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1、两条直线平行与垂直的判定的教学设计、反思和重新设计高中课堂教学研究中小学数学坤学版iIII原始教学设计一,内容与内容解析直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系,本节课的主要内容是利用斜率来判断两条直线的这两种重要的位置关系.两条直线平行与垂直的判定这节内容,安排在学习了倾斜角与斜率之后,是直线的斜率这个工具的一个具体应用.在初中数学平面几何中,我们已经学习过判断两条直线是否平行的方法,如同位角相等两直线平行等等,也学习过如何判断两条直线是否垂直的方法.在高中数学0中的第二章立体几何中,我们从宏观上知道两条直线有三种位置关系:相交,平行和异面,其中垂直也是两条直线的位置关系的一种特殊情况.那么
2、,在第三章直线与方程中,我们是通过建立直角坐标系,计算两条直线的斜率(如果存在)的关系,来判断两条直线的位置关系.这是从微观的角度来考虑,是通过代数关系得到几何结论,体现了用代数方法研究几何问题的笛卡尔坐标法思想.当两条不重合直线平行时,它们的斜率相等,或者它们的斜率都不存在,这时这两条直线都与轴垂直.反之,若两条不重合直线的斜率k=k或斜率同时不存在,那么我们可以得到这两条直线平行.由k=k:,可得到Z与z的倾斜角相等,这样就把代数关系转化为几何关系,根据几何知识,两条直线被第三条直线所截,同位角相等,两直线平行,从而判定直线I与f:平行.类比,教材提出思考题”2上f:时,k.与k:满足什么
3、关系?”实际上,如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于一1;反之,如果它们的斜率之积等于一1,那么它们互相垂直,即l.上12k:=一1.这个结论成立的条件是两条直线都有斜率,并且都不等于零.当2.上1:时,还有一种特殊情况是,l.与z中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零.具体证明结论时,教材利用”三角形任一外角等于其不相邻两内角之和”得到Ot:=90.+O/,并利用tana:=tan(90.+)=一,得到一=一1.反过来时,这个结论也成立.这里再次体现了解.15.l中小学数学?中学版I_?-课堂教学研究析几何的思想,即通过代数关系获得几何结论二,目标与目标解析根据
4、普通高中数学新课程标准(实验)中的要求:能根据斜率判定两条直线平行或垂直.根据浙江省普通高中新课程试验数学学科教学指导意见(2009版),本节课的教学目标是:掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法;能利用斜率解决具体问题,关键是掌握这种数学思想方法,即用代数方法研究几何问题的笛卡尔坐标法思想.在本节课中,始终渗透要这种解析几何思想方法,培养学生的转化和化归的能力.三,教学问题诊断分析本课时要求学生掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法,能利用斜率解决具体问题.判定两条直线的位置关系的方法,学生在前面的学习过程中已经有一定的基础,而且倾斜角的概念和斜率的公式也刚刚学习完,这是学生的最近发展区.所
5、以教师的任务之一是引导学生观察两条直线的两种特殊位置关系平行和垂直,得出它们的斜率之间的代数关系,通过观察和猜想,再进行证明,最后利用这个特殊的代数关系,进而判定两条直线的位置关系.综上所述,教学重点是掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法,教学难点是当两条直线垂直时,如何归纳出它们之间斜率的代数关系.四,教学支持条件分析本课时充分借助信息技术手段,如几何画板,Powerpoint等.借助几何画板工具,形象直观地展示,当两条直线垂直时,它们斜率之间的代数关系,帮助学生直观上认识和猜想f上12甘:=一1.这样也更.16一好解决教学的难点高中五,教学过程设计(一)复习练习1.已知直线CD的倾斜角为
6、45.,点E(一1,0),F(0,1),求.,JjE,及直线EF的倾斜角02.已知c(3,0),H(3,一1),K(一2,0),S(一2,1),求直线GH与KS的倾斜角分别为多少度?3.已知A(2,0),B(O,2),P(一1,0),Q(0,一1),求直线AB的斜率k与直线PQ的斜率设计意图:复习上节课内容:直线的倾斜角和斜率公式,并引出本节课研究的内容,即两条直线平行与直线的斜率之间的代数关系.(二)探究新知和结论应用问:请你分别画出每小题中的直线,并且判断两条直线的位置关系.你能猜想到什么结论?请说明理由.设计意图:引导学生观察,猜想和证明,两条直线平行和它们的斜率之间的代数关系,并结合具
