF,的交线,KL,，,并判别可见性。,c,a,e,d,l,k,f,b,b,f,k,l,e,a,分析：,DEF,是,铅垂面，其水,平投影有积聚性。,可直接求出,k,、,l,，,再由,k,、,l,求出,k,、,l,，,交线是可见与不,可见的分界线。,d,c,小,结,掌握：,1,、平面投影特性，尤其是,特殊位,置平面,的投影特性；,2,、如何在平面上确定,直线和点,；,3,、两平面,平行的条件,；,4,、直线与平面,、平面与平面相交,的解题思路：空间及投影分析，其目的找,出交点或交线的已知投影；判别可见性。,
