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1、全等相似四边形综合大题1（2014深圳）已知BD垂直平分AC，BCD=ADF，AFAC，（1）证明ABDF是平行四边形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长考点：平行四边形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理菁优网版权所有分析：（1）先证得ADBCDB求得ADF=BAD，所以ABFD，因为BDAC，AFAC，所以AFBD，即可证得（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得解答：（1）证明：BD垂直平分AC，AB=BC，AD=DC，在ADB与CDB中，ADBCDB（SSS）BCD=BAD，BCD=ADF，BAD=ADF，ABFD，BDAC，AFAC，AFBD，四边形ABDF
2、是平行四边形，（2）解：四边形ABDF是平行四边形，AF=DF=5，ABDF是菱形，AB=BD=5，AD=6，设BE=x，则DE=5x，AB2BE2=AD2DE2，即52x2=62（5x）2解得：x=，=，AC=2AE=点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用2（7分）（2014呼和浩特）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE（1）求证：ADECED；（2）求证：DEAC考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质专题：证明题分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE
3、=CD，根据SSS可证ADECED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得EDC=DEA，由于ACE与ACB关于AC所在直线对称，可得OAC=CAB，根据等量代换可得OAC=DEA，再根据平行线的判定即可求解解答：证明：（1）四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=CD，又AC是折痕，BC=CE=AD，AB=AE=CD，在ADE与CED中，ADECED（SSS）；（2）ADECED，EDC=DEA，又ACE与ACB关于AC所在直线对称，OAC=CAB，OCA=CAB，OAC=OCA，2OAC=2DEA，OAC=DEA，DEAC点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的
4、判定与性质，正确证明三角形全等是关键3（10分）（2013连云港）在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；（2）若四边形BFDE为为菱形，且AB=2，求BC的长考点：矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）分析：（1）证ABECDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DEBF，根据平行四边形判定推出即可（2）求出ABE=30，根据直角三角形性质求出AE、BE，即可求出答案解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，A=C=90，AB=CD，ABCD，AB
5、D=CDB，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E将点C翻折到对角线BD上的点N处，ABE=EBD=ABD，CDF=CDB，ABE=CDF，在ABE和CDF中ABECDF（ASA），AE=CF，四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，DE=BF，DEBF，四边形BFDE为平行四边形；（2）解：四边形BFDE为为菱形，BE=ED，EBD=FBD=ABE，四边形ABCD是矩形，AD=BC，ABC=90，ABE=30，A=90，AB=2，AE=，BE=2AE=，BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含
6、30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力4（10分）（2014兰州）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60得到DBE，连接AD，DC，CE，已知DCB=30求证：BCE是等边三角形；求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形考点：四边形综合题分析：（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；（2）首先证明ABCBDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出BCE为等
7、边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出DCE是直角三角形，问题得解解答：解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；证明：（2）ABCDBE，BC=BE，X k B 1 . c o mCBE=60，BCE是等边三角形；ABCDBE，BE=BC，AC=ED；BCE为等边三角形，BC=CE，BCE=60，DCB=30，DCE=90，在RtDCE中，DC2+CE2=DE2，DC2+BC2=AC2点评：此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目5（10分）（2014上海）如图，已知RtABC中，ACB=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别
8、与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有专题：几何图形问题分析：（1）根据ACB=90，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则B=BCD，再由AECD，可证明B=CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE解答：解：（1）ACB=90，CD是斜边AB上的中线，CD=BD，B=BCD，AECD，CAH+ACH=90，又ACB=90BCD+ACH=90B=BCD=C
9、AH，即B=CAH，AH=2CH，由勾股定理得AC=CH，CH：AC=1：，sinB=；（2）sinB=，AC：AB=1：，AC=2CAH=B，sinCAH=sinB=，设CE=x（x0），则AE=x，则x2+22=（x）2，CE=x=1，AC=2，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，BC=4，BE=BCCE=3点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大6（12分）（2014上海）已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且CDE=ABD（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）连接A
