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1、平面直角坐标系中的伸缩变换【三维目标】知识与技能目标：引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换，进一步理解坐标法；过程与方法目标：让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程, 培养学生严谨的思维品质；情感、态度与价值观目标：在合作交流中学习，培养学生的交流能力及自主探究的意识.【教学重点】 通过实例探究得出并运用平面直角坐标系中的伸缩变换【教学难点】 求伸缩变换时，系数对应成比例【教学方法】 探究式教学【教学手段】 多媒体教学【教学过程】一、复习回顾 （3分钟）前面一节课我们学习了平面直角坐标系，通过直角坐标系，平面上的点与坐标（有序数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合；
2、在必修4模块中，我们学习了三角函数图象的平移伸缩变换，你能说出怎样由正弦曲线ysinx得到曲线y=Asinwx(w0)吗？ （活动：请学生回答）提示：横坐标不变纵坐标变A倍纵坐标不变横坐标变为1w1、 y=sinx y=sinwx y=Asinwx纵坐标不变横坐标变为1w横坐标不变纵坐标变A倍2、y=sinx y=Asinwx y=Asinwx 今天，我们学习平面角坐标系中的伸缩变换二、新知探究 1、 问题情境： （4分钟）（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x？纵坐标不变横坐标变为（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y3sinx？ （活动：学生一起回答）12提示：（1）y
3、=sinx ysin2x ，如图： （多媒体展示）横坐标不变纵坐标变为3倍（2）ysinx y=3sinx，如图： （多媒体展示）2、思考： （6分钟）从平面直角坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标y不变，横坐标x变为原来的 ” “横坐标不变，纵坐标y变为原来的3倍”的实质是什么？(活动：让学生分组讨论探究，分组回答)提示：y=sinx y=sin2x 点p(x,y) 点p(x,y) “保持纵坐标y不变，横坐标x变为原来的 ”,将其变成符号语言得： 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换. 类比前面过程，你能写出问题所对应的坐标变换公式吗？提示： y=sinx y=3sinx
4、 点p(x,y) 点p(x,y) “横坐标不变，纵坐标y变为原来的3倍”，将其变成符号语言得： 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.3、提出问题: （3分钟）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x？ （活动：请学生回答）横坐标不变纵坐标变为3倍纵坐标不变横坐标变为1/2实际上，这是上述问题（1）（2）的“合成”，如图： （多媒体展示）y=sinx y=sin2x y=3sin2x点p(x,y) 点p(x，y)它的坐标对应关系式为： 我们把式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。4、探究：结合前面研究过的问题，由具体到一般，你能得出些什么？ （4分钟）（提示：y=sinx
5、y=Asinwx） （活动：请多名同学答）把大家所说的概括起来，就得到平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：定义：设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换注意：1、0,0；的作用下，点p(x,y)对应到点p(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. （黑板板书且多媒体展示）上述式都是坐标伸缩变换，在它们的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.（注意坐标法思想的渗透）.三、应用示例 （7分钟）例1：在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形 （1）2x+3y =0 （2）x2+y2=1分析：方程2x
6、+3y =0是一条直线，x2+y2=1是一个圆，它经过伸缩变换后图形怎样？直线？首先，我们不妨求它们的方程. （解答如下，多媒体逐步展示）解： 方法归纳：代入法 （多媒体标注）注：教学时，要让学生注意“数”与“形”的对应关系，初步体会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法；与用方程表示图形一样，用坐标伸缩变换可以表示图形的伸缩变换，展现了坐标法思想。四、拓展提升 （6分钟）1、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 ,曲线C变为曲线x+9y=9，求曲线C的方程；2、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：直线x-2y=2变成2x-y=4.（活动：请两名学生上黑板做，然后对其进行评
7、析，再用多媒体展示参考答案）注意：系数对应成比例点评：第一小题同样是用代入法，将伸缩变换代入变换后的方程，可得原方程；第二小题已知了变换前后的方程，要求伸缩变换，应该先设伸缩变换;让学生进一步尝试与体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法.五、随堂练习 （4分钟）1、在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：曲线x-y-2x= 0变成曲线x -16y -4x= 0. （用多媒体展示参考答案）注意：1、0 , 0；2、形式统一，系数对应成比例.六、课堂小结（用多媒体展示） （2分钟）1、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:2、 0, 0；形式统一，系数对应成比例；3、代入法、坐标法思
8、想, 学会利用代数运算研究几何图形变换和性质的方法.七、课后思考（用多媒体展示） （1分钟）由例1我们知道，在伸缩变换下，直线变为直线，圆可以变成椭圆；那么，在伸缩变换下，椭圆可能变成什么？双曲线呢？抛物线呢？【板书设计】平面直角坐标系中的伸缩变换定义：设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点p(x,y)对应到点p(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.方法归纳：代入法拓展提升（1）学生解答过程拓展提升（2）学生解答过程【教学反思】学生在函数（特别是三角函数）的学习中，对函数图像的伸缩变换有了一定的了解，在平面几何的学习中也接触过图形变换.但两者之间的联系没有建立起来，特别是他们还不知道用代数方法表示图形伸缩变换的方法.本节课使学生在已有认知的基础上，明确在平面直角坐标系中 ，可以用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变化，使学生进一步理解了坐标法思想和代入法思想.从上课情况来看，求坐标伸缩变换时，形式要统一，系数要对应成比例是难点，应加强课后练习及辅导.
