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1、指数、对数、幂函数知识归纳知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根 有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.次方根的性质： (1)当为奇数时，；当为偶数时， (2)3.分数指数幂的意义： ；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质： (1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数，其中是自
2、变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质： 函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象；定义域值域|过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数、函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，叫做底数， 叫做真数.(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式： ，.3.常用对数与自然对数：常用对数：，即；自然对数：，即(其中).4.对数的运算性质如果，那么 加法：减法： 数乘： 换底
3、公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质： 函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象$定义域值域过定点图象过定点，即当时，.)奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况）变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点五：反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成.2.反函数的性质(
4、1)原函数与反函数的图象关于直线对称.(2)函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3)若在原函数的图象上，则在反函数的图象上.(4)一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数.3.反函数的求法(1)确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2)从原函数式中反解出；(3)将改写成，并注明反函数的定义域.知识点六：幂函数1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布
5、在第一象限. (2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点. (3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.￥综合训练一、选择题1若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则的值为( ) A B C D
6、2若函数的图象过两点和，则( ) A B CD3已知，那么等于( ) A B8 C18 D4函数( ) A是偶函数，在区间上单调递增 B是偶函数，在区间上单调递减 C是奇函数，在区间上单调递增 D是奇函数，在区间上单调递减5（2011 辽宁理9）设函数f(x)则满足的的取值范围是（ ） A B C D 6函数在上递减，那么在上( )A递增且无最大值 B递减且无最小值 C递增且有最大值D递减且有最小值二、填空题7若是奇函数，则实数=_.8函数的值域是_.9已知则用表示_.10设, ,且，则_；_.11计算：_.12函数的值域是_.三、解答题13比较下列各组数值的大小：(1)和； (2)和； (3
7、).14解方程：(1)； (2).15已知当其值域为时，求的取值范围.16已知函数，求的定义域和值域.能力提升一、选择题1函数上的最大值和最小值之和为，则的值为( ) A B C2 D42已知在上是的减函数，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3对于，给出下列四个不等式 其中成立的是( ) A与 B与 C与 D与4设函数，则的值为( ) A1 B-1 C10 D5定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果 ，那么( ) A， B， C， D， 6若,则( ) A B C D二、填空题7若函数的定义域为，则的范围为_.8若函数的值域为，则的范围为_.9函数的定义域是_；值域是_.10若函数是奇函数，则为_.11求值：_.三、解答题12解方程：(1)(2)13求函数在上的值域.14已知，,试比较与的大小.?15已知，判断的奇偶性； 证明