10、E，交BD于点G，求证：=考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）证BADCDA，推出ABD=ACD=CDE，推出ACDE即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案解答：证明：（1）梯形ABCD，ADBC，AB=CD，BAD=CDA，在BAD和CDA中BADCDA（SAS），ABD=ACD，CDE=ABD，ACD=CDE，ACDE，ADCE，四边形ACED是平行四边形；（2）ADBC，=，=，=，平行四边形ACED，AD=CE，=，=，=，=点评：本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判
11、定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中7（7分）（2014贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EFAC交AD于点F，连接BE（1）求证：DF=AE；（2）当AB=2时，求BE2的值考点：正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理.分析：（1）连接CF，根据“HL”证明RtCDF和RtCEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得EAF=45，求出AEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE
12、，过点E作EHAB于H，判断出AEH是等腰直角三角形，然后求出AE=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解解答：（1）证明：如图，连接CF，在RtCDF和RtCEF中，RtCDFRtCEF（HL），DF=EF，AC是正方形ABCD的对角线，EAF=45，AEF是等腰直角三角形，AE=EF，DF=AE；（2）解：AB=2，AC=AB=2，CE=CD，AE=22，过点E作EHAB于H，则AEH是等腰直角三角形，AE=AH=AE=（22）=2，BH=2（2）=，在RtBEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2）2=84点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直
13、角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键8（5分）（2014北京）如图，在ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，ABC=60，求tanADP的值考点：菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形.分析：（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）作PHAD于H，根据四边形ABEF是菱形，ABC=60，AB=4，得到AB=AF=4
14、，ABF=ADB=30，APBF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBCDAE=AEBAE是角平分线，DAE=BAEBAE=AEBAB=BE同理AB=AFAF=BE四边形ABEF是平行四边形AB=BE，四边形ABEF是菱形（2）解：作PHAD于H，四边形ABEF是菱形，ABC=60，AB=4，AB=AF=4，ABF=ADB=30，APBF，AP=AB=2，PH=，DH=5，tanADP=点评：本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大9（10分）（2014玉林）如图，在正方形A
15、BCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若MCQAMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质分析：（1）根据正方形的性质可得AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM和BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，BAM=CBP，再求出AMBP，从而得到MNBP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相
16、等求出BAM=CMQ，然后求出ABM和MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出AMQABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=B，在ABM和BCP中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AMBP，AM并将线段AM绕M顺时针旋转90得到线段MN，AMMN，且AM=MN，MNBP，四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90，AMB+CMQ=90，BAM=CMQ，又B=C=90，ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQ
17、ABM，=，=，BM=MC点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出AMQABM是解题的关键10（10分）（2014重庆）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D，CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACF=CBG求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：证明题分析：（1）要证AF=CG，只需证明AFCCBG即可（2）延长CG交
18、AB于H，则CHAB，H平分AB，继而证得CHAD，得出DG=BG和ADE与CGE全等，从而证得CF=2DE解答：证明：（1）ACB=90，CG平分ACB，ACG=BCG=45，又ACB=90，AC=BC，CAF=CBF=45，CAF=BCG，在AFC与CGB中，AFCCBG（AAS），AF=CG；（2）延长CG交AB于H，CG平分ACB，AC=BC，CHAB，CH平分AB，ADAB，ADCG，在ADE与CGE中，ADECGE（AAS），DE=GE，即DG=2DE，ADCG，AH平分AB，DG=BG，AFCCBG，CF=BG，CF=2DE点评：本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质
19、、平行线的判定及性质，三角形全等是解本题的关键11（10分）（2014年江苏盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若EFAB，垂足为M，tanMBO=，求EM：MF的值考点：菱形的性质；平行四边形的判定菁优网版权所有分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得AEO=CFO，然后利用“角角边”证明AEO和CFO全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）设OM=x，根据MBO的正切值表示出BM，再根据AOM和
20、OBM相似，利用相似三角形对应边成比例求出AM，然后根据AEM和BFM相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可解答：（1）证明：在菱形ABCD中，ADBC，OA=OC，OB=OD，AEO=CFO，在AEO和CFO中，AEOCFO（AAS），OE=OF，又OB=OD，四边形BFDE是平行四边形；（2）解：设OM=x，EFAB，tanMBO=，BM=2x，又ACBD，AOMOBM，=，AM=x，ADBC，AEMBFM，EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似12（9分）（