7、体的两条直线平行的实例,进一步引导和归纳完善结论,即当两条不重合的直线l,f:的斜率分别为,时,l12甘l=2.师生归纳:若两条不重合的直线平行,则它们的斜率相等,或者它们的斜率都不存在,反之也成立.练习题组一已知点A(2,3),(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2),c(o,2),D(一寻,一3),E(7,0).(1)试判断直线AB与PQ的位置关系.(2)试判断A,B,C三点是否在同一条直线上?高中-?一课堂教学研究?(3)试判断四边形ABDE的形状.设计意图:本题组是对归纳的结论进行简单的应用,引导学生掌握用斜率判定两条直线平行的方法.第1小题是通过代数关系转化为几何关系,第2小题是
8、为了让学生掌握,通过斜率来判断三点是否共线的方法.第3小题是课本例题的改编,安排的意图是引导学生并根据图形进行进一步猜想,两条直线垂直时,它们之间的斜率有什么代数关系,即z上12甘jlJ2=一1.问:当A曰上AE时,直线日的斜率Jj与直线AE的斜率满足什么关系?并说明理由.(用几何画板演示过程)Jhy/日OEi幽l思考:当直线AB旋转到经过点A(2,3),口(一5,3),AE经过点A(2,3),E(2,一1)时,则直线AB与AE的位置关系如何?刚才归纳的结论还成立吗?请画出图形.设计意图:利用几何画板,转动直线AB且保持AB上AE,让学生进一步观察和猜想与的代数关系,并引导学生进行证明fl上1
9、2甘J=一1.在观察,猜想和证明的基础上,结合思考题给出的实例,进一步归纳和改进完善刚才的结论.师生归纳:Z1上12|j:=一1或者Z.与f中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零.练习题组二1.判断下列各小题中的每对直线是否垂直:-I中小学数学坤学版fl(1)l1的斜率为一了2,经过A(1,1),B(o,一);(2)Z.的倾斜角为45.,Z经过点P(一2,一1),Q(3,一6).2.已知直线f1经过点A(m,1),B(3,4),z:经过点c(1,m),D(一1,m+1),根据下列条件求m的值:(1)ZlJ_Z2;(2)AD上BC.设计意图:对上述归纳的结论进行简单的应用.第1小题要求学生
10、利用斜率的关系,即代数关系来判断两条直线的几何位置关系;第2小题中,要求学生能根据两条直线的几何位置关系,得出代数关系,引导学生应用方程的思想进行解决.练习题组三1.过点(一1,1)且斜率为的直线z.与过点(一2,0)且斜率为的直线z平行,求m,并画出图形.(答案:m=一9,”-3m=1时,Zl与Z重合,舍去)2.在AABC中,已知顶点A(一10,2),B(6,4),垂心为H(5,2),求点c的坐标.(答案:C(6,一6)-B6,4)一:2一一一1日.2)/C图2设计意图:对本节课归纳的结论进行简单的综合应用.(三)归纳小结-l7一一-I中小学数学坤学版I_-1.若两条不重合的直线平行,则它们
11、的斜率相等,或者它们的斜率都不存在,反之也成立.2.21J-12甘1k2m-一1或者ll与12中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零.(四)目标检测设计作业本敦学后的反思在我们区上完两条直线平行与垂直的判定公开课后,老师各抒己见,对本课的一些教学细节进行了批评.笔者在教学完这节课后,也进行了对本节课的反思,综合起来,有以下几点.第一,这节课的教学设计应突出的核心数学思想方法是什么?我们知道,在教学设计过程中,应该突出核心的数学思想方法.那么本节课的核心数学思想方法是什么呢?我们讨论的结果是,坐标法思想.通过求两条直线的斜率的代数关系,判断它们之间的位置关系.这是这节课的核心内容.在前面所
12、学习过的内容中,我们已经能够判断两条直线的平行和垂直的位置关系.比如,同位角相等,两直线平行;我们在向量的学习过程中,通过向量也能判断两条直线平行和垂直;通过解三角形求角,也能判断两条直线是否垂直.那么本节课是利用坐标法思想,通过建立两条直线的斜率的代数关系,来判断两条直线是否平行或垂直.在这一章中,我们始终要体现的是坐标法的思想,这是我们的根本大法.在课堂中,我们受到了向量法的干扰,这里是否需要展开呢?还是就此打住?我们教师也各抒己见.有的认为可以复习以前向量的内容,提高学生的数学能力,课堂也显得更加丰富.有的认为本节课的核心是坐标法,所以其它方法不必一18一课堂教学研究高中要进行拓展,点到