21、2013达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，EAF=45，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由（1）思路梳理AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线根据SAS，易证AFGAEF，得EF=BE+DF（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E、F分别在边BC、CD上，EAF=45若B、D都不是直角，则当B与D满足等量关系B+D=180时，仍有EF=BE+DF（3）联想拓展如图3
22、，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程考点：几何变换综合题分析：（1）把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，再证明AFGAEF进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）B+D=180时，EF=BE+DF，与（1）的证法类同；（3）根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，根据旋转的性质，可知AECABE得到BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，根据RtABC中的，AB=AC得到EBD=90，所以EB2+BD2=ED2，证AEDAED，利用DE=DE得到DE2=BD
23、2+EC2；解答：解：（1）AB=CD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC=B=90，FDG=180，点F、D、G共线，在AFG和AEF中，AFGAEF（SAS），EF=FG，即：EF=BE+DF（2）B+D=180时，EF=BE+DF；AB=AD，把ABE绕点A逆时针旋转90至ADG，可使AB与AD重合，BAE=DAG，BAD=90，EAF=45，BAE+DAF=45，EAF=FAG，ADC+B=180，FDG=180，点F、D、G共线，在AFG和AEF中，AFGAEF（SAS），E
24、F=FG，即：EF=BE+DF（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：根据AEC绕点A顺时针旋转90得到ABE，AECABE，BE=EC，AE=AE，C=ABE，EAC=EAB，在RtABC中，AB=AC，ABC=ACB=45，ABC+ABE=90，即EBD=90，EB2+BD2=ED2，又DAE=45，BAD+EAC=45，EAB+BAD=45，即EAD=45，在AED和AED中，AEDAED（SAS），DE=DE，DE2=BD2+EC2点评：此题主要考查了几何变换，关键是正确画出图形，证明AFGAEF此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫13（14分）（
25、2012营口）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，判断GEF的形状，并说明理由；（3）如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G直接写出线段AE长度的取值范围；判断GEF的形状，并说明理由考点：相似形综合题。710466 分析：（1）由条件可以得出AM=DM，A=ADF=90，AME=DMF，可以证明AEMDFM，就可以得出结论（2）过点G作GHAD于H，通过条件可以证明AEMHMG，得出ME=MG，进而得出
26、EGM=45，再由（1）的结论可以得出EGF=90，从而得出结论（3）当点G、C重合时利用三角形相似就可以求出AE的值，从而求出AE的取值范围过点G作GHAD交AD延长线于点H，证明AEMHMG，可以得出，从而求出tanMEG=，就可以求出MEG=60，就可以得出结论解答：解：（1）证明：在矩形ABCD中，EAM=FDM=90，AME=FMDAM=DM，AEMDFMAE=DF（2）答：GEF是等腰直角三角形证明：过点G作GHAD于H，A=B=AHG=90，四边形ABGH是矩形GH=AB=2MGEF，GME=90AME+GMH=90AME+AEM=90，AEM=GMHAEMHMGME=MGEGM
27、=45由（1）得AEMDFM，ME=MFMGEF，GE=GFEGF=2EGM=90GEF是等腰直角三角形（3 ）当C、G重合时，如图，四边形ABCD是矩形，A=ADC=90，AME+AEM=90MGEF，EMG=90AME+DMC=90，AEM=DMC，AEMDMC，AE=AEGEF是等边三角形证明：过点G作GHAD交AD延长线于点H，A=B=AHG=90，四边形ABGH是矩形GH=AB=2MGEF，GME=90AME+GMH=90AME+AEM=90，AEM=GMH又A=GHM=90，AEMHMG在RtGME中，tanMEG=MEG=60由（1）得AEMDFMME=MFMGEF，GE=GFG
28、EF是等边三角形点评：本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键14（10分）（2014重庆）如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DE=DN考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：证明题；几何综合题分析：（1）根据等腰
29、直角三角形的性质求出B=ACB=45，再求出ACF=45，从而得到B=ACF，根据同角的余角相等求出BAE=CAF，然后利用“角边角”证明ABE和ACF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）过点E作EHAB于H，求出BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可；求出CAE=CEA=67.5，根据等角对等边可得AC=CE，再利用“HL”证明RtACM和RtECM全等，根据全等三角形对应角相等可得ACM=ECM=22.5，从而求出DAE=ECM，根据等
30、腰直角三角形的性质可得AD=CD，再利用“角边角”证明ADE和CDN全等，根据全等三角形对应边相等证明即可解答：证明：（1）BAC=90，AB=AC，B=ACB=45，FCBC，BCF=90，ACF=9045=45，B=ACF，BAC=90，FAAE，BAE+CAE=90，CAF+CAE=90，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF；（2）如图，过点E作EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45+45=90，MEBC；由题意得，CAE=45+45=67.5，CEA=1804567.5=67.5，CAE=CEA=67.5，AC=CE，在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM（HL），ACM=ECM=45=22.5，又DAE=45=22.5，DAE=ECM，BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=CD=BC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DE=DN点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键，难点在于最后一问根据角的度数得到相等的角