13、为止.笔者赞同的是后一种意见.一节课的展开必须围绕着核心的思想方法进行展开,削支强干.第二,关于课题的引入问题.本节课,笔者利用三个小题,复习前一节课的内容,倾斜角的概念和斜率的公式.同时利用这三个小题作为引入,归纳出两条不重合直线平行的条件是它们的斜率相等或者它们的斜率同时不存在.这样引入既能复习上节课的内容,又能导出本节课的主要内容,笔者上完本节课之后,也觉得过渡比较自然.评课的老师提出了宝贵的意见,本节课为什么要用斜率来判断两条直线的位置关系呢?我国着名数学家华罗庚说过:”数缺形时少直观,形少数时难人微,数形结合百般好,隔离分家事万休.”那么本节课的引入是否触及到本节课的核心思想方法坐标
14、法呢?答案是否定的.因此我们在引入时,用计算机画出两条看似平行的直线,但实际上不平行,作为研究的对象进行深入研究,这样可能更好地体现本节课的内容,也能回答为什么要用斜率来判断两条直线的位置关系了.这样修改之后,本节课也更加紧凑了,留给学生的自主思考的时间也更加充裕.在修改后的教学设计中,笔者采用了这样的想法.至于课堂的教学效果,还看具体的实践,也希望各位专家提出宝贵的意见.修改后的教学过程设计(一)新课引入问:请同学们观察图3,你能判断直线AB与直线CD的位置关系吗?设计意图:激发学生的学习兴趣,同时可以复习上节课内容直线的倾斜角和斜率公式,并引出本节课高中课堂教学研究-研究的内容,用代数的方
15、法来研究两条直线的位置关系,即两条直线平行与直线的斜率之间的代数关系.由J/l图3(二)探究新知和结论应用问:如何判断这两条直线的位置关系?请说明理设计意图:引导学生思考和证明,两条直线平行和它们的斜率之间的代数关系,并结合具体的两条直线平行的实例,进一步引导和归纳完善结论,即当两条不重合的直线z,1:的斜率分别为k.,k:时,z12Ok1=k2.归纳:若两条不重合的直线平行,则它们的斜率相等,或者它们的斜率都不存在,反之也成立.练习题组一已知点A(2,3),B(一4,0),P(一3,1),Q(一1,2),C(0,2),D(一5,一3),E(,0).(1)试判断直线AB与PQ的位置关系.问:直
16、线AB与JPQ是否重合?(2)试判断A,B,C三点是否在同一条直线上?(3)试判断四边形ABDE的形状.设计意图:本题组是对归纳的结论进行简单的应用,引导学生掌握用斜率判定两条直线平行的方法.第1小题是通过代数关系转化为几何关系,第2小题是为了让学生掌握,通过斜率来判断三点是否共线的中小学数学坤学版羹方法.归纳完判断三点是否共线的方法之后,再追问,直线A日与PQ是否重合呢?追问的目的是让学生进行数学上的严谨的思考.第3小题是课本例题的改编,安排的意图是引导学生根据图形进行进一步猜想,两条直线垂直时,它们之间的斜率有什么代数关系,即Zl上Z21k2=一1.问:当AB上AE时,直线AB的斜率k与直
17、线AE的斜率k满足什么关系?并说明理由.(用几何画板演示过程)思考:当直线AB旋转到经过点A(2,3),曰(一5,3),AE经过点A(2,3),E(2,一1)时,直线AB与AE的位置关系如何?刚才归纳的结论还成立吗?请画出图形J/一B0E幽4设计意图:使用几何画板作为教学辅助工具,旋转直线AB和AE,并且保持AB上AE,让学生进一步观察和猜想k与k的代数关系,并引导学生进行证明2.上12甘.k2=一1.在观察,猜想和证明的基础上,结合思考题给出的实例,进一步归纳和改进完善刚才的结论.师生归纳:Z1上12铮Jjl|j2=一1或者f.与f2中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零.练习题组二1
18、.判断下列各小题中的每对直线是否垂直:(1)z的斜率为一了2,f2缬A(1,1),(0,一);.19.一lf中小学数学.中学版I课堂教学研究一20.高中另一条直线的斜率不存在的情况,进行巩固练习.(三)归纳小结1?若两条不重合的直线平行,则它们的斜率相等,或者它们的斜率都不存在,反之也成立.2?zt上f2舒七一k2=一1或者l与f2中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零.(四)目标检测设计参考文献:1中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)M.北京:人民教育出版社,2003年版.2浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见.浙江教育出版社.2009版3章建跃.数学课堂教学设计研究.数学通报J,2006年第6期.4数学教学反思的内容与方法,中国数学教育高中版),2008年第4期.
